自然坐标系的意义

第2卷　第4期　　2007年12月

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Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010For Evaluation Only.(自然科学版)　(季刊)　贵阳学院学报Vol.2　No.4

JOURNALOFGUIYANGCOLLEGENaturalSciences(Quarterly)

Dec.2007

自然坐标系的意义

,江苏　淮安　223001)

摘　要:。弧坐标没有意义。s根本不是弧坐标,而是路程。一切质点在无穷小时间dt内均绕曲率中心作圆周运动。牛顿第二定律在绝对空间任何一个方向上都是正确的。切线和法线都无方向,切线轴的正向为速度的方向。自然坐标系的目的不是确定其他质点在空间的位置,而是为了应用牛顿第二定律以解决实际问题。关键词:自然坐标系;内禀方程;向心加速度;路程;微分

中图分类号:O311;O301　文献标识码:A　　文章编号:1673-6125(2007)04-0009-05

OntheSignificanceofNaturalCoordinateSystem

SHITian2zhi

(PhysicalDepartment,HuaiyinTeachersCollege,HuaiπanJiangsu223001)

Abstract:Thearticlesolvestheconfusedproblemofnaturalcoordinatesystem,pointingoutthatarcco2ordinatesaremeaningless;sisdistanceinsteadofarccoordinate;allparticlesmovearoundthecurva2turecentrewithintheminimaltimedt.Newtonπssecondlawisrightinanydirectionoftheabsolutespace.Boththetangentlineandthenormallinearedirectionless,theforwarddirectionofthetangentlineisthedirectionofthespeed.ThepurposeofthenaturalcoordinatesystemisnottodeterminethespeciallocationofotherparticlesbuttosolvetheproblemusingNewtonπssecondlaw.

Keywords:naturalcoordinatesystem;intrinsicequation;centripetalacceleration;distance;differential

1　引言

自然坐标系是一个常用坐标系,但关于

自然坐标系存在着许多混乱和模糊之处。在《中国期刊网》上,自1979年以来关于自

3收稿日期:2007-10-11

然坐标系和内禀方程的论文至少有30篇。为什么一个简单而常用的坐标系引起了如

此之多的争论呢?本文彻底地解决了这一问题。

造成自然坐标系概念混乱的原因有3

作者简介:史天治(1969-),男,陕西西安人,淮阴师范学院物理系教师,主要研究理论力学与数学物理。

—9—

个:一个是弧坐标的引入;一个是对微分本质不了解;一个是由于θ角的多义性。

2　弧坐标有意义吗?

在许多力学和理论力学教材中,常提到弧坐标s。在一个曲线上取一个坐标原点,规定沿曲线一个方向为+,另一个方向为-,认为质点的位矢是弧坐标s的函数

_

r=r(s)。这样规定合理吗?

_

首先我们来看坐标的本质。,取质点,则只需一个数就可确定质点在t时刻的位置,这个数就是质点在t时刻的坐标。当质点沿平面曲线(非直线)运动时,需要两个数才能确定质点在t时刻的位置,这两个数就是质点在t时刻的坐标。当质点沿空间曲线(非平面曲线)运动时,需要三个数才能确定质点在t时刻的位置,这三个数就是质点在t时刻的坐标。当坐标系选定后,质点在t时刻的位置与坐标具有一一对应关系,一个坐标决定且只能决定一个位置,一个位置对应且只能对应一个坐标。显然只有坐标系确定以后,才有质点的坐标。若坐标系不确定,则质点的坐标就不可能存在。这里的坐标系是绝对静止坐标系,它本质上是一个空间的标架,有了它,宇宙中任何一点的位置都可以唯一地确定。

弧坐标是没有意义的,这是因为:1.当质点沿平面曲线(非直线)运动时,设该平面为O-xy平面,质点作2维运动,即不仅有x方向的运动,而且有y方向的运动,显然要确定质点在t时刻的位置需要x,y两个数,这两个数的有序组合(x,y)即为质点在

t时刻的坐标;而弧坐标s仅一个数,一个数

为坐标明显是一个错误。2.当质点运动轨迹

为一个不与自身相交的简单闭曲线时,按弧坐标的规定,质点坐标既可以是一个正数,又可以是一个负数,这显然违反了位置与坐标的一一对应关系,造成坐标概念的混乱。3.弧坐标若有意义,,,不仅从,,那么s是什么?s根本不是弧坐标,它是质点从初始时刻出发到某时刻实际运动所行路径的长度,也即s表示路程,ds表示质点在无穷小时间dt内所行的路程,显然s和ds永远都是非负数,即

sΕ0,dsΕ0;而且s=

ds,也就是说总路∫

s

程等于各个时间段内的分路程之和。

3　微分的本质

关于微分的本质,详细论述见参考文

[1]

献,这里只是列出一些结论。

微分有两个含义:1.对于与时间有关的函数(称之为动态函数)f而言,微分df表示在无限小的时间dt内函数f的增加量,即di=f(t+dt)-f(t);2.对于与时间无关的函数(称之为静态函数)g而言,微分dg表示g的微小部分,所有dg之和等于g。

设f(t)表示任意一个张量函数,即f可表示任意一个标量函数、矢量函数或1维以上的张量函数。函数f(t)的增加量定义为Δf=f(t+Δt)-f(t)(Δt>0),即f的增加量等于后值f(t+Δt)减去前值f(t);函数f(t)的减小量定义为-Δf=f(t)-f(t+Δt)(Δt

>0),即f的减小量等于前值f(t)减去后值f(t+Δt)。显然增加量Δf与减小量-Δf互为

只能表示1维运动质点的位置,它显然无法确定2维运动或3维运动质点的位置,称其—10—

对偶的变化量。

定义df=f(t+dt)-f(t)(dt>0),则-df=f(t)-f(t+dt)(dt>0)。显然增加

量df与减小量-df互为对偶的变化量。若f表示一个标量,则当df>0时,意味着f的值是增加的;当df

一切变化都是在时间中发生的,一切变量本质上都是时间t的函数,一切常量本质上都是相对于时间t而言不变的量。时间t是唯一一个真正的自变量,一个公共变量()。加量dt,dt>0。

___

r=xi0+yj0。、、分别为绝对静止笛卡尔坐标系o-xyz三个坐标轴的单位矢量),则当dx>0时,意味着质点在x轴上的坐标是增

+z

_k0

_(i0

_j0

_

k0

实数的有向直线,其正向规定为实数由小到大的方向,其负向规定为实数由大到小的方向,显然数轴的正向与负向互为对偶方向。同样的道理切线与法线只是两条直线,客观上并无方向,也即切线方向和法线方向实际上是不存在的,,。

,本质上是一个质心坐标系(因为只有一个质点),它随着质点的运动而运动。其坐标原点为质点所在位置,3个坐标轴分别为切线轴t、法线轴n和副法线轴b。切线轴t的正向单位矢量

_

i规定为质点绝对速度的方向,因为质点某

_

时刻的绝对速度是客观唯一的;法线轴n的正向单位矢量j规定为由质点沿法线指向曲率圆圆心的方向,显然质点某时刻所行的曲率圆的圆心也是客观唯一的;副法线轴b的正向单位矢量k规定为k=i×j,即自然坐标系3个坐标轴tnb恰好组成一右手直角坐标系。

绝对静止坐标系o-xyz是一个空间的标架,它表示绝对空间。质点相对于绝对空间的运动为绝对运动。牛顿第二定律在绝对空间任何一个方向上都是正确的。下面给出证明。

牛顿第二定律的公式为F=,式中

dt

_

_

_

_

_

_

加的,即质点位移在x轴上的分量与x轴正向一致;当dx

由于速度v=

_

_

,dt>0,故质点速度vdt

_

_

_

与位移dr方向始终一致;

由于加速度a=,dt>0,故质点加

dt

_

速度a与速度增加量dv方向始终一致。

由于速率v=

,dt>0,dsΕ0,显然速dt

__

动量p=mv。显然牛顿第二定律是一个瞬时关系。设n为表示绝对空间任意(固定)方向的单位矢量,则在方向n上质点所受的合外力为F・n=Fn,在方向n上质点的动量为

_

_

_

_

_

_

__

_

__

率vΕ0,即速率永远是一个非负数,当且仅

当物体静止时速率才是0,当物体运动时速率永远是一个正数。

4　自然坐标系的本质

一般的直线客观上都没有方向,有向直线的方向是由人规定的。数轴x是一种表示

p・n=pn,由于dn=0,所以

_

_

_

dpndt

=

_

(p・dt

_

_____

n)=n+p=・n=F・n=Fn,

dtdtdt

—11—

即

dpndt

=Fn,在方向n上质点所受的合外力

_

_

直轴),其取值范围为0ΦθΦ

_

等于在方向n上质点动量的增加率,故牛顿第二定律在绝对空间任何一个方向上都是正确的。

由于牛顿第二定律在绝对空间任何一个方向上都是正确的,当然在切线轴正向、法线轴正向和副法线轴正向均是正确的。自然坐标系的目的不是确定其他质点在空间的位置,实际问题。时在变,质点的位置:Ft=mat

=mv;Fn=man=m

_

π。2__[2-6]

在自然坐标系下,速度v=vi,这

里v是速率,i是速度的单位矢量,也是切线

_

轴正向单位矢量。j是法线轴正向单位矢

__

θ|,θ量。显然di=j|d(0Φθ

π)。2θ;,θ不,d

=0。曲率半径ρ永远是非负数,即ρΕ0;显然ρ=

=d

ρ=0表示质。d

点静止;ρ>0表示质点运动;ρ=∞表示质

点作直线运动。

j___加速度a==v=vi+=

dtdt

_

__

2

j_____

vi+v=vij=ati+anj

ρdtds

2

_

_

ρ

;Fb=mab=0。

轨道的密切平面是轨道的切线和轨道上无限接近于切点的一个点所确定的极限

[2]

平面,亦即轨道上无限接近的不在同一直线上的三点所决定的极限平面,这三点同时决定一个圆,这个圆叫做密切圆或曲率圆,其半径叫曲率半径,其圆心叫曲率中心。古希腊时代人们认为天体在作匀速圆周运动,由密切圆的概念可知,一切质点在无穷小时间dt内均绕曲率中心作圆周运动。这里既不是“以直代曲”,也不是“以圆代曲”,而是质点本质上在绕曲率中心作圆周运动,当然密切圆一般情况下随时在变。当密切圆始终不变时,质点作固定圆周运动。这里把直线看作是曲率为0因而曲率半径为∞的圆。

在自然坐标系下,θ有两个含义:一是表示切线轴正向相对于水平x轴正向的方位角,它是由x轴正向逆时针旋转到达切线轴正向时的转动角,其取值范围为0Φθ

锐角或直角(这里仍然以x为水平轴,y为竖—12—

_

切向加速度at=v=

_

,当速率增加dt

时,dv>0,故at>0;当速率减小时,dv

法向加速度永远是一个非负数,即an

=2

ρ

Ε0。当质点作直线运动或静止时,法

向加速度an=0;其它情况下法向加速度永远是一个正数,即an>0。法向加速度实质上是向心加速度,它的方向为从质点沿法线指向曲率中心。向心加速度(或向心力)只改变速度的方向而不改变速度的大小。

θ当质点运动时,若θ为方位角,则:sin

=

θ=;若θ,cos为法线与重力方向之dsds

ds

θ=,cosθ间所夹的锐角或直角,则:sin

(下转第27页)

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Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010For Evaluation Only.为一项引人注目的运动。自然这一对象化的感性形象中观照到自身,

在科技飞速发展的新世纪,科技的力量实现人的本质力量的对象化,这便是自然美随处可见,自然生态已被严重破坏、水土流的本质。失、物种灭绝、环境污染,人在成为自然的主

参考文献:宰后,也同时在改变着自然。而在中华武术

[1]宗白华.宗白华全集:第2[M].合肥:安徽身上,我们看到的更多的是一种“天人合

教育出版社,1994.

一”的和谐观和生命意识。只有天人合一,

[2王杰.].:广西师大出

人类改造自然并尊重自然,人与自然才能长

,.

久和谐发展。武术的生命意识,让我们不仅

][M].北京:人民出版社,

尊重我们人的生命,.

共同谋求长远发展。[4](日)小林信次.孔祥安译.体育美学[M].北

由此可见,京:人民体育出版社,1988.认识、并利用客[5]黄捷荣.体育美学教程[M].广州:广东人民

出版社,1989.观规律变“”为“为我之物”以增强

[6]旷文楠.中国武术文化概论[M].四川:四川生存竞争能力的过程。这一过程的结果,就

教育出版社,1990.是人类的本质力量对象化的结果。人类在

(上接第12页)

=

,此时dx与dy的正负由质点的实际ds

π;二是表示法线与重力方向之间0Φθ

所夹的锐角或直角,其取值范围为0ΦθΦ

π。2

参考文献:

[1].[J].内

位移所决定,它们都是客观量。

5　结论

弧坐标没有意义。s根本不是弧坐标,而是路程。主观认识符合客观实际是科学的灵魂,。,在科学中。一切质点在无穷小时间dt内均绕曲率中心作圆周运动。牛顿第二定律在绝对空间任何一个方向上都是正确的,当把它用于自然坐标系时,就可得到所谓的内禀方程。切线和法线都无方向,切线轴的正向为速度的方向。在自然坐标系下,θ有两个含义:一是表示切线轴正向相对于水平x轴正向的方位角,它是由x轴正向逆时针旋转到达切线轴正向时的转动角,其取值范围为

(自然科学版),2006,27(4):

160-163.

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—27—