互斥及对立事件概率问题求解五例
互斥及对立事件概率问题求解五例
焦景会 055350 河北隆尧一中
在求解稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成彼此互斥的事件的概率之和；二是先求此事件的对立事件的概率。尤其在涉及“至多”或“至少”问题时，常先求此事件的对立事件的概率，再利用公式P(A)1P()求出所求事件的概率。这种解法，称为逆向思考方法，采用这种方法有时可使问题的解答变得简便。下面就互斥及对立事件的概率问题举例分析如下。
例1、 假设某城有10000辆家庭汽车，其牌照编号为E00001到E10000，问：偶然遇到牌照号码中有数字6
的汽车的概率为多大？
，则A与 是对立事件，解：用A表示“牌照号码中有6的事件”，用 表示“牌照号码中不含6的事件”
9494则 P()4，所求概率为P(A)1P(1(0.34。 1010
点评：此题利用对立事件求概率。
例2、 将一个骰子先后抛掷三次，求向上的点数和为6的倍数的概率。
解：点数和为6的倍数的情况有三种：即和为6、12、18。设和为6的事件为 A1，和为12的事件为A2，和为18的事件为A3，彼此互斥。
（1）和为6的点数组有（1、1、4），（1、2、3），（2、2、2），共10个，则P(A1)10 63
3（2）和为12的点数组有（1、5、6），（2、4、6），（2、5、5），（3、3、6），（3、4、5）（4、4、4），共有 3A323125
个，则P(A2)25 36
（3）和为18的点数组有（6、6、6），共一个，则P(A3)1。 63
10251361故所求概率为P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)=333。 6216666点评：把所求事件概率化成一些彼此互斥事件的概率和。
例3、 口袋里放有12个大小完全相同的球，其中3个红色的，4个白色的，5个蓝色的，从袋中取出4个球
时，求 （1）取出的球的颜色至少是两种的概率。（2）取出的球的颜色是三种的概率。
解：（1）设“从12个球中取出4个球至少是两种颜色”的事件为A，A的对立事件为，且全为白色有1种，全为蓝色有5种，则P(1
C4
125C41222163，P(A)1P(1。 165165165
（2）设取出4球中，“1红、1白、2蓝的事件”为A1；“1红、2白、1蓝的事件”为A2；“2红、1白、1蓝的事件”为A3，且事件A1,A2,A3彼此互斥。故所求概率为P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)=12090606. [1**********]
1点评：问题（1）的解法是先求事件的对立事件的概率，问题（2）解法是将所求事件的概率化成一些彼此互
斥事件的概率的和。
例4、 某人把大小相同的3个黄色，3个白色的乒乓球放到一个盒子里，让人摸球。规定：若摸得同色3个球，则送给摸球者5元钱；若摸得非同色的3个球，摸球者付给自己1元钱。假定一天内有100人次摸球，试从概率角度估算一下这个人一年（按360天计算）能赚多少钱？
解：设“摸球一次，摸得同色3球”为事件A，“摸球一次，摸得非同色3球”为事件B，则A是B的对立事件，则P(A)2
C3
691，P(B)1P(A)。 1010
假定一有100人次摸球，360天可赚钱 (191510036014400元。 1010
点评：这是一道现实生活问题，是排列、组合、概率的综合应用。
例5、 某辆汽车载有8名学生从学校回家，途中共有甲、乙、丙三个停车点。如果某停车点无人下车，那么该车在这个点就不停车，假设每个学生在每个停车点下车的可能性都相等。求 （1）停车次数不少于2的概率；（2）恰好停2次的概率。
解：8个学生每人下车情况作为一基本事件有36561 个。
（1）“停车次数不少于2”的对立事件是“停车次数恰为1”，即8个人在同一点下车，包含3个基本事件，故P（停车次数不少于2）=1-P（停车1次）=18365582186。 [1**********]7
3254254. 65612187（2）“恰好停2次”，即8个人在在其中两个停车点下车，每个停车点至少有1人下车，基本事件为 8C3(C8C8C8)3(22)3254，故P（停车2次）2127
点评：此题易误认为在3个停车点停车事件是3次独立重复试验。
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