一道图形填数题的解法及拓展
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一道图形填数题的解法及拓展
作者：赵银梅 杜客君
来源：《中学数学杂志(初中版) 》2014年第04期
题目把数字1，2，3，…，9分别填入图1的9个圈内，要求△ABC 和△DEF 的每条边上三个圈内数字之和等于18.
（1）给出符合要求的填法；
（2）共有多少种不同填法？证明你的结论.
分析此题的一般性解法是设九个未知数，列6个方程，解决难度大. 另一种常用方法就是采用试一试，运气成分很大. 这种类型题的解法一般应考虑最大的数或最小的数的摆放位置，问题便迎刃而解.
解（1）设用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，M 分别代表这九个圈.
数字“1”不能填在A ，B ，C ，D ，E ，F 这六个圈内. 由题意可知，三数之和等于18，1只能与8，9组合. 因为“1”无论填在这6个圈中的哪一个圈内，数字8，9都会重复，所以“1”只能填在G ，H 或M 中.
不妨把“1”放在G 中，则E 与D 这两个圈中分别只能放8与9，不妨把9放到E 中，则A 与B 分别只能放2，7或3，6或4，5. 放2，7或3，6均矛盾，故只能放4，5. 当A 中放5时，因为D 中放的8，所以C 中放5，不合题意，故A 中只能放4，则B 中放5. 根据同一边上三个圈内之数的和等于18，便可以推出C 中填6，F 中填7，H 中填2，M 中填3. 结果见图2.
（2）因“1”可分别放入G ，H 或M 中，由对称性可知，每一种放法都有两种不同的填法，3×2=6（种），所以一共有6种不同填法.
图1图2拓展把数字1，2，3，…，9分别填入图1的9个圈内，要求△ABC 和△DEF 的每条边上三个圈内数字之和相等，则这个和的最大值是多少？最小值是多少？
解把填入A ，B ，C 三圈中的三个数之和记为x ；D ，E ，F 三圈中的三个数之和记为y ；G ，H ，M 三圈中的三个数之和记为z ；同一边上三个圈中的三个数之和记为a. 则有： x+y+z=45，
z+3y+2x=6a，
2x+y=3a，解得：x=15，