有关函数单调性问题的思维导图讲解及测试题
有关函数单调性问题的思维导图讲解及测试题
函数的单调性是函数的重要性质, 用定义证明函数的单调性是函数问题中的一类 重要题型,本文阐述一下用定义证明函数的单调性的基本步骤及注意事项。 一、定义法
根据增(减)函数的定义判断函数的单调性是常用的基本方法,一般按照“取值--- 作差变形---判断符号---下结论”这四个步骤进行判断,关键是变形,常用的手段有: 通分提取公因式、配方法、有理化、因式分解。
例1:利用单调性的定义证明函数f (x ) =
x +2
在(-1,+∞) 上是减函数。 x +1
思维导图:第一步:在(-1,+∞) 上任取x 1
解析:在(-1,+∞) 上任取x 1
则f (x 1) -f (x 2) =
x 2-x 1x 1+2x 2+2
=-
x 1+1x 2+1(x 2+1)(x 1+1)
因为x 2>x 1>-1,所以x 2-x 1>0, x 2+1>0,x 1+1>0。 ∴
x 2-x 1
>0,所以f (x 2) -f (x 1) >0;即f (x 2)>f (x 1) ,
(x 2+1)(x 1+1)
x +2
在区间(-1,+∞) 上为减函数。 x +1
故f (x ) =
3
例2:证明函数f (x ) =x -2在R 上的单调递增。
思维导图:第一步:在R 上任取x 1
二、图象法:就是画出函数的图象,自左向右观察函数图象的上升和下降趋势,从而判断 函数的单调性。
例2:函数f (x ) =x (1-x ) 在区间A 上是增函数,则区间A 是 ( )
(A)[0,+∞) (B) (-∞,0] (C) [0,] (D) (, +∞)
1212
思维导图:第一步:作出函数f (x ) 的图像→第二步:自左向右观察函数图象的变化 趋势→第三步:下结论。
2⎧⎪-x +x (x ≥0)
解析: y =x (1-x ) =⎨2,
⎪⎩x -x (x
∴该函数为分段函数, 其图象如右图, 观察图象可知,自左向右看, 在(-∞,0) 上,图象逐渐下降,故在(-∞,0) 上是减函数;在
[0,]上,图象逐渐上升,故在[0,]上是增函数,在(, +∞) 上,图象 逐渐下降,故在(, +∞) 上是减函数。故选C 。
三、复合函数单调性判断法则,规律:同增异减
例2
:求函数f (x )
思维导图:第一步:求该函数的定义域→第二步:该函数可看成y =(u ≥0) 与
2
u =-x +16复合而成→第三步:在定义域内判断u =-x 2+16的单调性,
1
21212
12
→第四步:根据同增异减下结论。
22
解析:令-x +16≥0,即x ≤16,∴-4≤x ≤4,
y =y =u >0), u =-x 2+16复合而成,
当x ∈[-4,0]时,u =-x +16单调递增;
当x ∈[0,4]时,u =-x +
16单调递减;又y =u >0) 为增函数,
22
∴y =[-4,0]上单调递增,在[0,4]上单调递减。
例3:求函数y =a x
2
-2x +2
(a >0且a ≠1) 的单调区间。
思维导图:第一步:求该函数的定义域→第二步:该函数可看成y =a u 与 u =x 2-2x +2复合而成→第三步:在定义域内判断u =x 2-2x +2的单
调性→第四步:根据同增异减下结论。 解析:已知该函数的定义域为R ,
设u (x ) =x 2-2x +2,此函数的对称轴为x =1,开口向上, 所以x ∈(-∞,1) 时,u (x ) 单调递减;x ∈(1,+∞) 时,u (x ) 单调递增; 当0
x 2-3x +2
单调递增; 单调递减;
y =a
x 2-3x +2
当a >1时,y =a x 单调递增,
x -3x +2
所以x ∈(-∞,1) 时,y =a 单调递减;
2
所以x ∈(1,+∞) 时,y =a 四、常用结论
x 2-3x +2
单调递增;
(1)函数y =-f (x ) 与y =f (x ) 的单调性相反;
1
与y =f (x ) 的单调性相反; f (x )
(3)在公共区间内:增函数+增函数=增函数;增函数-减函数=增函数; 减函数+减函数=减函数;减函数-增函数=减函数;
(2)当f (x ) 恒为正或恒为负时,函数y =
例4:设f (x ) 是定义在A 上的减函数,且f (x ) >0,则下列函数①y =3-2f (x ) ;②
y =1+
211;③y =, 其中为增函数的个数是( ) -f (x ) ;④y =f (x ) -f (x ) f (x ) f (x )
(A )1 (B ) 4 (C )2 (D )3
解: f (x ) 是定义在A 上的减函数,且f (x ) >0, ∴y =-f (x ) 、y =
11
为增函数,y =-为减函数, f (x ) f (x )
∴y =3-2f (x ) 、y =1+针对性练习:
12、
y =-f (x ) 为增函数,故选D 。
f (x ) f (x )
1.下列函数中,在区间(0, +∞) 上是增函数的是( ) (A)y =x 2-2x +1 (B) y =
22
(C) y =- (D) y x x +
1
⎧x 2+1, x ≥0⎪
2.函数f (x ) =⎨的单调性为 ( )
2⎪⎩-x , x
(A)(0,+∞) 上是减函数 (B) (-∞,0) 上是增函数,在(0,+∞) 上是减函数
(C) 不能判断单调性 (D) 在(-∞, +∞) 上是增函数
3.已知f (x ), g (x ) 定义在同一区间上,且f (x ) 是增函数,g (x ) 是减函数,g (x ) ≠0,
则在该区间上 ( )
(A)f (x ) +g (x ) 为减函数 (B) f (x ) -g (x ) 为增函数 (C) f (x ) g (x ) 为减函数 (D) 4.下列命题中正确的是_________。
①函数y =2x 2+x +1在(0,+∞) 上不是增函数;②函数y =
2
f (x )
为增函数 g (x )
1
在(-∞, -1) x +1
(-1, +∞) 上是减函数;③若f (x ) 为增函数,则[f (x ) ]为增函数;④ 若f (x )
为增函数,g (x ) 为减函数,且g [f (x )]有意义,则g [f (x )]为减函数。
5.已知f (x ) =log 1(-x 2+2x +3), x ∈(-1, 3) ,求f (x ) 的单调区间。
2
6. 用定义证明f (x ) =-x +1在定义域[0, +∞) 上为减函数。
3x +1
7.已知f (x ) =x ,(1)用单调性的定义证明f (x ) 在(0, +∞) 上是减函数;
3-1
(2)求f (x ) 在区间[1, 3]上的最值。