考研数学公式大全(考研必备)
高等数学公式篇
·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC 中,
角A 的正弦值就等于角A 的对边比斜边, 余弦等于角A 的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数：
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式：
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t) ，tant=A/B ·倍角公式：
sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] ·三倍角公式：
sin(3α)=3sinα-4sin^3(α) co s(3α)=4cos^3(α)-3cosα
万能公式：
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
半角公式：
sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα ·降幂公式
sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) ·积化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα
·和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
推导公式
tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 ·其他：
sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 三角函数的角度换算 公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）＝sinα cos （2kπ＋α）＝cosα tan （2kπ＋α）＝tanα cot （2kπ＋α）＝cotα 公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin （－α）＝－sinα cos （－α）＝co sα tan （－α）＝－tanα cot （－α）＝－cotα 公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π－α）＝－sinα cos （2π－α）＝cosα 公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin （π/2＋α）＝cosα cos （π/2＋α）＝－sinα tan （π/2＋α）＝－cotα cot （π/2＋α）＝－tanα sin （π/2－α）＝cosα cos （π/2－α）＝sinα tan （π/2－α）＝cotα cot （π/2－α）＝tanα
sin （3π/2＋α）＝－cosα cos （3π/2＋α）＝sinα tan （3π/2＋α）＝－cotα cot （3π/2＋α）＝－tanα sin （3π/2－α）＝－cosα cos （3π/2－α）＝－sinα tan （3π/2－α）＝cotα cot （3π/2－α）＝tanα tan （2π－α）＝－tanα cot （2π－α）＝－cotα 公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）＝－sinα cos （π＋α）＝－cosα tan （π＋α）＝tanα cot （π＋α）＝cotα 公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π－α）＝sinα cos （π－α）＝－cosα tan （π－α）＝－tanα cot （π－α）＝－cotα
(以上k ∈Z) 部分高等内容
·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得) ：
sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)] 泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋… 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。 ·三角函数作为微分方程的解：
对于微分方程组 y=-y'';y=y''''，有通解Q, 可证明 Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。
补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。 特殊三角函数值 a 0` 30` 45` 60` 90` sina 0 1/2 √2/2 √3/2 1 cosa 1 √3/2 √2/2 1/2 0 tana 0 √3/3 1 √3 None cota None √3 1 √3/3 0
导数公式：
(tgx ) '=sec 2x (ctgx ) '=-csc 2x
(secx ) '=sec x ⋅tgx (cscx ) '=-csc x ⋅ctgx
x x '(a ) =a cos a x +C tgxdx =-ln ⎰
1
ctgxdx =ln +C '(logx ) =⎰a
ln a
⎰sec xdx =ln sec x +tgx +C
(arcsinx ) '=
1
-x 2
1
(arccosx ) '=-
-x 21'(arctgx ) =dx 1+x 22
xdx =tgx +C ⎰cos 2x =⎰sec 1'(arcctgx ) =-2dx 1+2x xdx =csc =-ctgx +C ⎰sin 2x ⎰
⎰csc xdx =ln csc x -ctgx +C
dx 1x
=arctg +C ⎰a 2+x 2a a dx 1x -a
=ln ⎰x 2-a 22a x +a +C dx 1a +x
=⎰a 2-x 22a ln a -x +C dx x
=arcsin +C ⎰a 2-x 2
a
π
2
n
⎰sec x ⋅tgx dx =sec x +C ⎰csc x ⋅ctgxdx =-csc x +C
a x
⎰a dx =ln a +C
x
⎰shxdx =chx +C ⎰chxdx =shx +C ⎰
dx x 2±a 2
=ln(x +x 2±a 2) +C
π
2
I n =⎰sin xdx =⎰cos n xdx =
n -1
I n -2n
⎰x
x +a dx =
2
2
a 2
x +a +ln(x +x 2+a 2) +C
2
2
基本积分表：
三角函数的有理式积分：
2u 1-u 2x 2du
sin x =， cos x =， u =tg ， dx =
21+u 21+u 21+u 2
一些初等函数： 两个重要极限：
e x -e -x
双曲正弦:shx =
2e x +e -x
双曲余弦:chx =
2
shx e x -e -x
双曲正切:thx ==
chx e x +e -x arshx =ln(x +x 2+1）archx =±ln(x +x 2-1)
11+x
arthx =ln
21-x
三角函数公式： ·诱导公式：
sin x lim =1x →0 x
1
lim (1+) x =e =2. [**************]... x →∞ x
·和差角公式： ·和差化积公式：
sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin βcos(α±β) =cos αcos β sin αsin βtg (α±β) =
tg α±tg β1 tg α⋅tg βctg α⋅ctg β 1
ctg (α±β) =
ctg β±ctg α
sin α+sin β=2sin
α+β
22α+βα-β
sin α-sin β=2cos sin
22α+βα-β
cos α+cos β=2cos cos
22α+βα-β
cos α-cos β=2sin sin
cos
α-β
·倍角公式：
sin 2α=2sin αcos α
cos 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α=cos 2α-sin 2αctg 2α-1
ctg 2α=
2ctg α2tg α
tg 2α=
1-tg 2α
·半角公式：
sin 3α=3sin α-4sin 3αcos 3α=4cos 3α-3cos α3tg α-tg 3αtg 3α=
1-3tg 2α
sin tg
α
2
=±=±
-cos αα+cos α
cos =±222
1-cos α1-cos αsin αα+cos α1+cos αsin α
== ctg =±==
1+cos αsin α1+cos α21-cos αsin α1-cos α
a b c
===2R ·余弦定理：c 2=a 2+b 2-2ab cos C sin A sin B sin C
α
2
·正弦定理：
·反三角函数性质：arcsin x =
π
2
-arccos x arctgx =
π
2
-arcctgx
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：
(uv )
(n )
k (n -k ) (k )
=∑C n u v k =0
n
=u (n ) v +nu (n -1) v '+
n (n -1) (n -2) n (n -1) (n -k +1) (n -k ) (k )
u v ''+ +u v + +uv (n )
2! k !
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：f (b ) -f (a ) =f '(ξ)(b -a ) f (b ) -f (a ) f '(ξ)
=
F (b ) -F (a ) F '(ξ)
曲率：
当F (x ) =x 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
弧微分公式：ds =+y '2dx , 其中y '=tg α平均曲率：K =
∆α
∆α:从M 点到M '点，切线斜率的倾角变化量；∆s ：M M '弧长。∆s
y ''∆αd α
M 点的曲率：K =lim ==.
23∆s →0∆s ds (1+y ')
直线：K =0; 1
半径为a 的圆：K =.
a
定积分的近似计算：
b
矩形法：⎰f (x ) ≈
a b
b -a
(y 0+y 1+ +y n -1) n
b -a 1
[(y 0+y n ) +y 1+ +y n -1]n 2
b -a
[(y 0+y n ) +2(y 2+y 4+ +y n -2) +4(y 1+y 3+ +y n -1)]3n
梯形法：⎰f (x ) ≈
a
b
抛物线法：⎰f (x ) ≈
a
定积分应用相关公式：
功：W =F ⋅s
水压力：F =p ⋅A
m m
引力：F =k 122, k 为引力系数
r
b 1
函数的平均值：y =f (x ) dx
b -a ⎰a 12
f (t ) dt ⎰b -a a
空间解析几何和向量代数：
b
空间2点的距离：d =M 1M 2=(x 2-x 1) 2+(y 2-y 1) 2+(z 2-z 1) 2向量在轴上的投影：Pr j u =cos ϕ, ϕ是u 轴的夹角。
Pr j u (a 1+a 2) =Pr j a 1+Pr j a 2
a ⋅b =a ⋅b cos θ=a x b x +a y b y +a z b z , 是一个数量, 两向量之间的夹角：cos θ=i
c =a ⨯b =a x
b x
j a y b y
a x b x +a y b y +a z b z
a x +a y +a z ⋅b x +b y +b z
2
2
2
2
2
2
k
a z , c =a ⋅b sin θ. 例：线速度：v =w ⨯r . b z
a y b y c y
a z
b z =a ⨯b ⋅c cos α, α为锐角时，
c z
a x
向量的混合积：[a b c ]=(a ⨯b ) ⋅c =b x
c x 代表平行六面体的体积。
平面的方程：
1、点法式：A (x -x 0) +B (y -y 0) +C (z -z 0) =0，其中n ={A , B , C },M 0(x 0, y 0, z 0) 2、一般方程：Ax +By +Cz +D =0
x y z
3++=1
a b c 平面外任意一点到该平面的距离：d =
Ax 0+By 0+Cz 0+D
A 2+B 2+C 2
⎧x =x 0+m t
x -x y -y 0z -z 0 ⎪
0===t , 其中s ={m , n , p };参数方程：⎨y =y 0+nt
m n p ⎪z =z +pt
0⎩二次曲面：
x 2y 2z 2
12+2+2=1
a b c x 2y 2
2+=z （, p , q 同号）
2p 2q 3、双曲面：
x 2y 2z 2
2+2-2=1
a b c x 2y 2z 2
2-2+2=（马鞍面）1
a b c
多元函数微分法及应用
全微分：dz =
∂z ∂z ∂u ∂u ∂u dx +dy du =dx +dy +dz ∂x ∂y ∂x ∂y ∂z
全微分的近似计算：∆z ≈dz =f x (x , y ) ∆x +f y (x , y ) ∆y 多元复合函数的求导法：
dz ∂z ∂u ∂z ∂v
z =f [u (t ), v (t )]=⋅+⋅
dt ∂u ∂t ∂v ∂t
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v
z =f [u (x , y ), v (x , y )]=⋅+⋅
∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
当u =u (x , y ) ，v =v (x , y ) 时，du =
∂u ∂u ∂v ∂v
dx +dy dv =dx +dy ∂x ∂y ∂x ∂y
隐函数的求导公式：
F x F F dy dy d 2y ∂∂
隐函数F (x , y ) =0=-2=(-x ) ＋(-x ) ⋅
dx F y ∂x F y ∂y F y dx dx F y F ∂z ∂z
隐函数F (x , y , z ) =0=-x =-
∂x F z ∂y F z
∂F ⎧F (x , y , u , v ) =0∂(F , G ) ∂u
隐函数方程组： J ==⎨∂G G (x , y , u , v ) =0∂(u , v ) ⎩
∂u
∂u 1∂(F , G ) ∂v 1∂(F , G ) =-⋅=-⋅∂x J ∂(x , v ) ∂x J ∂(u , x ) ∂u 1∂(F , G ) ∂v 1∂(F , G ) =-⋅=-⋅∂y J ∂(y , v ) ∂y J ∂(u , y )
微分法在几何上的应用：
∂F
∂v =F u ∂G G u ∂v
F v G v
⎧x =ϕ(t )
x -x y -y 0z -z 0⎪
空间曲线⎨y =ψ(t ) 在点M (x 0, y 0, z 0) 0==
''ϕ(t ) ψ(t ) ω'(t 0) 00⎪z =ω(t )
⎩
在点M 处的法平面方程：ϕ'(t 0)(x -x 0) +ψ'(t 0)(y -y 0) +ω'(t 0)(z -z 0) =0⎧ F y F z F z F x F x ⎪F (x , y , z ) =0若空间曲线方程为：, 则切向量T ={, , ⎨
G G G x G x ⎪y z G z ⎩G (x , y , z ) =0
曲面F (x , y , z ) =0上一点M (x 0, y 0, z 0) ，则：
1、过此点的法向量：n ={F x (x 0, y 0, z 0), F y (x 0, y 0, z 0), F z (x 0, y 0, z 0)}x -x 0y -y 0z -z 03==
F x (x 0, y 0, z 0) F y (x 0, y 0, z 0) F z (x 0, y 0, z 0)
方向导数与梯度：
F y
G y
2、过此点的切平面方程：F x (x 0, y 0, z 0)(x -x 0) +F y (x 0, y 0, z 0)(y -y 0) +F z (x 0, y 0, z 0)(z -z 0) =0
∂f ∂f ∂f
函数z =f (x , y ) 在一点p (x , y ) 沿任一方向l =cos ϕ+sin ϕ
∂l ∂x ∂y 其中ϕ为x 轴到方向l 的转角。
∂f ∂f
函数z =f (x , y ) 在一点p (x , y ) 的梯度：grad f (x , y ) =i +j
∂x ∂y
∂f
它与方向导数的关系是=grad f (x , y ) ⋅e ，其中e =cos ϕ⋅i +sin ϕ⋅j ，为l 方向上的
∂l
单位向量。∂f
∴是grad f (x , y ) 在l 上的投影。∂l
多元函数的极值及其求法：
设f x (x 0, y 0) =f y (x 0, y 0) =0，令：f xx (x 0, y 0) =A , f xy (x 0, y 0) =B , f yy (x 0, y 0) =C ⎧⎧A 0时，⎨⎪
⎩A >0, (x 0, y 0) 为极小值⎪⎪2
则：值⎨AC -B
重积分及其应用：
⎰⎰f (x , y ) dxdy =⎰⎰f (r cos θ, r sin θ) rdrd θ
D
D '
曲面z =f (x , y ) 的面积A =⎰⎰
D
⎛∂z ⎫⎛∂z ⎫
1+ ⎪+ ∂y ⎪⎪dxdy ∂x ⎝⎭⎝⎭
2
2
=
M x =M
⎰⎰x ρ(x , y ) d σ
D
⎰⎰ρ(x , y ) d σ
D
D
, =
M y M
=
⎰⎰y ρ(x , y ) d σ
D
⎰⎰ρ(x , y ) d σ
D
D
平面薄片的转动惯量：对于x 轴I x =⎰⎰y 2ρ(x , y ) d σ, 对于y 轴I y =⎰⎰x 2ρ(x , y ) d σ平面薄片（位于xoy 平面）对z 轴上质点M (0, 0, a ), (a >0) 的引力：F ={F x , F y , F z }，其中：F x =f ⎰⎰
D
ρ(x , y ) xd σ
(x +y +a )
2
2
22
F y =f ⎰⎰3
D
ρ(x , y ) yd σ
(x +y +a )
2
2
22
F z =-fa ⎰⎰3
D
ρ(x , y ) xd σ
(x +y +a )
2
2
3
22
柱面坐标和球面坐标：
⎧x =r cos θ⎪
柱面坐标：f (x , y , z ) dxdydz =⎰⎰⎰F (r , θ, z ) rdrd θdz , ⎨y =r sin θ, ⎰⎰⎰ΩΩ⎪z =z
⎩其中：F (r , θ, z ) =f (r cos θ, r sin θ, z )
⎧x =r sin ϕcos θ⎪2
球面坐标：⎨y =r sin ϕsin θ， dv =rd ϕ⋅r sin ϕ⋅d θ⋅dr =r sin ϕdrd ϕd θ
⎪z =r cos ϕ⎩
2π
πr (ϕ, θ)
2
F (r , ϕ, θ) r sin ϕdr ⎰0
⎰⎰⎰
Ω
f (x , y , z ) dxdydz =⎰⎰⎰F (r , ϕ, θ) r sin ϕdrd ϕd θ=⎰d θ⎰d ϕ
Ω
2
=
1
M
⎰⎰⎰x ρdv , =
Ω
Ω
1M
⎰⎰⎰y ρdv , =
Ω
Ω
1M
⎰⎰⎰z ρdv ， 其中M ==⎰⎰⎰ρdv
Ω
Ω
Ω
转动惯量：I x =⎰⎰⎰(y 2+z 2) ρdv ， I y =⎰⎰⎰(x 2+z 2) ρdv ， I z =⎰⎰⎰(x 2+y 2) ρdv
曲线积分：
第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：
⎧x =ϕ(t ) 设f (x , y ) 在L 上连续，L 的参数方程为：, (α≤t ≤β), 则：⎨
y =ψ(t ) ⎩
⎰
L
⎧x =t
f (x , y ) ds =⎰f [ϕ(t ), ψ(t '2(t ) +ψ'2(t ) dt (α
⎩y =ϕ(t ) α
β
第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：⎧x =ϕ(t ) 设L 的参数方程为，则：⎨
y =ψ(t ) ⎩
β
⎰P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =α⎰{P [ϕ(t ), ψ(t )]ϕ'(t ) +Q [ϕ(t ), ψ(t )]ψ'(t )}dt
L
两类曲线积分之间的关系：⎰Pdx +Qdy =⎰(P cos α+Q cos β) ds ，其中α和β分别为
L
L
L 上积分起止点处切向量的方向角。∂Q ∂P ∂Q ∂P
格林公式：(-) dxdy =Pdx +Qdy 格林公式：(-) dxdy =Pdx +Qdy ⎰⎰⎰⎰∂x ∂y ∂x ∂y D L D L ∂Q ∂P 1当P =-y , Q =x -=2时，得到D 的面积：A =⎰⎰dxdy =xdy -ydx
∂x ∂y 2L
D ·平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G 是一个单连通区域；
2、P (x , y ) ，Q (x , y ) 在G 内具有一阶连续偏导数，且减去对此奇点的积分，注意方向相反！
·二元函数的全微分求积：∂Q ∂P
在＝时，Pdx +Qdy 才是二元函数u (x , y ) 的全微分，其中：∂x ∂y
(x , y )
∂Q ∂P
＝。注意奇点，如(0, 0) ，应∂x ∂y
u (x , y ) =
(x 0, y 0)
⎰P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy ，通常设x
=y 0=0。
曲面积分：
22
对面积的曲面积分：f (x , y , z ) ds =f [x , y , z (x , y +z (x , y ) +z (x , y ) dxdy x y ⎰⎰⎰⎰
∑
D xy
对坐标的曲面积分：，其中：⎰⎰P (x , y , z ) dydz +Q (x , y , z ) dzdx +R (x , y , z ) dxdy
∑
号；⎰⎰R (x , y , z ) dxdy =±⎰⎰R [x , y , z (x , y )]dxdy ，取曲面的上侧时取正
∑
D xy
号；⎰⎰P (x , y , z ) dydz =±⎰⎰P [x (y , z ), y , z ]dydz ，取曲面的前侧时取正
∑
D yz
号。⎰⎰Q (x , y , z ) dzdx =±⎰⎰Q [x , y (z , x ), z ]dzdx ，取曲面的右侧时取正
∑
D zx
两类曲面积分之间的关系：⎰⎰Pdydz +Qdzdx +Rdxdy =⎰⎰(P cos α+Q cos β+R cos γ) ds
∑
∑
高斯公式：
⎰⎰⎰(
Ω
∂P ∂Q ∂R ++) dv =Pdydz +Qdzdx +Rdxdy =(P cos α+Q cos β+R cos γ) ds ∂x ∂y ∂z ∑∑
高斯公式的物理意义——通量与散度：
∂P ∂Q ∂R
散度：div ν=++, 即：单位体积内所产生的流体质量，若div ν
∂x ∂y ∂z
通量：⎰⎰A ⋅n ds =⎰⎰A n ds =⎰⎰(P cos α+Q cos β+R cos γ) ds ， 因此，高斯公式又可写成：⎰⎰⎰div A dv =A n ds
Ω
∑
∑
∑
∑
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
⎰⎰(
∑
∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P
-) dydz +(-) dzdx +(-) dxdy =Pdx +Qdy +Rdz ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Γ
cos β
∂∂y Q
cos γ∂∂z R
dydz dzdx cos α∂∂∂∂
上式左端又可写成：=⎰⎰⎰⎰∂x ∂y ∂z ∂x ∑∑
P Q R P
∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P
空间曲线积分与路径无===
∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y i j k
∂∂∂
旋度：rot A =
∂x ∂y ∂z P Q R
向量场A 沿有向闭曲线ΓPdx +Qdy +Rdz =A ⋅t ds
Γ
Γ
常数项级数：
1-q n 等比数列：1+q +q + +q =
1-q (n +1) n
等差数列：1+2+3+ +n =
2
111
调和级数：1+++ +是发散的
23n
2
n -1
级数审敛法：
1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：⎧ρ
⎪
设：ρ=lim u n ，则⎨ρ>1时，级数发散
n →∞
⎪ρ=1时，不确定⎩2、比值审敛法：
⎧ρ
U ⎪
设：ρ=lim n +1，则⎨ρ>1时，级数发散
n →∞U n ⎪ρ=1时，不确定
⎩3、定义法：
s n =u 1+u 2+ +u n ; lim s n 存在，则收敛；否则发散。
n →∞
交错级数u 1-u 2+u 3-u 4+ (或-u 1+u 2-u 3+ , u n >0) 的审敛法——莱布尼兹定理：⎧ ⎪u n ≥u n +1如果交错级数满足s ≤u 1, 其余项r n r n ≤u n +1。⎨lim u =0，那么级数收敛且其和
⎪⎩n →∞n
绝对收敛与条件收敛：
(1) u 1+u 2+ +u n + ，其中u n 为任意实数；(2) u 1+u 2+u 3+ +u n +
如果(2) 收敛，则(1) 肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2) 发散，而(1) 收敛，则称(1) 为条件收敛级数。 1(-1) n
调和级数：∑n 发散，而∑n 1
级数：∑n 2收敛；
≤１时发散1
p 级数：∑n p p >1时收敛
幂级数：
1
x
对于级数(3) a 0+a 1x +a 2x 2+ +a n x n + ，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全
x
数轴上都收敛，则必存在R ，使x >R 时发散，其中R 称为收敛半径。
x =R 时不定
1
ρ≠0时，R =
求收敛半径的方法：设lim
a n +1
=ρ，其中a n ，a n +1是(3) ρ=0时，R =+∞
n →∞a n
ρ=+∞时，R =0
ρ
函数展开成幂级数：
f ''(x 0) f (n ) (x 0) 2
函数展开成泰勒级数：f (x ) =f (x 0)(x -x 0) +(x -x 0) + +(x -x 0) n +
2! n !
f (n +1) (ξ)
余项：R n =(x -x 0) n +1, f (x ) 可以展开成泰勒级数的充要条件是：lim R n =0
n →∞(n +1)! f ''(0) 2f (n ) (0) n
x 0=0时即为麦克劳林公式：f (x ) =f (0) +f '(0) x +x + +x +
2! n !
一些函数展开成幂级数：
m (m -1) 2m (m -1) (m -n +1) n
x + +x + (-1
2n -1
x 3x 5x
sin x =x -+- +(-1) n -1+ (-∞
3! 5! (2n -1)! (1+x ) m =1+mx +
欧拉公式：
⎧e ix +e -ix
cos x =⎪⎪2 e ix =cos x +i sin x 或⎨ix -ix ⎪sin x =e -e ⎪2⎩
三角级数：
a 0∞
f (t ) =A 0+∑A n sin(n ωt +ϕn ) =+∑(a n cos nx +b n sin nx )
2n =1n =1
其中，a 0=aA 0，a n =A n sin ϕn ，b n =A n cos ϕn ，ωt =x 。
正交性：1, sin x , cos x , sin 2x , cos 2x sin nx , cos nx 任意两个不同项的乘积在[-π, π]上的积分＝0。
傅立叶级数：
∞
a 0∞
f (x ) =+∑(a n cos nx +b n sin nx ) ，周期=2π
2n =1
π
⎧1
(n =0, 1, 2 ) ⎪a n =⎰f (x ) cos nxdx
π-π⎪
其中⎨π
1⎪b =(n =1, 2, 3 ) ⎪n π⎰f (x ) sin nxdx -π⎩
11π2
1+2+2+ =
835
111π2
+++ =
24224262
正弦级数：a n =0，b n =余弦级数：b n =0，a n =
111π2
1+2+2+2+ =6234
111π2
1-2+2-2+ =12234f (x ) sin n xdx n =1, 2, 3 f (x ) =∑b ⎰π
2
π
n
sin nx 是奇函数
2
π
π
⎰
f (x ) cos nxdx n =0, 1, 2 f (x ) =
a 0
+∑a n cos nx 是偶函数2
周期为2l 的周期函数的傅立叶级数：
a 0∞n πx n πx f (x ) =+∑(a n cos +b n sin ) ，周期=2l
2n =1l l
l ⎧1n πx
dx (n =0, 1, 2 ) ⎪a n =⎰f (x ) cos
l -l l ⎪
其中⎨l
⎪b =1f (x ) sin n πx dx (n =1, 2, 3 ) ⎪n l ⎰l -l ⎩
微分方程的相关概念：
一阶微分方程：y '=f (x , y ) 或 P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0
可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g (y ) dy =f (x ) dx 的形式，解法：
⎰g (y ) dy =⎰f (x ) dx 得：G (y ) =F (x ) +C 称为隐式通解。
dy y
=f (x , y ) =ϕ(x , y ) ，即写成的函数，解法： dx x
y dy du du dx du y 设u =，则=u +x ，u +=ϕ(u ) ，∴=代替u ，
x dx dx dx x ϕ(u ) -u x 齐次方程：一阶微分方即得齐次方程通解。
一阶线性微分方程：
dy
1+P (x ) y =Q (x )
dx
-P (x ) dx
当Q (x ) =0时, 为齐次方程，y =Ce ⎰
P (x ) dx -P (x ) dx 当Q (x ) ≠0时，为非齐次方程，y =(⎰Q (x ) e ⎰dx +C ) e ⎰
dy
2+P (x ) y =Q (x ) y n ，(n ≠0, 1)
dx
全微分方程：
如果P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0中左端是某函数的全微分方程，即：
∂u ∂u
du (x , y ) =P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0=P (x , y ) =Q (x , y )
∂x ∂y ∴u (x , y ) =C 应该是该全微分方程的通解。
二阶微分方程：
f (x ) ≡0时为齐次d 2y dy
+P (x ) +Q (x ) y =f (x ) 2
dx dx f (x ) ≠0时为非齐次
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
(*)y ''+p y '+qy =0，其中p , q 为常数；求解步骤：
1、写出特征方程：(∆) r 2+pr +q =0，其中r 2，r 的系数及常数项恰好是(*)式中y '', y ', y 的系数；2、求出(∆) 式的两个根r 1, r 2
3、根据r 1, r 2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：
y ''+p y '+qy =f (x ) ，p , q 为常数f (x ) =e λx P m (x ) 型，λ为常数；f (x ) =e λx [P l (x ) cos ωx +P n (x ) sin ωx ]型