广东省2016年全国卷适应性考试文科数学试题及答案

广东省2016年全国卷适应性考试

文科数学

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A{xx5x60}，集合A{1,2}，B{x21}，则AB（ ） A．2,3 B．(0,) C．(0,2)(3,) D．(0,2][3,) 2．设复数z132i，z21

i2

x

） A．2 B．3 C．4 D．5

3

） A B C D4．设p,q是两个题，若pq是真命题，那么（ ）

A．p是真命题且q是假命题 B．p是真命题且q是真命题 C．p是假命题且q是真命题

D．p是真命题且q是假命题

5．已知等比数列{an}满足：a2a310，

5

，则{an}的通项公式an（ ） 411

A．n4 B．n3

2211

C．n34 D．n26

22

6． 执行右边的程序框图，如果输入的N10， a4a5

则输出的x（ ）

A．0.5 B．0.8

C．0.9

D．1

7．三角函数f(x)sin(

A

6

2

x)cos2x的振幅和最小正周期分别是（ ）

C

2

B



2

D

8．已知过球面上有三点A,B,C的截面到球心的距离是球半径的一半，且ABBCCA2，则此球的半径是（ ） A．

34

B．1 C． D．2

43



9．在等腰三角形ABC中，A150，ABAC1，则ABBC （ ）



A

．1 B

．1 C

1 D

1 x2y210．已知椭圆221(ab

0)的离心率为，椭圆上一点P到两焦点距离之和为12，则b

ab3

（ ）

A．8 B．6 C．5 D．4

11．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ） A．

2016 B． 33

C．8



D．8 63

正视图

侧视图

12．已知

是第二象限的角，其终边上的一点为P(x，

且cos

x，则tan（ ） 4

俯视图

A

B

C

． D

．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

2xy2



13．已知实数x,y满足约束条件xy1，若目标函数z2xay仅在点(3,4)处取得最小值，则a的

xy1

取值范围是_________．

x216y2

14．已知双曲线21的左焦点在抛物线y22px的准线上，则p_________．

3p

15．已知f(x)是定义域为R的单调减的奇函数，若f(3x1)f(1)0，则x的取值范围是_________．

16．顶点在单位圆上的ABC，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c

．若sinA

22

，bc4，则SABC_________．

三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）

2

数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，且对任意的nN，均有2an，2Sn，an成等差数列．

*

（1）求a1的值；

（2）求数列{an}的通项公式．

18．（本小题满分12分）

某学校的篮球兴趣小组为调查该校男女学生对篮球的喜好情况，用简单随机抽样方法调查了该校100名学生，调查结果如下：

性别

是

否

男生3525

女生1228

（1）该校共有500名学生，估计有多少学生喜好篮球？

（2）能否有99%的把握认为该校的学生是否喜欢篮球与性别有关？说明原因； 50名女生中按是否看营养说明采取分

2（3）已知在喜欢篮球的12名女生中，6名女生（分别记为P1,P2,P3,P4,P5,P6)同时喜欢乒乓球，名女

生(分别记为B1,B2）同时喜欢羽毛球，4名女生(分别记为V1,V2,V3,V4)同时喜欢排球， 现从喜欢乒乓球、羽毛球、排球的女生中各取1人，求P1,B2不全被选中的概率．

n(adbc)2

附：K，nabcd．

(ab)(ac)(bd)(cd)

2

参考数据：

19．（本小题满分12分）

如图所示，在直三棱柱ABCDEF中，底面ABC的棱ABBC，且ABBC2．点G、H在棱

CF上，且GHHGGF1

（1）证明：EH平面ABG； （2）求点C到平面ABG的距离．

FGHC

D

E

B

20．（本小题满分12分）

1

2



． QPQFFPFQ

已知点F(,0)及直线l:x

1

．P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为Q，且2

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）设圆M过点A(1,0)且圆心M在P的轨迹C上，E1,E2是圆M在y轴上截得的弦，证明弦长

E1E2是一个常数．

21．（本小题满分12分）

设函数f(x)loga(x1)(a0,a1)．

（1）当a1时，证明：x1,x2(1,),x1x2，有f(

x1x2f(x1)f(x2)

)； 22

（2）若曲线yf(x)有经过点(0,1)的切线，求a的取值范围．

请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清楚题号． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图所示，BC是半圆O的直径，ADBC，垂足为D，ABAF，BF与AD、AO分别交于点E、

G．

（1）证明：DAOFBC；

（2）证明：AEBE． 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

A

B

F

C

在直角坐标系xOy中，过点P(1,2)的直线l的倾斜角为45．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin（1

（2

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数f(x)xa5x．

（1）当a1时，求不等式f(x)5x3的解集； （2）若x1时有f(x)0，求a的取值范围．

2



2cos,直线l和切线C的交点为A,B．

2016年适应性测试文科数学答案及评分参考

评分说明:

1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.

2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4. 只给整数分数. 选择题不给中间分. 一．选择题： （1）A （2）D （7）B 二．填空题 （13） （-，-2）三．解答题 （17）解：

22

（Ⅰ）由假设，当n1时，有4S12a1a1，即4a12a1a1.

（3）B （9）A

（4）C （10）D

（5）A （11）A

（6）C （12）D

（8）C

（14）4

纟2

ú -?,（15）çççè3úû

（16

故a1(a12)0.由于a10，故a12.

2

（Ⅱ）由题设，对于n≥1，有4Sn2anan ① 2 因此4Sn12an1an1,n≥2 ②

22

由①-②得,4an2an2an1anan1.

………4分

即2(anan1)(anan1)(anan1).

由于an和an1均为正数，故anan12,n≥2. 从而an是公差为2，首项为2的等差数列. 因此，an2n,

n≥1.

………12分

（18）解：

（Ⅰ）在被调查的100名学生中，有（35+12）名学生喜欢篮球，因此全校500名学生中喜欢篮球的人数为：500

3512

235（人）. 100

………4分

100(35281225)2

（Ⅱ）K7.73456.635，所以有99%的把握认为该学校的学生是否喜欢

47536040

2

篮球与性别有关.

（Ⅲ）从喜欢乒乓球、羽毛球、排球的女生中各选一名，一切可能的结果组成的基本事件有

N62448个，用M表示“P1,B2不全被选中”这一事件，则对立事件M表示“P1,B2全被选中”这

一事件，由于M包含(P1,B2,V1)，(P1,B2,V2)，(P1,B2,V4)4个基本事件，所以1,B2,V3)，(P

P(M)

41

. 4812

111. 1212

………12分

由对立事件的概率公式得P(M)1（19）解：

（Ⅰ）因为ABCDEF是直三棱柱，所以FC平面ABC，而 AB平面ABC，

所以，FCAB.

又ABBC，BCFCC.

AB平面BCFE，又EH平面BCFE， ABEH.

由题设知EFH与△BCG均为直角三角形，

EF2FH，BC2CG，

 EHF45，BGC45.



设BGEHP，则GPH90，即EHBG.

又ABBGB，EH平面ABG .

（Ⅱ）ABBC2，ABBC， SABC

………6分

CG平面ABC，VGABC

1

ABBC2. 2

14SABCCG. 33

由（1）知ABBG，CG2

BC，BG

1

ABBG2

设点C到平面ABG的距离为h ，则

14

VCABGSABGhVGABC，

33SABG

h.

即点C到平面ABG

（20）解：

（Ⅰ）从题意知，设点P的坐标为x,y，则Q的坐标为

………12分

1

,y， 2

1

因此 QPx,0,QF1,y,

21

FPx,y,FQ1,y.

2

11

因QPQFFPFQ，得 x,01,yx,y1,y，

22

即x



设N(x0,y0)是y2x的任一点，过N作直线l的垂线，垂足为Q，则有FNFQQNQF,即

2

11

xy2，故动点P(x,y)的坐标满足方程y22x 22

y22x上的任一点都具有所需的性质.

综上，动点P的轨迹方程为y22x.

（Ⅱ）设Ma,b为圆M的圆心，则b2a.

2

………6分

圆M过点A1,0，圆M上的点(x,y)满足

b xay

2

2

a1

2

2

b.

令x0,得y22by2a10,于是可得圆M与y轴的交点为E10,y1和E20,y

2，其中

y1,2bb1，

故E1E2y1y22是一个常数. ……… 12分 （21）解：

（Ⅰ）由f(x)loga(x1)得：

f(x1)f(x2)loga(x11)loga(x21)



221

loga[(x1

1)(x21)]loga2

x110,x210，且x11x21，

x11x21x1x2

1

22

当a1时，logax单调递增，

当a1时

,

f(x1)f(x2)xxxx

logaloga(121)f(12).

………4分 222

（Ⅱ）f(x)的定义域为(1,)，若曲线yf(x)在点(x,f(x))处的切线经过点(0,1)

，则应有

loga(x1)1f(x)11

f(x)，即. xx(x1)lna

(x1)lna[loga(x1)1]x0（x1）, （*）有解.

设F(x)(x1)lna[loga(x1)1]x（x1）， 则F(x)[loga(x1)1]lna(x1)lna令F(x)0，解得xa1.

1

1[loga(x1)1]lna,

(x1)lna

当xa1时，F(x)0，当xa1时，F(x)0， F(a1)1a是F(x)的最小值.

因此，当1a0，即0a1时，方程（*）无解，所以曲线yf(x)没有经过点(0,1)的切线. 当1a0时，由于ae1a1时，

F(ae1)aelna(logaae1)ae110,所以方程（*）有解，故曲线yf(x)有经过点

(0,1)的切线.

（22）解：

（Ⅰ）连接FC，OF，ABAF, OBOF，

………12分

点G是BF的中点，OGBF.

因为BC是O的直径，所以CFBF.

OG//CF. AOBFCB，

DAO90AOB,FBC90FCB， DAOFBC.

又OAOB，所以，△OAD△OBG，于是ODOG.

………5分

（Ⅱ）在Rt△OAD与Rt△OBG中，由（Ⅰ）知DAOGBO，

AGOAOGOBODBD.

在Rt△AGE与Rt△BDE中，由于DAOFBC，AGBD， 所以，△AGE△BDE，因此，AEBE. （23）解：

（Ⅰ）由条件知，直线l的倾斜角45

，cossin

………10分

. 2

设点M(x,y)是直线l上的任意一点，点P到点M的有向距离为t，则

x12. 

y22

（Ⅱ）曲线C的直角坐标方程为y22x,

由此得(2

2

………5分

2)2(1), 22

即

t40.

设t1,t2为此方程的两个根，因为l和C的交点为A,B，所以t1,t2分别是点A,B所对应的参数，由韦达定理得 PP=t1t24. （24）解：

（Ⅰ）f(x)|x1|5x≤5x3可得|x1|≤3，解得4≤x≤2.

………4分

………10分

（Ⅱ）f(x)足x≤1.于是

6xa,x≥a

在R上是单调递增的. 若f(x)适合题设条件，则f(x)的零点x必须满

4xa,xa

a≤x≤1

（1）由，得a≤6；

6xa0

xa

（2）由x≤1，得a≥4.

4xa0

从而a,64,.

反之，a,64,，易计算此时f(x)xa5x满足题设条件. 故满足题设条件的a的取值范围是,64,

………10分