2010年高考与集合有关试题的五大题型及解法
2010年高考与集合有关试题的五大题型及解法
安徽省怀宁县石牌高级中学
246100
陈方涛
高考对集合的考查常以小题为主,难度不大,要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识.近几年高考试题加强了对集合的运算、化简的考查,并向新定义集合发展.本文结合2010年高考题对此知识点归类解析.
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集合基本概念例1(辽宁卷)
已知A,B均为集合U={1,3,
n
B={3},(巴B)n
A={9},
则A=(
)
A.{1,3}
B.{3,7,9}
C.{3,5,9}D.{3,9}解析
因为A
n
B={3},(c,,剐1"3A={9}
且Bu(CvB)=U,所以A={3,9},故选D.
例2
(湖南卷)已知集合肘={1,2,3},J}、『=
{2,3,4},则(
)
八.M∈N
B.N∈M
C.肘nN={2,3}
‘
D.MuN={1,4}
解析
因为M={l,2,3},N={2,3,4},所以
选项A、B显然不对.又肘uN={1,2,3,4},所以选项D错误.又MnⅣ={2,3},故选C.
例3(江苏卷)设集合A={一1,1,3},B={n+2,口2+4},A
n
B={3},贝0实数a=——
解析
因为An
B={3},所以口+2=3或口2
+4=3,由口为实数可解之得a=1.
解法归纳
此类试题应紧抓集合中元素的三
要素:确定性、互异性、无序性,一方面利用集合中元素特点,列方程组求解,但仍要检验,看最后结果是否符合题意:另一方面可由集合中所有元素的和或积相等,整体考虑,列出方程组求解.
子集或元素个数问题
例4(湖北卷)设集合A={(x,y)l等+话=
1},B={(茹,),)Iy=3。},则An
B的子集的个数是(
)
A.4
B.3
C.2
D.1
万方数据
解析
画出椭圆等+东=1和指数函数y=35
图象,可知其有两个不同交点,记为A,、A:,则A
nB
的子集应为D,{A.},{A:},{A。,A:}共四种,故选
A.3
集合间的包含关系及运算
例5(浙江卷)(1)设P={戈I龙<4},Q={戈I算2<4},则(
)A.P∈QB.Q∈PC.P∈CRQD.Q∈CRP
解析Q={菇I一2<菇<2},所以Q£P,故
选B.
例6(天津卷)设集合A={石|l戈一al<l,
戈∈R},B={zI戈一b
I>2,戈∈R}.若A∈曰,贝0
实数n,6必满足(
)
A.I口+6I≤3
B.I
n+6l≥3
C.1o—bl≤3D.1口一6I≥3
解析
A={石I口一1<z<o+1},B={茗I
x>b+2或戈<b一2},由A∈B得b+2≤n一1或b一2≥a+1,即口一b≥3或口一b≤一3,即I口
一b
I≥3.故选D.解法归纳
(1)借助数轴处理此类题型是一个
最有效方法,主要是分清谁是谁的子集.(2)不可忽视空集这一特殊集合,不要将空集忘了考察.(3)关注集合的端点的取舍。
4
交、并、补的运算
例7(全国卷1)设全集U={l,2,3,4,5},集
合M={1,4},Ⅳ={1,3,5},则,vn(C,jM)=(
)
A.{1,3}B.{1,5}C.{3,5}D.{4,5}
解析
因为C,M={2,3,5},所以Ⅳn(巴朋)
={1,3,5}n{2,3,5}={3,5}.故选C.
例8(全国新课标卷)已知集合A=
{菇||戈I≤2,x∈RI,曰={并I√z≤4,名∈z},贝0
A
nB=(
)
A.(0,2)
B.[0,2]C.{0,2}D.{0,1,2}
4l
5,7,9}的子集,且A2
解析由已知得A={zI一2≤髫≤2},B=
{0,1,…,16},所以A
n
B={0,1,2}.故选D.
解法归纳
此类试题首先要求考生对交集、并
集、补集的定义及相关性质非常熟悉;其次解题之后要注意检验,看所得答案是否符合题中条件,再次,在运算方法选择上可适时选用数轴、Venn图等,可提高思维起点,简化运算过程,提高运.用数形结合解题的能力.
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与集合有关的新定义例9
(广东卷)在集合{a,b,c,d}上定义两种
运算①和。如下:
那么dO(noC)=
A.a
B.b
C.c
D.d
解析由所给运算知口oC=c,因此d@c=a.故选A.
例10
(四川卷)设Js为复数集C的非空子集.
若对任意石,y∈S,都有髫+y,菇一),,xy∈S,则称S为封闭集.下列命题:①集合S={a+6il(a,6为整数,i为虚数单位)}为封闭集;②若s为封闭集,则一定有0∈|s;③封闭集一定是无限集;④若s为封闭集,则满足S∈r∈C的任意集合r也是封闭集.
其中真命题是——(写出所有真命题的序号)
解析
对于整数ol,bl,a2,b2,有ol+6Ii+口2+
62i=(口l+a2)+(b1+b2)i∈S,口l+6li一(n2+62i)=(a1一02)+(6I—b2)i∈S,(aI+bIi)X(口2+62i)=(o102一blb2)+(n162+02bI)i∈S,所以①正确.
当口1=02,bl=b2时,nl+6li一(a2+62i)=0∈S,所以②正确.
当S={0}时,5为封闭集,所以③错误.取S={0},T={0,1,2,3}时,显然2X
3=6
岳T,所以④错误.
答案①②.解法归纳
此类试题主要考查阅读与理解、信
息迁移以及学生的学习潜力。考查学生分析问题和解决问题的能力.属于创新题型,情景新,知识点活,有很强的发散性,处理此类问题的关键是准确理
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万方数据
解题中的新概念、新运算、新关系,再通过合理的逻辑推理,抓住共性来进行探索,从而发现不变的规律。化解难点.
附:链接练习
1.设集合A={戈I一÷<髫<2},B={戈2
I≤
1},则A
UB=
()
A.{茗l一1≤菇<2}
B.{戈l一÷<戈≤1}
C.{茗l省<2}D.{zI
1≤算<2}
解析
因为A={茗l—i1<戈<2},B={茗I
茹2≤1}={zl一1≤x≤1},所以AU
B={髫I一
1≤并<2},故选A.
2.集合A={0,2,口},B={l,a2},若AuB=
{0,l,2,4,16},则Ⅱ的值为(
)
A.0
B.1
C.2
D.4
解析因为A={0,2,o},B=}1,a2},A
uB
:Io,1,2,4,16}所以l口2=16所以n:4,故选D.
L口=4
3.设A是整数集的一个非空子集,对于J|}E
A,
如果I|}一1隹A且忌+1隹A,那么.j}是A的一个“孤立元”,给定S={1,2,3,4,5,6,7,8,},由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有
——个.
解析
什么是“孤立元”?依题意可知,必须是
没有与后相邻的元素,因而无“孤立元”是指在集合中有与矗相邻的元素.
因此,符合题意的集合是:{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8}共6个.
故应填6.
4.已知全集U=}1,2,3,4,5,6,7,8},M={1,
3,5,7},N={5,6,7},则巳(g
UⅣ)=()
A.{5,7}B.{2,4}
C.{2,4,8}D.{1,3,5,6,7}
答案:C.
作者简介陈方涛,1972年10月出生,本科,党员,县数学学科教学能手,现供职于安徽省怀宁县石牌高级中学,长期从事高中数学教学与研究.