关于古典概率的几种解法
第15卷第5期V o l . 15 No . 5
达县师范高等专科学校学报(自然科学版)
J o u r n a l o f D a x i a n T e a c h e r s C o l l e g e (N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n )
2005年09月S e p . 2005
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关于古典概率的几种解法
曹晓阳
(达州职业技术学院公共课教研室, 四川达州635001)
【摘 要】通过介绍古典概率的计算方法, 使学生在解题过程中能正确分析题意, 运用适当的方法获得
准确的答案, 从而提高分析问题和解决问题的能力。
【关键词】古典概率; 解法; 排列组合
[中图分类号]O 211 [文献标识码]A [文章编号]1008-4886(2005) 05-0015-03
古典概率是概率论发展初期的主要研究对象, 在概率
论的教程中至今仍占有很重要的地位。因此, 掌握古典概率的计算方法对于学好概率论有着重要的意义。但学生在学习过程中, 对于古典概率的习题往往感到无从下手, 不能准确地获得问题求解的结果。下面结合教学中的体会, 介绍几种计算古典概率的方法, 帮助学生提高解题能力。
组合公式计算概率
例3 一个班级有2n 个男生和2n 个女生, 把全班学生任意地分成人数相等的两组, 求每组中男女生人数相等的概率。
2n
解:显然每组总人数为2n 个, 样本点总数为C 4n 。而每组都是从2n 个男生和2n 个女生中, 各选出n 个男生和n 个女生所组成, 故题给事件所含样本点数为
n 2(C ) 2n n n
C , 则所求事件的概率为2n ·C 2n 2n 。
C 4n
这一问题可以推广为:一批产品中, 有a 件正品, b 件次品, 从中任取m+n (m ≤a, n
1. 从1、2、…n中随机地取出两个数(不重复) , 求其中一个数小于k (1
2
分析:样本点总数为C 的数有k -1个, 大于k n , 小于k 的数有n -k 个, 由乘法原理知题中所给事件含的样本点11
数为C 。k -1·C n -k 2. 设甲袋有a 个白球b 个黑球, 乙袋有c 个白球d 个黑球, 从两袋中各取一球, 求所得两球颜色不同的概率。
分析:由乘法原理得样本点总数为C a +b ·C c +d , 而由乘法原理和加法原理得题给事件所含样本点数为C n ·C d +C ·C 。b c
3. 从n 双尺码不同的鞋子中任取2r (2r
分析:样本点总数为C 2n 。
从n 双鞋中取出1双, 有C -1双鞋n 中取法, 再从n 中取2r -2只, 使其没有成双的有C C n -1·(2) 种取法, 故题给事件所含的样本点数为C C 。n ·C n -1·(2) 4. 在一口袋中有n 种颜色的球, 每种颜色的球都只有
1
2r -2
1
2r -2
2r -2
1
2r -2
1
2r
1
1
1
1
1
1
1 直接计算
当问题比较简单时, 可直接计算k 和n 。
例1 从0, 1, 2, …9十个数字中任取一个数字, 求取得奇数数字的概率。
解:基本事件的总数n =10, 设事件A 表示取得奇数数字, 则它所含的基本事件数为m=5, 从而所求概率为
P (A ) =0. 5。
10
2 间接计算
当直接计算有困难时, 可以考虑利用概率的性质和定理, 间接地计算事件的概率。
例2 一批产品共有50个, 其中45个是合格品, 5个是次品, 从这批产品中任取3个, 求其中有次品的概率。
解:设A ={取出的3个产品中有次品}, A ={取出的3个产品全是正品}, 则事件A 与 A 互为对立事件, 而
3C 45
P (A ) 3=0. 724, 从而所求事件的概率为P (A )=1-C 50P (A ) =0. 276。
3 根据抽样方式进行分类, 针对不同类型, 采取相应的计算公式
3. 1 不放回的抽样方式, 且不考虑顺序, 通常可采取
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[收稿日期]2005—04—04
[作者简介]曹晓阳(1970—) , 男, 四川南充人, 达州职业技术学院公共课教研室助理讲师, 研究方向:数学教育技术。
2005年第5期
k 只, 从中任取r (r ≤n) 只, 求所取r 只球颜色全不相同的概率。
r
分析:样本的点总数为C k n ,
从n 种颜色的球中各取1只球, 有(C ) 种取法, 再从k
取出的n 个球中取r 个球, 有C n 种取法, 由乘法原理得题给事件所含样本点数为(C ) ·C k n 。3. 2 不放回的抽样方式, 且考虑顺序, 通常可采取无重排列去计算概率
例4设一只口袋中装有a 只白球b 黑球, 从中陆续取了3球(不放回) , 求3只球依次为黑白黑的概率。解:显然样本点总数为P , a +b
记A ={所取3球依次为黑白黑}, 从b 个黑球中顺次
21
取出2个, 有P 从a 个白球中取出1个, 有P b 种取法; a 种取法, 则事件A 所含样本点数为P , 于是b ·P a
P ·P b a a b (b -1)
P (A ) 3。
(a +b ) (a +b -1) (a +b -2) P a +b
类似的问题我们还可再举几个例子。1. 在十个数字0、1、2、…9中任取四个(不重复) , 能排成一个四位偶数的概率是多少?
43
分析:显然样本点总数为P P 10-9,
以0为个位的四位偶数有P 9个, 而以2、4、6、8为个位的四位偶数共有4(P P 个, 由加法原理知题给事件9-8) 所含样本点数为P 4(P P 。9+9-8) 2. 一个小孩用十三个字母A , A , A , C , E , H , I , I , M , M , N , T , T 作组字游戏, 如随机地排列字母, 问他组成“M A T H -E M A T I C I A N ”的概率是多少?
分析:由不尽相异元素的重复排列公式知, 样本点总
13!
数为, 而题给事件的排列情况只有惟一的一
3! 2! 2! 2!
48
种, 故所求事件的概率为。
13! 3. 3 放回的抽样方式, 且考虑顺序, 通常可采取有重复的排列去计算概率
例5设有n 个人, 每个人都等可能地被分配到N 个房间中的任何一间去住(n ≤N) , 求下列事件的概率:A :指定的n 个房间各有1人住; B :恰有n 间房间, 其中各住1人。解:因为n 个人都可以住进N 个房间中的任何一个, 各有N 种住法, 所以样本点总数为N 。
n n n
而A 所含样本点数为P 所含样本点数为C , n , B N ·P n
C ! n ! N ·n 于是P (A ) n , P (B ) n 。
N N
这也是一类比较普遍的古典概率题, 下面再举几例。1. 一幢10层楼中的一架电梯在底层走上7位乘客, 电梯在每一层都停, 乘客从2层起离开电梯, 设每位乘客在每层离开都是等可能的, 求没有2位乘客在同一层离开的概率。
分析:解法与例5中P (B ) 的求法一样, 所求概率为
n
n
3
3
2
3
2
3
2
1
2
1
31
r
r r
1
r
7
7
曹晓阳:关于古典概率的几种解法
C 9·P 7
P 7。
92. 掷两颗骰子, 求所得的两个点数中一个恰是另一个的两倍的概率。
2
分析:显然样本点总数为6, 设A 为题所给事件, 则A ={(1, 2) , (2, 1) , (2, 4) ,
(4, 2) , (3, 6) , (6, 3) }, P (A ) 2。
66
3. 一个小组有6个学生, 求:(1) 这6个学生的生日都不相同的概率(设一年有365天) ; (2) 这6个学生的生日都集中在一星期的某两天但不是都在同一天的概率。
分析:(1) 的解法与例5中P (B ) 的求法仍然一样, 所
6P 365
求概率为P 6。
365
62
(2) 样本点总数为7。从一星期中选出两天, 有C 7种选法。6个人在这两天过生日, 有2种情况, 其中包括这6人生日集中在两天中的某一天的情况, 故题给事件所
2
含样本点数为C 26-2) 。7(
4. 把n 个不同的球随机地放入n 个匣子中去, 求恰有一个空匣子的概率。
n
分析:样本点总数为n 。先将n 个球分成n -1组, 有2n -11C 种分法; 从n 个匣子中取出n -1个, 有C =C n n n 种取法; 再将这n -1个匣子各放入一组球, 有(n -1) ! 种放
21
法, 故题给事件所含样本点数为C ·(n -1) !。n ·C n
6
4 当题目比较复杂时(如事件较复杂, 数据较大或以文字形式给出等) 可用较小的数字试一下, 以便搞清题意, 发现计算规律, 也可考虑利用几何直观
例6把n 个“0”与n 个“1”随机地排成一列, 求没有两个“1”连在一起的概率。
解:不妨分别取n =3、4、5试一下, 观察它们是否有规律可循。
(1) 当n =3时, 考虑所有情况发现没有两个“1”连在一起的排列如下:
010101、101010、101001、100101共有4=3+1种排法; (2) 当n =4时, 没有两个“1”连在一起的排列如下:01010101、10101010、10100101、10010101、10101001
共有5=4+1种排法; (3) 当n =5时, 没有两个“1”连在一起的排列如下:0101010101、1010101010、1010101001、1010100101、1010010101、1001010101
共有6=5+1种排法。
由此发现它们存在一个共同点, 那就是没有两个“1”连在一起的排法是“个数加1”,于是题给事件所含样本点数为n +1。
曹晓阳:关于古典概率的几种解法2005年第5期
而由不尽相异元素的全排列数公式知样本点总数为n
=C 2n
n ! n !
n +1
故所求事件的概率为P (A ) n 。
C 2n
关于这类题型我们还可再举一例:一个口袋中有m 个白球n 个黑球(m>n ) , 从袋中一个个把球取出(不返回) , 直至把球全部取出, 求在整个摸球过程中得到相同个数黑白球的概率。
分析:通过试验和观察可得出题给事件所含样本点数2(m+n -1) ! (m+n ) ! 为, 样本点总数为, 故所求概率为m ! (n -1) ! m ! n ! P 。
m+n
当然古典概率的题型千变万化, 其解法也多种多样, 但不管怎样我们都发现这种题型往往都离不开排列组合,
所以这就要求我们在解古典概率时, 必须熟练掌握排列组合的相关知识, 对题目认真分析, 利用有关公式, 寻求好的解题方法, 从而得到正确结果。参考文献:
[1]华东师范大学数学系. 概率论与数理统计教程[M ]. 北京:高等教育出版社, 1987. [2]华东师范大学数学系. 概率论与数理统计习题集[M ]. 北京:高等教育出版社, 1987. [3]概率论与数理统计教程[M ]. 北京:高等教育出版社, 2000.
[4]许清华等. 初等代数专题研究(上) [C ]. 成都:四川师范大学学报编辑部, 1989.
[责任编辑 陈顺清]
S e v e r a l S o l u t i o n s o f C l a s s i c a l P r o b a b i l i t y
C A OX i a o -y a n g
(S e c t i o no f G e n e r a l S t u d i e s , D a z h o u V o c a t i o n a l ＆T e c h n o l o g i c a l C o l l e g e , D a z h o u S i c h u a n 635001, C h i n a )
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