2.2.1条件概率与事件的相互独立性
2. 2.1条件概率与事件的相互独立性
教学目标:1、通过对具体情景的分析,了解条件概率的定义。理解两个事件相互独立的概念。
2,掌握一些简单的条件概率的计算。能进行一些与事件独立有关的概率的计算。 3,通过对实例的分析,会进行简单的应用 教学重点:教学难点:教学设想:引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式
教学过程:概念:1,对于两个事件A与B,如果P(A)>0,称P(B︱A)=P(AB)/P(A),为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.
2,如果两个事件A与B满足等式 P(AB)=P(A)P(B),称事件A与B是相互独立的,简称A与B独立。
例1.一张储蓄卡的密码共有6位数字,每位数字都可从0~9中任选一个,某人在银行自
动提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字.求 (1) 任意按最后一位数字,不超过2次就对的概率;
(2) 如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过2次就按对的概率.
解:设第i次按对密码为事件Ai(i=1,2) ,则AA1(A1A2)表示不超过2次就按对密码.
(1)因为事件A1与事件A1A2互斥,由概率的加法公式得
P(A)P(A1)P(A1A2)
1911. 101095
(2)用B 表示最后一位按偶数的事件,则
P(A|B)P(A1|B)P(A1A2|B)
1412. 5545
例2.一个家庭中有两个小孩,假定生男、生女是等可能的,已知这个家庭有一个是女孩,
问这时另一个小孩是男孩的概率是多少?
解:一个家庭的两个孩子有四种可能:{(男,男)},{(男,女)},{(女,男)},{(女,女)}。
这个家庭中有一个女孩的情况有三种:{(男,女)},{(女,男)},{(女,女)}。在这种情况下“其中一个小孩是男孩”占两种情况,因此所求概率为2/3.
例3.甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮,如果两人投中的概率都是0.6,计算:
(1)两人都投中的概率;(2)其中恰有一人投中的概率;(3)至少有一人投中的概率. 解:(1)“两人各投一次,都投中”就是事件AB发生,因此所求概率为 P( AB )=P(A)P(B)=0.6×0.6=0.36
(2)分析:“两人各投一次,恰有一人投中”包括两种情况:甲投中,乙未投中;甲未击中,乙击中。
因此所求概率为
P(AB)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)0.6(10.6)(10.6)0.60.48。
(3)分析:“两人各投一次,至少有一人投中”包括三种情况:甲投中,乙未投中(事件AB发生);甲未投中,乙投中(事件AB发生);甲、乙两人都击中目标(事件AB发生) 解法一:“两人各投一次,至少有一人投中”的概率为
P=P(AB) +P(AB) +P(AB) =0.6×0.6 + 0.6×(1-0.6) +(1-0.6) ×0.6 =0.36 +0.48 =0.84
方法二:分析:“两人都未投中目标(事件AB发生)”的概率为 P(A·B)=P(A) · P(B)=(1-0.6) ×(1-0.6)=0.16 P=1-P(AB)=1-0.16=0.84
例4.在一段线路中并联着三个独立自动控制的开关,只要其中有一个开关能够闭合,线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率.
解:分别记这段时间内开关JA,JB,JC能够闭合为事件A,B,C.由题意,这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响,根据相互独立事件的概率乘法公式,这段时间内3个开关都不能闭合的概率是 (ABC)(A)(B)(C)
(10.7)(10.7)(10.7)0.027
∴这段时间内至少有1个开关能够闭合,从而使线路能正常工作的概率是 P1P(ABC)10.0270.973自我检测
1. 设A、B为两个事件,且PA0,若PAB
PPP
1P(A)1P(B)1P(C)
P
12
,PA,则PBA( ) 33
1214
A. B. C. D.
2999
2.某人忘记了电话号码的最后一个数字,如果已知最后一个数字是不小于5的数,则他按
对的概率是( )
1234 B. C. D. 5555
111
3.甲射击命中目标的概率是,乙命中目标的概率是,丙命中目标的概率是,现在三
234
A.
人同时射击目标,则目标被击中的概率为 ( )
A.
3274
B. C. D. 43105
4,某产品的制作需三道工序,设这三道工序出现次品的概率分别是P1,P2,P3。假设三道工
序互不影响,则制作出来的产品是正品的概率是 5.在5道题中,有3道选择题和2道解答题,如果不放回地依次抽取2道题: (1)则第一次抽到选择题的概率为 .
(2)第一次和第二次都抽到选择题的概率为(3)则在第一次抽到选择题的条件下,第二次抽到选择题的概率为
6.甲、乙两人分别对一目标射击1次,甲射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9,求
(1)2人都射中的概率; (2)2人中恰有1人射中的概率;
(3)2人至少有1人射中的概率;
答案:1,A。2,A。3,A。4,(1-P1) (1-P2) (1-P3)。5,(1)0.6(2)0.3(3)0.5. 6,(1)0.72.(2)0.26.(3)0.98 小结:
1、条件概率的定义:设A,B为两个事件,则在事件A发生的条件下, 事件B发生的概率就叫做的条件概率 2、条件概率的计算公式; n(AB)P(AB)
P(BA)
n(A)P(A)3,相互独立事件的定义:
设A,B两个事件,如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响(即 P(AB)=P(A)P(B) ), 则称事件A与事件B相互独立. 作业;P60,1,2.
2. 2.1条件概率与事件的相互独立性
预习目标:1、了解条件概率的概念,能利用概率公式解决有关问题;
2、理解事件的相互独立性,掌握相互独立事件同时发生的概率. 学习重点:条件概率的计算公式及相互独立事件同时发生的概率的求法. 学习过程:
一.课前预习:内化知识 夯实基础 (一) 基本知识回顾
1的两个事件叫做相互独立事件.
2、两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的即PAB 一般的,如果事件A1、A2、An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的 ,即PA1A2An3、一般的,设A,B为两个事件,且PA0,称A发生的条件下,事件B发生的条件概率.
4、条件概率的性质:
5、计算事件A发生的条件下B的条件概率,有2种方法: (1)利用定义:PBA二.过关练习
PABnAB (2)利用古典概型公式:PBA
nAPA
1、在10个球中有6个红球和4个白球(各不相同),不放回地依次摸出2个球,在第一次摸出红球的条件下,第2次也摸到红球的概率为 ( )
4213 B. C. D. 951010
2、从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2张,每次抽1张,已知第一次抽到A,第二次也抽到A的概率为 .
A.
3、掷骰子2次,每个结果以x,y记之,其中x1,x2分别表示第一颗,第二颗骰子的点
Bx1,x2x1x2,数,设Ax1,x2x1x210,则PBA4、事件A、B、C相互独立,如果PAB
111
,PBC,PABC,则688
PAB.
三.课堂互动:积极参与 领悟技巧
例1.一张储蓄卡的密码共有6位数字,每位数字都可从0~9中任选一个,某人在银行自
动提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字.求 (3) 任意按最后一位数字,不超过2次就对的概率;
(4) 如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过2次就按对的概率.
例2.一个家庭中有两个小孩,假定生男、生女是等可能的,已知这个家庭有一个是女孩,
问这时另一个小孩是男孩的概率是多少?
例3.甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮,如果两人投中的概率都是0.6,计算:
(1)两人都投中的概率;(2)其中恰有一人投中的概率;(3)至少有一人投中的概率.
例4.在一段线路中并联着三个独立自动控制的开关,只要其中有一个开关能够闭合,线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率.
四.强化训练:自我检测 能力升级
12
,PA,则PBA( ) 33
1214
A. B. C. D.
2999
2.某人忘记了电话号码的最后一个数字,如果已知最后一个数字是不小于5的数,则他按
1. 设A、B为两个事件,且PA0,若PAB对的概率是( )
1234
B. C. D. 5555
111
3.甲射击命中目标的概率是,乙命中目标的概率是,丙命中目标的概率是,现在三
234
A.
人同时射击目标,则目标被击中的概率为 ( )
A.
3274
B. C. D. 43105
4,某产品的制作需三道工序,设这三道工序出现次品的概率分别是P1,P2,P3。假设三道工
序互不影响,则制作出来的产品是正品的概率是 5.在5道题中,有3道选择题和2道解答题,如果不放回地依次抽取2道题: (1)则第一次抽到选择题的概率为 .
(2)第一次和第二次都抽到选择题的概率为 .
(3)则在第一次抽到选择题的条件下,第二次抽到选择题的概率为 . 6.甲、乙两人分别对一目标射击1次,甲射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9,求 (1)2人都射中的概率; (2)2人中恰有1人射中的概率;
(3)2人至少有1人射中的概率;
答案:答案:1,A。2,A。3,A。4,(1-P1) (1-P2) (1-P3)。5,(1)0.6(2)0.3(3)0.5. 6,(1)0.72.(2)0.26.(3)0.98 小结:
1、 条件概率的定义
2、 条件概率的计算公式; 3、 相互独立事件的定义: 作业;P60,1,2.
2.2.2独立重复实验与二项分布
教学目标:
知识与技能:理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解答一些简单的实际问题。 过程与方法:能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。 情感、态度与价值观:承前启后,感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点:理解n教学难点:能进行一些与n授课类型:新授课课时安排:1课时 讲解新课:
2.独立重复试验的概率公式:
一般地,如果在1次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个
事件恰好发生k次的概率Pn(k)CnP(1P)
它是(1P)P展开式的第k1kknk
.
n
3.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中,某事件可能发生也可能不发生,在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量.如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是
kknk
Pn(k)Cnpq,(k=0,1,2,„,n,q1p).
于是得到随机变量ξ的概率分布如下:
k
nk
k
由于Cnpq
恰好是二项展开式
00n11n1kknknn0
(qp)nCnpqCnpqCnpqCnpq
中的各项的值,所以称这样的随机变量ξ服从二项分布,
记作ξ~B(n,p),其中n,p为参数,并记Cnpq
kknk
=b(k;n,p).
例1.某射手每次射击击中目标的概率是0 . 8.求这名射手在 10 次射击中, (1)恰有 8 次击中目标的概率; (2)至少有 8 次击中目标的概率.(结果保留两个有效数字.) 解:设X为击中目标的次数,则X~B (10, 0.8 ) . (1)在 10 次射击中,恰有 8 次击中目标的概率为 P (X = 8 ) =C100.8(10.8)
8
8
108
0.30.
(2)在 10 次射击中,至少有 8 次击中目标的概率为 P (X≥8) = P (X = 8) + P ( X = 9 ) + P ( X = 10 )
8910C100.88(10.8)108C100.89(10.8)109C100.810(10.8)1010
0.68.
例2.重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数记为ξ,求P(ξ>3). 解:依题意,随机变量ξ~B5,.
4
5
1
6
1152551 ∴P(ξ=4)=C=,P(ξ=5)=C5=.
66777667776
45
13
3888
例3.某气象站天气预报的准确率为80%,计算(结果保留两个有效数字):
∴P(ξ>3)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=
(1)5次预报中恰有4次准确的概率; (2)5次预报中至少有4解:(1)记“预报1次,结果准确”为事件A.预报5次相当于5次独立重复试验,根据n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率计算公式,5次预报中恰有4次准确的
概率P5(4)C50.8(10.8)
4454
0.840.41
答:5次预报中恰有4次准确的概率约为0.41.
(2)5次预报中至少有4次准确的概率,就是5次预报中恰有4次准确的概率与5次预报都准确的概率的和,即
5
PP5(4)P5(5)P5(4)C540.84(10.8)54C50.85(10.8)55
0.840.850.4100.328答:5次预报中至少有4次准确的概率约为0.74.
例4.某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是
1
,求1小时内5台机床4
中至少2台需要工人照管的概率是多少?(结果保留两个有效数字)
解:记事件A=“1小时内,1台机器需要人照管”,1小时内5台机器需要照管相当于5
13441141
1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率P(1)C(1), 55
44
55
1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率P5(0)(1)(),
所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为
P1P5(0)P5(1)答:1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率约为0.37.
课堂练习:
1.每次试验的成功率为p(0p1),重复进行10次试验,其中前7次都未成功后3次都成功的概率为( )
33
p3(1p)7 (B)C10p3(1p)3 (C)p3(1p)7 (D)p7(1p)3 (A)C10
2.10张奖券中含有3张中奖的奖券,每人购买1张,则前3个购买者中,恰有一人中奖的
概率为( )
1
3A72A33
(A)C0.70.3 (B)C0.70.3 (C) (D)3
A1010
3
10
2
13
2
3.某人有5把钥匙,其中有两把房门钥匙,但忘记了开房门的是哪两把,只好逐把试开,则此人在3次内能开房门的概率是 ( )
3112A3A32A2A3A2
(A)13 (B) 33
A5A5A5
332321
(C)1()3 (D)C32()2()C3()1()2
55555
4.甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,甲队与乙队实力之比为3:2,比赛时均能正常发挥技
术水平,则在5局3胜制中,甲打完4局才胜的概率为( )
[1**********]1(A)C32()3 (B)C32()2() (C)C4()() (D)C4()() 55535533
5.一射手命中10环的概率为0.7,命中9环的概率为0.3,则该射手打3发得到不少于29
环的概率为 .(设每次命中的环数都是自然数)
6,种植某种树苗,成活率为90%,现在种植这种树苗5棵,试求: ⑴全部成活的概率; ⑵全部死亡的概率; ⑶恰好成活3棵的概率; ⑷至少成活4
答案:1. C 2. D 3. A 4. A 5. 0.784。6,⑴C50.90.59049; ⑵
5C50.150.00001;
55
⑶P53C50.90.10.0729; ⑷PP54P550.91854
3
3
2
小结 :1
2.如果1次试验中某事件发生的概率是P,那么n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次
的概率为Pn(k)CnP(1P)
kknk
1次试验中事件A要么发
生,要么不发生,所以在n次独立重复试验中A恰好发生k次,则在另外的nk次中A没有发生,即A发生,由P(A)P,P(A)1P[(1P)P]展开
n
式中的第k1项,可见排列组合、二项式定理及概率间存在着密切的联系六、课后作业:课本58页 练习1、2、3、60页 习题 2. 2 B组2、3
七、板书设计(略) 八、课后记: 教学反思:
1. 理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解答一些简单的实际问题。 2. 能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。
2.2.2独立重复实验与二项分布
学习目标:
1,理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解答一些简单的实际问题。 2,能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率
学习重点:理解n学习难点:能进行一些与n学习过程:
一.课前预习:内化知识 夯实基础 1,n次独立重复试验
在————————————条件下—————————————的n次试验称为n次独立重复试验。
2,独立重复试验概型有什么特点?
⑴在同样条件下重复地进行的一种试验;
⑵各次试验之间相互独立,互相之间没有影响; ⑶每一次试验只有两种结果,即某事要么发生, 要么不发生,并且任意一次试验中发生的概率 都是一样的。
3,应用二项分布解决实际问题的步骤: (1)判断问题是否为独立重复试验; (2)在不同的实际问题中找出概率模型 中的n、k、p;
(3)运用公式求概率。
4,设诸葛亮解出题目的概率是0.9,三个臭皮匠各自独立解出的概率都是0.6,皮匠中至少一人解出题目即胜出比赛,诸葛亮和臭皮匠团队哪个胜出的可能性大?
解:设皮匠中解出题目的人数为X,则X的分布列:
解出的 概率P
0C30.600.43
1
12 1
C30.60.4
2
21 2
C30.60.4
3
3 3C30.60.40
至少一人解出的概率为:
解1:(直接法)P(x≥1)= P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)=0.936.
解2:(间接法)P(x≥1)=1- P(x=0)=1-0.4=0.936 因为0.936﹥0.9,所以臭皮匠团队胜出的可能性大
三.课堂互动:积极参与 领悟技巧
例1.某射手每次射击击中目标的概率是0 . 8.求这名射手在 10 次射击中, (1)恰有 8 次击中目标的概率; (2)至少有 8 次击中目标的概率.(结果保留两个有效数字.)
例2.重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数记为ξ,求P(ξ>3).
例3.某气象站天气预报的准确率为80%,计算(结果保留两个有效数字): (1)5次预报中恰有4次准确的概率; (2)5次预报中至少有4
3
例4.某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是
1
,求1小时内5台机床4
中至少2台需要工人照管的概率是多少?(结果保留两个有效数字)
课堂练习:
1.每次试验的成功率为p(0p1),重复进行10次试验,其中前7次都未成功后3次都成功的概率为( )
33p3(1p)7 (B)C10p3(1p)3 (C)p3(1p)7 (D)p7(1p)3(A)C10
2.10张奖券中含有3张中奖的奖券,每人购买1张,则前3个购买者中,恰有一人中奖的
概率为( )
13A72A33 (A)C0.70.3 (B)C0.70.3 (C) (D)3A10103
102132
3.某人有5把钥匙,其中有两把房门钥匙,但忘记了开房门的是哪两把,只好逐把试开,则此人在3次内能开房门的概率是 ( )
3112A3A32A2A3A2 (A)13 (B) 33A5A5A5
332321(C)1()3 (D)C32()2()C3()1()2 55555
4.甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,甲队与乙队实力之比为3:2,比赛时均能正常发挥技术水平,则在5局3胜制中,甲打完4局才胜的概率为( )
[1**********]1(A)C32()3 (B)C32()2() (C)C4()() (D)C4()() 55535533
5.一射手命中10环的概率为0.7,命中9环的概率为0.3,则该射手打3发得到不少于29环的概率为 .(设每次命中的环数都是自然数)
6,种植某种树苗,成活率为90%,现在种植这种树苗5棵,试求:
⑴全部成活的概率; ⑵全部死亡的概率;
⑶恰好成活3棵的概率; ⑷至少成活4
小结 :12.如果1次试验中某事件发生的概率是P,那么n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为Pn(k)CnP(1P)kknk1次试验中事件A要么发生,要么不发生,所以在n次独立重复试验中A恰好发生k次,则在另外的nk次中A没有发生,即A发生,由P(A)P,P(A)1P[(1P)P]展开n式中的第k1项,可见排列组合、二项式定理及概率间存在着密切的联系六、课后作业:课本58页 练习1、2、3、60页 习题 2. 2 B组2、3