模式识别小论文

模式识别课程小论文

梯度法，又名最速下降法。早的求解无约束多元函数极值的数值方法，

论文题目： 梯度下降算法的学习

学 院： 专 业： 学 号： 姓 名： 指导教师：

二〇一二年十二月二十六日

摘要

早在1847年就已由柯西(Cauchy))提出。它是导出其他更为实用、更为有效的优化方法的理论基础。因此，梯度法是无约束优化方法中最基本的方法之一。梯度下降法，就是利用负梯度方向来决定每次迭代的新的搜索方向，使得每次迭代能使待优化的目标函数逐步减小。

关键词：梯度下降法，负梯度，迭代

1、引言：模式识别(Pattern Recognition)是人类的一项基本智能，在日常生活中，人们经常在进行“模式识别”。随着20世纪40年代计算机的出现

以及50年代人工智能的兴起，人们当然也希望能用计算机来代替或扩展人类的部分脑力劳动。模式识别在20世纪60年代初迅速发展并成为一门新学科。模式识别(Pattern Recognition)是指对表征事物或现象的各种形式的(数值的、文字的和逻辑关系的)信息进行处理和分析,以对事物或现象进行描述、辨认、分类和解释的过程,是信息科学和人工智能的重要组成部分。

2、梯度下降法原理：

一个可微函数某点处的梯度给出了函数在该点的变化率取最大方向，梯度模等于这个方向的方向导数。负梯度方向给出了函数下降最快的方向。对于有极小值的函数来说，我们采用梯度下降法沿负梯度方向选择适当的步长进行搜索，求解函数的极小值点w*。采用最优化技术求线性判别函数中的增广权矢量时，首先需要构造准则函数。

构造准则函数：J(w)k(w'xw'x) (k>0) （1）

当w'x0w'xw'x2w'x0；当w'x0w'xw'x0，J(w)有极小值Jminw0，所以对于已符号规范化的训练模式，应当寻求使J(w)取极小时的w,因此时的w满足w'x0。令k

J(w)

1

，求得准则函数的梯度 2

J1

xsgn(w'x)x （2） w2

为防止J(w)取极小值时出现w'x0的情况，这里令符号函数

1,w'x0

sgn(w'x)

1,w'x0

由梯度下降法，增广权矢量的修正迭代公式为

w(k1)w(k)kJ(w(k))

xksgnw'kxkxk （3） 2

w(k),若w'(k)xk0



w(k)kxk,若w'(k)xk0;k0

w(k)

k

当k为常数时，上面准则下的梯度下降法的迭代公式与感知器训练算法是一致的。表明，感知器算法是梯度下降法的一种情况。k取常数时，这种梯度下降法也称为固定增量法。若取得较小，收敛速度就较慢；若取得较大，收

敛加快，但当搜索接近极值点时可能产生过调引起振荡。一般的，k应随着搜索步数的增加而逐渐变小。在迭代过程中k随k而变化，则称为可变增量法。在迭代中，我们希望用xk修正w(k)，使w(k1)有

w'(k1)xk0

迭代式w(k1)w(k)kxk两边和xk数积并利用上式，可得步长应满足

k

w'(k)xk

xk

2

（4）

在上述算法中，每次迭代时，我们只考虑用一个训练模式修正权矢量，实际上，我们也可以几个训练模式一起考虑。设分属w1和w2类的训练模式x1，x2…xN已符号规范化，如果他们是线性可分的，则存在w使

w'xi0,i1,2...,N （5）

设在训练中只有一部分训练模式满足上述不等式，而另一些训练模式不满足不等式，这部分模式我们记为集合Xm，即

w'xj0,(xjXm) （6）

我们构造准则函数

J(w)

xjXm

(w'x

j

) （7）

易知，J(w)非负，因xj被错分，则必有w'xj0，亦即w'xj0。在求得最佳解w*之前的迭代过程中，总有xjXm（集合中的元素是渐少的）使即J(w)总是大于零并逐渐变小。当所求得的w*使所有的不等式（5）w'xj0，

成立，Xm成为空集，J(w)取其最小值Jmin(w*)0。对于一次准则函数采用梯度下降法，梯度

J(w)

梯度下降法迭代公式为

J(w)

(xj) （8） wxjXm

w(k1)w(k)kJ(w)w(k)k

xjXm

x

j

（9）

式中的Xm是被w(k)错分类的模式集。这个迭代式称为批量修正，（3）式称为单样本修正。

3、结束语

通过对课程的学习，我对模式识别这门课程有了初步的认识。现在只是大概了解其概况，知道模式识别的基本过程和原理。还需要进一步的学习和理解。在这里特别感谢吴老师的指导，课堂上引领我们，还带领我们回顾以往的知识，了解自己的不足。

附：用最速下降法求解问题：

22

minf(x)x12x1x24x2x13x2取初始点x(1)(1,1)T，通过Matlab编程实现

求解过程。

公用函数如下：

1、function f= fun( X ) %所求问题目标函数

f=X(1)^2-2*X(1)*X(2)+4*X(2)^2+X(1)-3*X(2); end

2、function g= gfun( X ) %所求问题目标函数梯度

g=[2*X(1)-2*X(2)+1,-2*X(1)+8*X(2)-3]; end

3、function He = Hess( X ) %所求问题目标函数Hesse矩阵 n=length(X); He=zeros(n,n); He=[2,-2; -2,4];

End

最速下降法

function [ x,val,k ] = grad( fun,gfun,x0 ) %功能：用最速下降法求无约束问题最小值

%输入：x0是初始点，fun和gfun分别是目标函数和梯度 %输出：x、val分别是最优点和最优值，k是迭代次数 maxk=5000;%最大迭代次数 rho=0.5;sigma=0.4; k=0;eps=10e-6; while(k

g=feval(gfun,x0);%计算梯度

d=-g;%计算搜索方向 if(norm(d)

if(feval(fun,x0+rho^m*d)

x0=x0+rho^mk*d; k=k+1; end x=x0;

val=feval(fun,x0); end

参考文献：

[1]傅鹂，龚劬，刘琼荪，何中市.数学实验.北京：科学出版社.2000. [2]袁亚湘，孙文瑜.最优化理论与方法.北京：科学出版社，1997.

[3]M.Rafikov and J.M Balthazar.Optimal control problem in population dynamics,Computational and Applied Mathematics,2005. [4]Zoutendijk

G.Nonlinear

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methods

[c].In:J

Abadic(Ed.),IntergerandNonlincar Programming[A].North-Holland,Amsterdam,1970. [5]陈小君，王德人，解无约束极小问题的一个并行共轭方向法[J].高等学校计算数学学报.1986.

[6]孙即祥，现代模式识别，国防科技大学出版社 长沙[M]. 2002.

[7]栗塔山等编著，最优化计算原理与算法程序，长沙，国防科技大学出版社，2001.