求解随机微分方程法的稳定性_王鹏飞
第32卷第1期2008年2月 江西师范大学学报(自然科学版)
J OURNAL OF JIANGXI NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIE NCE) Vol. 32No. 1 Feb. 2008
文章编号B 1000-5862(2008) 01-0019-03
求解随机微分方程Heun 法的稳定性
王鹏飞, 殷 凤, 蔺小林
1, 2
2
1
(1.陕西科技大学理学院, 陕西西安 710021; 2. 忻州师范学院数学系, 山西忻州 034000)
摘要B 研究了Heun 法用于求解随机微分方程的稳定性, 利用随机变量服从正态分布的性质, 得到了在噪
声为乘性噪声时, Heun 法用于求解标量自治随机微分方程的均方稳定性、指数稳定性和T-稳定性的充要条件.
关键词B Heun 法; 随机微分方程; 均方稳定; 指数稳定; T -稳定性中图分类号B O 175 文献标识码B A
随机微分方程在描述现象中起着越来越重要的作用, 但在解决实际问题时存在与常微分同样的问题, 那就是其解析解不易求得, 所以构造合理的数值方法就显得十分重要, 所构造的数值方法的合理性取决于方法本身的收敛性和稳定性. 近年来关于求解随机微分方程数值方法收敛性和稳定性的文章主要集中在Euler 法
[1-2]
和Milstein 法
[3-4]
. 本文提出新方法) ) ) Heun 法, 并给出此方法的均方稳定性的条件, 进一步给出
Heun 法求随机微分方程时均方稳定和指数稳定是等价的, 同时给出Heun 法求随机微分方程T -稳定性的充要条件. 对于如下随机微分方程
d y (t) =f (y (t) ) d t +g (y (t) ) d w (t) , t I [t 0, T ], y (t 0) =y 0, y I R,
g (t) d w (t) a b
(1)
其中f (y ) , g(y ) 为[t 0, T]上的连续可测函数, 分别称为偏移系数和扩散系数, 且E |y 0|2
=
Q
b
g(t) d w (t) |2=
a
E [|g (t) |Q
b a
2
]d t. 方程(1) 有两种较为特殊的情形:一种是当g (y ) 关于y 为线性
时称为乘性(multiplicative ) 噪声; 另一种是当g (y ) 为常量时称为加性(additive ) 噪声. 为了研究随机微分方程数值法的性质, 一般对随机微分方程应用一步法求解时得到迭代式y n+1=R (h, K , L , $w ) y n .
定义1
[5]
令R 1=E (R (h, K , L , $w ) ) , 则称R 1(h, K , L ) 是此方法的均方稳定函数; 如果给定步长h,
2
|R 1(h, K , L ) |
定义2 对于给定步长h, 一个数值方法用于解随机微分方程得到其离散解{y n }]n=0, 如果存在两个正常数m 和N 使得E |y n |数稳定的.
n
2
[NE |y 0|e
2-m nh
, P n \0, 则称此数值方法对于随机微分方程在均方意义下是指
定义3
[6]
令R T =
i=1
F R(h, K , L , $w i ) , y n+1=
R T (h, K , L ) y n , 若|R T (h, K , L ) |
是T -稳定的.
1 数值算法Heun 法
定义4[7] 称格式
收稿日期B 2007-09-10
基金项目B 国家自然科学基金(60472003) 资助项目.
作者简介B 王鹏飞(1975-) , 男, 山西偏关人, 讲师, 主要从事随机微分方程数值分析和模糊数学的研究.
20江西师范大学学报(自然科学版) 2008年
i
y i n+1=y i n +H 1(y i n , t n , $n w , h,
i i i i i i
$n w +h $n F ) h +H 2(y i n , t n , $$n w +h $n F ) $n w n w , h, 2626
y (0) =y 0
为第i 次模拟的数值格式, 其中y 0表示对与y 0同分布的随机变量的第i 次独立抽样.
称格式
y t
n+1
i i
i
=y t n +H 1(y t n , t n , $n w , h,
Q
t
n
t n+1
(w u -w t n ) d u) h +H 2(y t n , t n , $n w , h,
Q (w
n+1n
t t
u
-w t n ) d u) $n w
y t 0(0) =y 0
为第i 次模拟理论格式.
定义5 令H 1=(f (y n ) +f (y n +hf (y n ) ) ) , H 2=g(y n ) $w n , 则称y n+1=y n +(f (y n ) +f (y n +
22
hf (y n ) ) ) +g (y n ) $w n 为H eun 法.
2 数值算法的稳定性分析
现在考虑特殊的随机微分方程
d y (t) =K y d t +L y d w(t ) , t I [0, T], y (0) =y 0=1, K , L I R.
(2)
为了求方程(2) 的解, 将区间N 等分, 0=t 0
22
K h /2+L$w n ) y n , 其中$w n =I h , I 服从标准正态分布.
22
R 1(h, K , L ) =E (R 2(h, K , L , $w ) ) =E (1+K h +K h /2+L$w n ) 2=
2222222E ((1+K h +K h /2) 2+L 2$w 2h +K h /2) ) =(1+K h +K h /2) 2+L h. n +2L$w n (1+K
222只要|R 1(h , K , L ) |
L y d w (t) , t I [0, T ], y (0) =y 0=1, K , L I R 是均方稳定的.
22对y n+1=(1+K h +K h /2+L$w n ) y n 两边求模方, y n 与I 相互独立, I 服从标准正态分布. 于是有
E |y n+1|=E |1+K h +K h /2+L I |E |y n |=(|(1+K h +K h /2) |+|L h |) E |y n |. 又由均方稳定性定义, 得出下面结论.
定理1 Heun 法对方程d y (t) =K y d t +L y d w (t) , t I [0, T ], y (0) =y 0=1, K , L I R 是均方稳定的充要条件是|(1+K h +K h /2) |+|L h |
当|(1+K h +K h /2) |+|L h |
22222
N =1, m [ln (|(1+K h +K h /2) 2|+|L h |) , 则E |y n |2=(|(1+K h +K h /2) 2|+|L 2h |) n
h
E |y 0|2[NE |y 0|2e -mnh , P n \0, 则Heun 法对方程d y (t) =K y d t +L y d w (t) , t I [0, T ], y (0) =y 0=1, K , L I R 是指数稳定的. 由均方稳定性和指数稳定性的定义, 又可得出下面结论.
定理2 Heun 法对方程d y (t) =K y d t +L y d w (t) , t I [0, T ], y (0) =y 0=1, K , L I R 是指数稳定的
22充要条件是|(1+K h +K h /2) 2|+|L 2h |
22
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2222222222
定理3 Heun 法对方程d y (t) =K y d t +L y d w (t) , t I [0, T ], y (0) =y 0=1, K , L I R 是指数稳定和均方稳定是等价的.
由均方稳定性和指数稳定性的充要条件进一步得出结论.
(1) 当K
2-1-1) /K , 1/(2L ) };
2-1-
第1期王鹏飞, 等:求解随机微分方程Heun 法的稳定性21
成立时, Heun 法对方程(2) 是指数稳定和均方稳定的;
(3) 当K >0时, Heun 法对方程(2) 不是指数稳定和均方稳定的.
从上面的讨论知步长的选取影响方法的指数稳定性和均方稳定性, 只要步长落在某个区间内, 方法的指数稳定性和均方稳定性能够得到保证, 但并不是步长越小稳定性越好, 当步长趋近于零时, 方法的稳定性却不能够保持.
定理4 Heun 法对方程d y (t ) =K y d t +L y d w (t) , t I [0, T], y (0) =y 0=1, K , L I R 是T -稳定的充要条件是|1+K h +K h /2|
n
22
证 因为R(h , K , L , $w i ) =1+K h +K h /2+L$w n , 所以R T =K h /2+L$w n , 又有E(1+K h +K h /2+L hI ) =K h +K h /2)
2222
22
2
2
22
i=1
, L , $w i ) =F R (h, K
2
1+K h +
Q
+]-]
-x /222
(1+K h +K h /2+) d x =
2P
22
Q (1+
+]-]
-x 2/2
d x +2P
Q
+]-]
-x 2/2
d x =1+K h +K h /2, 所以当|1+K h +K h /2|
2
2
22
K h +K h /2+L )
进一步得出下面的结论.
(1) 当K
(2) 当K >0时, Heun 法对方程(2) 不是T -稳定的.
随机微分方程数值解法的T -稳定和渐进稳定是等价的, 所以渐进稳定的条件也容易得到. 当噪声为加性噪声时同样能够得到其稳定性的条件, 在此就不再叙述了. 参考文献:
[1]Liu Mimg -zhu, Cao Wan -rong, Fan Zhen -cheng. Convergence and stability of the semi implicit Euler method for a linear stochastic differen -tial delay equation[J]. J Comp Apple Math, 2004, 170:255-268.
[2]Glenn M arion, Mao Xue -rong, Eric Ren -shaw. Convergence of the Euler scheme for a class of stochastic differential equation [J]. Interna -ti onal Mathematical Journal, 2001, 1(1) :9-22.
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[6]Saito Y, Mitsui T. T -stabili ty of numerical scheme for stochastic differential equations[J]. World Sci Ser Appl Anal, 1993, 2:333-344. [7]冯建峰. 随机微分方程数值解法[J]. 计算数学, 1990, 2:167-180.
S tab ility of the Heun Methods for S olving S tochastic Differential Equations
W ANG Peng -fei , YI N Feng , LI N Xiao -lin
1, 2
2
2
(1.Faculty of Science, Shanxi Universi ty of Sci ence &Technolgy, Xi . an 710021, China; 2. Department of Mathematics, Xi nzhou Teac hers Univers ity, Xinzhou Shanxi 034000, China)
Abstract :The positive solutions to the stability of Heun method in solving stochastic differential equations are studied. In the circumstance of measurement noise, the sufficient and necessary conditions for the mean square stability , the expo -nential stability and T -stability of Heun method in solving autonomous scalar stochastic differential equations was gained by using the property of stochastic variable being subordinated to normal distribution.
Key words :Heun method; stochastic differential equation; mean square stability; exponential stability; T -stability
(