100教育:初中数学完全平方公式知识点归纳

初中数学完全平方公式知识点归纳

完全平方公式是初中学习当中一个比较重要的知识点，今天极客数学帮就为大家总结了完全平方公式的知识点以及练习题。帮助同学们学习、掌握完全平方公式的知识内容。

完全平方公式：

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。

（a+b）2=a^2+2ab+b^2，

（a-b ）2=a^2-2ab+b^2。

（1）公式中的a 、b 可以是单项式，也就可以是多项式。

（2）不能直接应用公式的，要善于转化变形，运用公式。

该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解）。

结构特征：

1. 左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；

2. 左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接；

左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）;

3.. 公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式．

记忆口诀:首平方，尾平方，2倍首尾。

使用误解：

①漏下了一次项；

②混淆公式；

③运算结果中符号错误；

④变式应用难于掌握。

注意事项：

1、左边是一个二项式的完全平方。

2、右边是二项平方和，加上（或减去）这两项乘积的二倍，a 和b 可以是数，单项式，多项式。

3、不论是还是，最后一项都是加号，不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。

完全平方公式例题解析：

（一）、变符号

例：运用完全平方公式计算：

（1）(-4x+3y)^2

（2）(-a-b)^2

分析：本例改变了公式中a 、b 的符号，以第二小题为例，处理该问题最简单的方法是将这个式子中的(-a)看成原来公式中的a ，将(-b)看成原来公式中的b ，即可直接套用公式计算。

解答：

(1)16x^2-24xy+9y^2

(2)a^2+2ab+b^2

（二）、变项数：

例：计算：(3a+2b+c)^2

分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。所以在运用公式时，(3a+2b+c)2可先变形为[(3a+2b)+c]2，直接套用公式计算。

解答：9a^2+12ab+6ac+4b^2+4bc+c^2

（三）、变结构

例：运用公式计算：

（1）(x+y)(2x+2y)

（2）(a+b)(-a-b)

（3）(a-b)(b-a)

分析；本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发现，只要将其中一个因式作适当变形就可以了，即

（1）（x+y）(2x+2y)=2(x+y)^2

（2）(a+b)(-a-b)=-(a+b)^2

（3）(a-b)(b-a)=-（a-b ）^2

完全平方公式练习题

一：填空题

1、因式分解： 9x2－1=_________________, 4x2－4x ＋1=_________________. a4－b4=_________________, an＋2－an=____________________

2、多项式x^2＋mx ＋36是一个完全平方式，则m=_____________.

3、多项式x2＋ax ＋b 可以因式分解成（x －1）（x ＋3）则a=_______, b=______.

4、如果x=3时，多项式x3－4x2－9x ＋m 的值为0，则m=_________,多项式因式分解的结果为_______________________.

二：选择题

1、下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）

（A ）（a ＋3）（a －3）=a^2－9

（B ）4a2＋4a ＋3=（2a ＋1）^2＋2

（C ）x2－1=（x ＋1）（x －1）

（D ）－2m （m^2－3m ＋1）=－2m^3＋6m^2－2m

2、下列各式，能用完全平方因式分解的多项式的个数为（ ）

①－a^2－b^2＋2ab ②a^2－ab ＋b^2 ③a^2－a ＋14 ④4a^2＋4a －1

（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个

3、用因式分解多项式3xy ＋6y2－x －2y 时，分解正确的个数（ ）

①3xy＋6y^2－x －2y =（3xy －x ）＋（6y2－2y ）

②3xy＋6y^2－x －2y=（3xy ＋6y^2）－（x ＋2y ）

③3xy＋6y^2－x －2y=（3xy －2y ）＋（6y2－x ）

（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个

4. 下列多项式中何者含有2x ＋3的因式（ ）

(A)2x^3＋3 (B)4x^2－9 (C)6x^2－11x ＋3 (D)2x^2＋x ＋3

5. 下列何者是2x^2－11x －21的因式？（）

(A)(x－6) (B)(x＋7) (C)(2x－3) (D)(2x＋3)

6. 下列何者为甲×丙＋乙×丙的因式 （）

(A)甲＋乙×丙 (B)甲＋乙 (C)甲＋丙 (D)丙＋乙。

7. 下列各式中，何者不是x2－4的因式？ （）

(A)x＋2 (B)x－2 (C)x2－4 (D)x^2。

8.a2－b2的因式不可能是下列那一个？（）

(A)a2＋b2 (B)a＋b (C)a－b (D)a2－b2。

9. 下列何者错误？（）

(A)(-a＋b)^2＝a2－2ab ＋b2 (B)(a－b)(a＋b) ＝a^2－b^2

(C)(a－b)^2＝a2－2ab －b2 (D)(4＋3)^2＝42＋8×3＋32。

10. 下列各式中，何者是2x^2－11x －21的因式？（）

(A)2x－3 (B)x＋7 (C)x－7 (D)2x＋7。

11. 下列何者为2x2＋3x ＋1与4x^2－4x －3的公因式？（）

(A)x＋1 (B)x＋2 (C)2x－3 (D)2x＋1。

12. 因式分解（a ＋2)^2－3(a＋2) ＝（）

(A)(a＋2)(a－3) (B)(a＋2)(a＋3) (C)(a＋2)(a＋1) (D)(a＋2)(a－1) 。

13. 下列何者正确？（）

(A)a2－b2＝(a－b)^2

(B)a^2－2ab ＋b^2＝(a＋b)(a－b)

(C)a^2＋2ab ＋b^2＝(a＋b)^2

(D)a^2＋b^2＝(a＋b)(a－b) 。

14. 因式分解9x^2－1＝ （）

(A)(9x＋1)(9x－1)

(B)(3x－1)^2

(C)(3x＋1)(3x－1)

(D)(9x－1)^2

15. 若5x2－7x －6＝(5x＋a)(x＋b) ，则 下列正确的是

(A)a＝-3 (B)b＝-2 (C)ab＝6 (D)a＋b ＝5。 （ ）

16.x2＋mx ＋n ＝(x＋a)(x＋b) ，若m ＜0，n ＞0，则（）

(A)a＞0，b ＞0 (B)a＜0，b ＜0 (C)a＞0，b ＜0 (D)a＜0，b ＞0。

17. 找出下列何者是15x2＋x －2的因式？（）

(A)5x－2 (B)15x＋2 (C)3x－1 (D)3x＋1。

18. 下列何者是(x－4)(x－5) －42的因式？（）

(A)x－2 (B)x＋11 (C)x－11 (D)x＋3。

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