图像的二维傅里叶变换和频谱
图像的二维傅里叶变换和频谱
一、实验目的
通过本实验使学生掌握使用MATLAB 进行二维傅里叶变换的方法，加深对二维傅里叶变换的理解和图像频谱的理解。
二、实验原理
本实验是基于数字图像处理课程中的二维傅里叶变换理论来设计的。
本实验的准备知识：第四章 频域图像增强中的一维傅里叶变换和二维傅里叶变换，频 域图像增强的步骤，频域滤波器。
实验用到的基本函数：
一维傅里叶变换函数： fft, 一维傅里叶反变换函数：ifft 频谱搬移函数：fftshift 二维傅里叶变换函数：fft2 二维傅里叶反变换函数：ifft2 绘图函数：imshow， mesh
【说明，如对上述函数的使用方法有疑问，请先用help命令查询。建议先用help命令查询器应用方法，再做具体实验内容。】
例：计算图像 f的频谱并显示 F=fft2(f);
S=abs(F); %求幅度
imshow(S,[])；%显示图像幅度频谱
Fc=fftshift(F); %将图像频谱原点移动到中心显示 imshow(abs(Fc));
三、实验内容
（一）一维傅里叶变换的实现和分析
1、生成一个一维向量，x＝[1 2 3 4 5 6 7 8]; 计算该向量的傅里叶变换，并由傅里叶变换求反变换，验证结果。
2在时间域中将x乘以(-1)n，计算其傅里叶变换，实现傅里叶变换的平移性质使用 fftshift函数，实现频谱的平移。
（二）二维傅里叶变换的实现和分析
产生如图所示图象 f1(x,y)（64×64 大小，中间亮条宽 16，高 40，居中，暗处=0，亮处=255），用 MATLAB 中的 fft2 函数求其傅里叶变换，要求：
1、同屏显示原图f1和FFT(f1)的幅度谱图；
2、若令 f2(x,y)=（-1）x+y f1(x,y)，重复过程 1，比较二者幅度谱的异同，简述理由； 3、若将 f2(x,y)顺时针旋转 90 度得到 f3(x,y)，试显示 FFT(f3)的幅度谱，并与 FFT(f2)的幅度谱进行比较。
（三）任意图像的频谱显示任意图像的频谱显示
1、读入图像lenagray.tif，计算该图像的频谱，并将频谱原点移到中心位置显示。 2、读入图像rice.tif，计算该图像的频谱，并将频谱原点移到中心位置显示。
四、实验步骤
（一）一维傅里叶变换的实现和分析 1、程序：
x=[1 2 3 4 5 6 7 8]; F=fft(x) F=ifft(F) 运行结果：
1
F =
36.0000 -4.0000 + 9.6569i -4.0000 + 4.0000i -4.0000 + 1.6569i -4.0000 -4.0000 - 1.6569i -4.0000 - 4.0000i -4.0000 - 9.6569i F =
1 2 3 4 5 6 7 8
2、程序：
x=[1 2 3 4 5 6 7 8]; F=fft(x) for i=1:10
y=(-1).^(i-1); end x1=x.*y F1=fft(x1) 运行结果： F =
36.0000 -4.0000 + 9.6569i -4.0000 -4.0000 - 1.6569i x1 =
-1 -2 -3 -4 -5 F1 =
-36.0000 4.0000 - 9.6569i 4.0000 4.0000 + 1.6569i
3、程序： clc
x=[1 2 3 4 5 6 7 8]; F=fft(x)
Fa=fftshift(x) Fb=fftshift(F) 运行结果： F =
36.0000 -4.0000 + 9.6569i -4.0000 -4.0000 - 1.6569i Fa =
5 6 7 8 1 Fb =
-4.0000 -4.0000 - 1.6569i 36.0000 -4.0000 + 9.6569i
（二） 1、 程序： clc clear
x=zeros(64,64);
x(32-20:32+20,32-8:32+8)=255; subplot(1,2,1),imshow(x);
-4.0000 + 4.0000i -4.0000 - 4.0000i -6 -7 -8 4.0000 - 4.0000i 4.0000 + 4.0000i -4.0000 + 4.0000i -4.0000 - 4.0000i 2 3 4 -4.0000 - 4.0000i -4.0000 + 4.0000i 2
-4.0000 + 1.6569i -4.0000 - 9.6569i 4.0000 - 1.6569i 4.0000 + 9.6569i -4.0000 + 1.6569i -4.0000 - 9.6569i -4.0000 - 9.6569i -4.0000 + 1.6569i
title('原图幅度谱图'); F=fft2(x);
subplot(1,2,2),imshow(log(abs(F)),[]); title('傅里叶变换的幅度谱图'); 运行结果：
2、程序： x=zeros(64,64);
x(32-20:32+20,32-8:32+8)=255; subplot(2,2,1),imshow(x); title('原图x幅度谱图'); F=fft2(x);
subplot(2,2,2),imshow(log(abs(F)),[]); title('x傅里叶变换的幅度谱图');
for i=1:64
for j=1:64
h(i,j)=(-1).^(i-1+j-1); end end x1=h.*x F1=fft2(x1);
subplot(2,2,3),imshow(x1); title('x1幅度谱图');
subplot(2,2,4),imshow(log(abs(F1)),[]); title('x1傅里叶变换的幅度谱图'); 运行结果：
3、程序： x=zeros(64,64);
x(32-20:32+20,32-8:32+8)=255; subplot(3,2,1),imshow(x); title('原图x幅度谱图'); F=fft2(x);
subplot(3,2,2),imshow(log(abs(F)),[]); title('x傅里叶变换的幅度谱图'); for i=1:64
for j=1:64
h(i,j)=(-1).^(i-1+j-1); end end x1=h.*x F1=fft2(x1);
subplot(3,2,3),imshow(x1); title('x1幅度谱图');
subplot(3,2,4),imshow(log(abs(F1)),[]); title('x1幅度谱图
');
原图幅度谱
图原图x幅度谱
图x1幅度谱
图原图x幅度谱
图x1幅度谱
图x1旋转90度的x2幅度谱
图3
傅里叶变换的幅度谱
图
x傅里叶变换的幅度谱
图
x1傅里叶变换的幅度谱
图
x傅里叶变换的幅度谱
图
x1幅度谱
图
x2傅里叶变换的幅度谱图
x2=imrotate(x1,90);
subplot(3,2,5),imshow(x2);
title('x1旋转90度的x2幅度谱图'); F2=fft2(x2);
subplot(3,2,6),imshow(log(abs(F2)),[]); title('x2傅里叶变换的幅度谱图'); 运行结果：
（三）任意图像的频谱显示 程序：
i=imread('D:\image\lena.bmp') i1=fft2(i) subplot(2,3,1) imshow(i)
title('lena原图像') subplot(2,3,2)
imshow(log(abs(i1)),[]) title('lena频谱图') subplot(2,3,3) i2=fftshift(i1)
imshow(log(abs(i2)),[])
title('lena频谱原点移到中心位置') i11=imread('D:\image\rice.png') i22=fft2(i11) subplot(2,3,4) imshow(i11)
title('rice原图像') subplot(2,3,5)
imshow(log(abs(i22)),[]) title('rice频谱图') subplot(2,3,6) i33=fftshift(i22)
imshow(log(abs(i33)),[])
title('rice频谱原点移到中心位置') 运行结果：
五、实验思考题
图像频谱有何特点？低频分量和高频分量在图像频谱中是怎样分布的？
（1）频谱图，四个角对应低频成分，中央部分对应高频成分；图像亮条的平移影响频谱的分布，但当频谱搬移到中心时，图像亮条的平移后频谱图是相同的。图像旋转，频谱也会旋转，并且角度相同。频谱具有平移特性，可分离性。
（2）图像的高低频是对图像各个位置之间强度变化的一种度量方法。低频分量:主要对整副图像的强度的综合度量。高频分量:主要是对图像边缘和轮廓的度量。
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