二重积分的对称性及其应用_黄萱平

第6卷第4期2006年12月

湖南冶金职业技术学院学报

JournalofHunanMetallurgicalProfessionalTechnologyCollege

Vol.6 No.4Dec. 2006

二重积分的对称性及其应用

黄萱平

(湖南冶金职业技术学院,湖南 株洲,412000)

摘要:证明了二重积分的变量轮换对称性和奇偶对称性;在二重积分计算中,增强对称性的使用意识,利用对称性简化解题过程。

关键词:二重积分;对称性;计算

中图分类号:0172.2 文献标识码:A 文章编号:1672-7142(2006)04-516-03

与定积分相比,重积分的计算显得困难得多,仅就二重积分来说,按常规解法既要根据积分区域选择积分次序,还要正确地定好积分上下限,将二重积分转化为二次积分。然而,当积分区域或被积函数具有某种对称性时,若利用对称性进行合理地搭配,就能变难为易,简化解题过程,提高解题效率。

二重积分的对称性有两种:变量轮换对称性和奇偶对称性。

一、变量轮换对称性

定理1.若f(x,y)为区域D上的连续函数,区域D关于直线y=x对称,则

定理2.(1)若积分区域D关于x(或y)轴对称,设D1是D在x轴上方(或y轴右侧)的部分,则

kf(x,y)dxdy=

D

0 f(x,y)关于y(或x)为奇函数,2f(x,y)dxdy f(x,y)关于y(或x)为偶函数.

D1

k

(2)若积分区域D关于x,y轴均对称,设D1

是D在第一象限的部分,则

kf(x,y)dxdy=

D

0 f(x,y)关于x或y为奇函数,4f(x,y)dxdy f(x,y)关于x和y均为偶函数.

D1

kf(x,y)dxdy=kf(y.x)dxdy.

D

D

k

证明:在直角坐标系下,不妨设区域D是X-型区域,D由曲线y=U1(x)和y=U2(x)围成(aFxFb,U2(x)FyFU1),且D1,D2分别是区域D在直线y=x的左、右两侧部分.(D为其他情形时可分块转化成若干个X-型区域或Y-型区域,并利用可加性证之).

因为D1和D2关于直线y=x对称,所以,有

(3)若积分区域D关于原点对称,设D1是D的右半平面或上半平面部分.则

kf(x,y)dxdy=

D

0 f(x,y)关于(x,y)为奇函数,2f(x,y)dxdy f(x,y)关于(x,y)为偶函数.

D1

k

k

D

f(x,y)dxdy=

b

QdyQU

a

b

1

U-2(y)-11(

证明:(1)在区域D关于x轴对称的条件下,仅证明D为X-型区域时的情形.设D由不等式aFxFb,U2(x)FyFU1(x)确定,D1,D2分别是区域D在x轴上方、下方部分,则有

kf(x,y)dxdy

D2

y)

f(x,y)dx

x)

==

f(y,x)dy(换元:y=

QdxQU(x)

a

1

b

U2(x)U1(x)

2

f(y,x)dyQdxQU(x)=kf(y,x)dxdy

a

D

二、奇偶对称性

收稿日期:2006-10-08

QQ

=

QdxQ

=

a

b

dx

U(x)

2

f(x,y)dyf(x,y)dy

b0

a-U(x)

1

y

作者简介:黄萱平(1955-),女,湖南长沙人,湖南冶金职业技术学院基础课部教师。

第4期

b

黄萱平:二重积分的对称性及其应用

517

QQf(x,-u)du(换元:y=-u)=

QdxQf(x,-u)du=

QdxQf(x,-y)dy(换字母)=kf(x,-y)dxdy

=-a

dx

对积分区域关于坐标轴对称

,同时被积函数关于变量具有奇偶性的二重积分,应当考虑运用奇偶对称性来简化二重积分的计算。

例2.计算二重积分

U(x)

1

bU(x)

1

a0

bU(x)

1

a0

k(x+

D

y)dxdy,其中D

为抛物线y=x2,y=4x2及直线y=1所围成的区域.

[2]

D1

由二重积分的可加性,得

kf(x,y)dxdy=kf(x,y)dxdy+kf(x,y)dxdy

D

D1

D2

==

kf(x,y)dxdy+kf(x,-y)dxdy

D1

D1

k[f(x,y)+f(x,-D1

y)]dxdy

所以,有f(x,y)dxdy=

D

k

0 f(x,y)关于y为奇函数,2f(x,y)dxdy f(x,y)关于y为偶函数.

D1

k

解:积分区域D(如图)关于y轴对称,虽然被积函数f(x,y)关于变量并不具有奇偶性,但偶函数,应用kxdxdy与kydxdy分别关于x为奇、

定理2(1),有kxdxdy=0,kydxdy=2kydxdy

D

D

D

D

D

1

类似地可证积分区域D关于y轴对称及(2),

(3)两种情形.

怎样应用对称性简化二重积分的计算呢?例1.设区域D为x+yFR,求

2

2

2

2

k

D

(2+a

2

(其中D1为D在y轴右侧的部分)

[1])dxdyb

解:积分区域D关于直线y=x对称,且函数f(x,y)=1,有

2+2在D上是连续的.所以,利用定理ab

2

2

k(x+y)dxdy

=kxdxdy+kydxdy=2kydxdy

由此可得

D

D

D

D

1

k

D

22

(2+2)dxdy=abk

D

22

(2+2)dxdyab

从而,=====

[2

k

DD

((

)dxdy2+b2a

22

+)dxdy+a2b2

2

2

2

22

05

在计算这类二重积分时,容易得知被积函数=2ydy=

关于变量是否对称或是否可以转化为关于某个变量对称,但积分区域D是否关于坐标轴对称,却常常需要作出图形观察后才能确定。

例3.设D是xoy平面上以点(1,1),(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域.

Q

1

3

kk[(x+y)+(x+y)]dxdyk2ab(+)(x+y)dxdy)2abk

(

D

22

+2)dxdy]a2b

2

2

2

D

22

D

R

1112P(+)dHr3dr2ab00111PR4(+)4ab

QQ

若直接采用极坐标系去求解,则需要用到三角公式,计算较繁.而抓住被积函数与积分区域的特点,利用变量轮换对称性将被积函数化为简单

的函数x2+y2后,再利用极坐标系化为二次积分,使得二重积分计算化繁为简。

求k(xy+cosxsiny)dxdyD

作出积分区域D(如图)观察知,它关于坐标

518湖南冶金职业技术学院学报

=2sin2ydy

第6卷

轴并不具有对称性,是否能用奇偶对称性解决问题呢?

解:将区域D划分为D1和D2,则D1,D2分别关于x轴、y轴对称,由于被积函数中的xy在区域D1上是关于变量y的奇函数,在区域D2上是关于变量x的奇函数;cosxsiny在区域D1上是关于变量y的奇函数,在区域D2上是关于变量x的偶函数,所以应用奇偶对称性,有

Q

1

=1-

1

sin22

细心观察积分区域图形,善于将积分区域进行划分,变不对称为对称,并利用可加性将被积函数进行合理的组合、搭配,有意识地应用二重积分的奇偶对称性,使计算量大大减少,从而简化了二重积分的计算。

在二重积分计算问题中,所要研究的数学对象常常会是:有些具有对称性,有些隐含对称性,也有些却并不具有对称性,但在解题过程中,我们都需要具有对称性的使用意识,即使对一些不具有对称性的数学对象,有时也需要做一点人为的加工,制造某种对称性,巧妙的将问题转化为具有对称性的二重积分计算问题,减少计算量,优化解题方法,以达到事半功倍的效果。

kxydxdy=0,kxydxdy=

D1

D2

0,

kcosxsinydxdy=

D1D2

0,

kcosxsinydxdy=2kcosxsinydxdy

D3

(其中D3为D2在y轴右侧的部分)从而 =

k

D

(xy+cosxsiny)dxdy

+

kxydxdy

D1

kcosxsinydxdy

D1

+

kxydxdy

D2

+

kcosxsinydxdy

D2

参考文献

[1] 毛纲源.考研数学第一版1M2.武汉:华中科技大学出版社,

2004.

[2] 陆璇.高等数学全版辅导1M2.北京:学苑出版社,2001.

=2

kcosxsinydxdy

D3

=2dy

QQcosxsinydx

1y

SymmetryofDoubleIntegralandItsApplication

HUANGXuan-ping

(HunanMetallurgicalProfessionalTechnologyCollege,ZhuzhouHunan412000,China)

Abstract:Thepaperdemonstratesthevariablerotatingandevenparityofdoubleintegra.Indoubleintegralcalcu-lating,symmetrycanbeappliedmoretosimplifytheprocessofsolvingproblems.Keywords:doubleintegral;symmetry;calculating

1责任编辑:尹志诚2