关于如何研究量子隧穿效应的思考

东南大学本科生大学物理课程论文竞赛

关于如何研究量子隧穿效应的思考

倪春花（61010102）

（东南大学，南京 , 211189）

摘 要： 量子隧穿是一种比较有趣的微观现象，是理解许多自然现象的基础。本文简要阐述了量子隧穿的定义，分析比较了两种常用的研究方法（转移哈密顿法和等效势垒法），并简要介绍了量子隧穿效应的应用之一，扫描隧道显微镜。

关键词： 量子隧穿；转移哈密顿法；等效势垒法；扫描隧道显微镜

Thinking on how to study quantum tunneling

Chunhua Ni

(Southeast University, Nanjin , 211189)

Abstract: Quantum tunneling is a kind of interesting phenomenon, which is the basic of understanding many natural

phenomena. In this paper, the definition of quantum tunneling and several common methods to studying it are given, including transfer Hamitonian and equivalent barrier method. This paper also briefly introduced an application of quantum tunneling, that is key words: Quantum tunneling; transfer Hamitonian; equivalent barrier method; scanning tunneling microscope

微观粒子的量子隧穿过程是一种典型的量子力学效应，也是量子力学中的一个重要问题。量子隧道效应的研究对基础研究及实用都有着重要的意义，它限定了磁带、磁盘进行信息贮存的时间极限，确立了现存微电子器件进一步微型化的极限。

20世纪20年代，在量子力学众多成功事例中，人们印象最深刻的是量子隧道效应。最终，由于研究半导体、超导体中的隧道效应和发明扫描隧道显微镜的成果使5个物理学家获得了诺贝尔物理学奖。隧道效应发生在任何量子系统中，在星球的核聚合中起着决定性的作用。在早期的宇宙演化中，它也可能有重要作用。至今，隧道效应仍然是一个热门的研究话题。

量子隧穿效应又名隧道效应、势垒贯穿，是由微观粒子波动性所确定的量子效应。考虑粒子运动遇到一个高于粒子能量的势垒，按照经典力学，粒子是不可能越过势垒的。但是按照量子力学可以解出除了在势垒处的反射外，还有透过势垒的波函数，这表明在势垒的另一边，粒子具有一定的概率，粒子贯穿势垒。

1. 量子隧穿效应的定义

2. 研究方法

量子隧道效应是当今比较热门的一个研究话题，在不断的研究和探索中，不同的研究者根据自己的研究和理解提出了不同的研究方法。总而言之，各种方法都有其优缺点及使用范围。本文主要介绍三种常用的方法。

2.1 转移哈密顿法

处理量子隧穿过程常用的方法是研究一束自由入射的电子流，求解其不含时的薛定谔方程，得出粒子在全空间范围内的波函数，然后计算各种算

符所表示的力学量。这种方法图像很直观，而且在外场很强的情况下仍然适用。但是它没有办法处理形状很复杂的势垒，对粒子的隧穿过程描述得不够确切。

本文所介绍的含时间的转移哈密顿法可以很好的解决这一问题。这一方法起源于Oppenheimer对处于激发态的氢原子的自发离化过程的研究。这种方法的主要思想是把粒子隧穿前后的两个区域看成是被势垒分开的接近独立的两个部分，但是这两个部分存在弱耦合相互作用，这种弱耦合作用通过微扰哈密顿算符HT

t来描述。那么系统的哈密

顿量可以表述为H

H0

H

T

t其中H

是不

存在弱耦合相互作用时的整个体系原来的哈密顿

量。整个体系的粒子波函数为：

x,tatlxexp2iElt/h

btrxexp2iErt/h

----------------------------------（1）

其中

at和bt是决定隧道贯穿态的含时间

的系数，态l和r分别与El和Er相联系在一起。我们可以把隧道贯穿看成是通过一个瞬时激发把l态的一小部分转移到r态的过程，而这个瞬时激发是用微扰算符来表示的。因此式（1）满足薛定谔方程

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将式（1）代入上式，并利用

就得到

HT

x,t2ihatlxexp2iElt/h

2ihbtrxexp2iErt/h

粒子的隧穿概率通常很小,因此可以认为

比 小很多。另外, 在隧穿过程中

, 近似为常

数, 因此可以假设 和≈1

则上式可变为：

用rx

乘以上式两边后再通过积分，取共轭

运算得到

其中

R

rr

xr

xl

rrdx

当隧穿时间足够大时, 上式可以改写为:

粒子从一个分立能级El隧道跃迁到一组 能级 的总的隧穿概率为:

单位时间内的隧穿概率可以定义为：

P|R2

Wrr|

4

2

t



h

|H

Tlr

|

2

rEl

上式显示跃迁概率和态密度是成正比的,这也 提供了测量态密度的基本方法。含时间的转移哈密顿法的优点是可以方便的用于处理各种伴随有元激发发生的或者多通道的过程。但是同时也有缺点，因为在这种方法中，粒子的隧穿效应是应用微扰来处理的，在HT

t太大时该方法不适用

2.2 等效势垒法 2.2.1定义

如果具有统一能量E的粒子分别隧穿势垒A与B后其透射波函数相同，则称势垒A与B为等效势垒，也称A等效与B，记为A=B.

2.2.2性质

根据定义有如下结论：

定理1 势垒A等效于B的充分必要条件是它们的透射系数相同。

证明：（1） 必要性 由于A=B，所以当

xb时，AB，即

（2） 充分性

xb时，对势垒A与B均有VV0，它们具

有形如Ce

ikx

的波函数，而由SA=SB知，它们的透

射波函数相同。

定理2 若势垒A=B,B=C,则A=C.

在证明此定理前，先引入一种研究等效势垒的近

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似方法——WKB法

WKB(Wenzel,Kramers.Brillouin)方法是得到一维定态薛定谔方程的近似解的一种技术（它的基本思想同样可应用于许多其它形式的微分方程和三维薛定谔方程的径向部分）。此法对计算束缚态能量和势垒穿透率都是非常有用的。 假设能量为E的粒子穿过势能V(x)的区域，其中V(x)为常量。当E>V时，波函数形式为：

ψ(x)=Ae^±ikx (其中^表示乘方，比如2^3=2*2*2 ,3^4=3*3*3*3)

正号表示粒子向右运动，负号表示它向左运动。波函数为振荡函数，具有固定的波长和不变的振幅。现在设想V(x)不是一个常量，但是变化相比λ非常缓慢，因此包含许多波长的区域中的势能可以认为基本上是不变的。这样，除了波长和振幅随着x缓慢地变化以外，可以合理地认为ψ实际上仍然保持正弦形式。这就是隐藏在WKB近似后面的核心思想。它将依赖于x的问题有效地分为两种不同的层次：快速振荡 ；由振幅和波长逐渐变化的调制。

下面我们来证明定理2

一般描述粒子运动的薛定谔方程为：



h

2d2



2

x)8m

dx

2

V(x)(x)E(

定态条件下矩形势垒的隧穿都能比较方便得求出波函数和隧穿系数的准确结果，但是当势函数V（x）不是常数时，上述方程不易求的明确的表达式。研究其透射系数是非常困难的。所以当遇上V(x)不等于常数的势垒时（即非矩形势垒），要想方法将其化为矩形势垒来求解。

将势函数

V1,xa

Vx

Fx,axb

 (2) V2,xb

（其中V1和V2是常数，F(x)为任意函数）

化为与之等效的矩形势垒后，其透射系数和波函数就比较容易求解了。

对图1所示的任意势垒，当势函数V(x)在控件的变化比较平缓时使用WKB方法得到（1）式的解有下列结果

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在WKB方法下（5）式对势垒A和B均成立，从（4）出发利用定积分的几何意义，K是以x=x1，x=x2，y=0以及曲线x,Ex所围图形的面积，利用积分中值定理

K  x 2 dx E   , ba(x,E)

图1

其中A、是由边界条件和归一化条件确定的。 （2）在经典禁区（EVx）由于

pi|p|得

x

B1

exp2





|p|dx

p

h



B2

exp2ph

|p|dx



其中B1和B2也是由边界条件和归一化条件所确定。

在V(x)的转折点x1=a,x2=b可利用泰勒级数求出其附近的严格解，将其与WKB近似解进行比较旧可确定近似解中的待定常数及各个区域的波函数形式，但具体做起来是十分复杂的。

在一般情况下，粒子能量E小于势垒能量V(x)时，从求解（1）式得到的粒子波函数

x和x



x的统计解释可知，粒子隧穿通过经

典禁区的概率在势垒区具有指数衰减的特征，根据如图1所示的任意势垒可以相当精确地求得

Tgexp2K其中

x1

x

x,Exdx

（4）

2

1

x,E82mVx-E2

x

h2

这里Ex是动能，x1，x2V(x)=Ex的点即转折点，T被称为隧穿系数，即透射系数。它可以认为是左边入射的粒子波e

ikx

所携带的概率流中通过势垒区域V(x)>Ex

的份额，采用WKB方法时T中的因子g取1，这样在WKB近似下Texp(2K) （5）

x1

x

a,b

也就是说K可以用矩形面积来取代，又因

,E=22mVE/h

故可以V()在[a,b]上取代V(x)，记矩形势垒C为：

V3,xaV

V(),axb

,是（a,b）内一定数，Vxb0,

V3E.于是有

定理3 任意势垒A与矩形势垒C等效

对任意势垒A构造一个与之等效的矩形势垒的具体方法如下：

由积分中值定理，只要求出一个V()即可，由

K2(ba2mVE/h

可以得到

22

VE

Kh

82

m(ba)

2

在[a,b]上取V=V()，在[a,b]外V的取值分别对

应于势垒A的取值，这样就构造出一个与势垒A完全等效的矩形势垒。

等效势垒法可以讲粒子隧穿现象中的一些复杂势垒问题简单化，例如零偏置MIM结的隧穿研究中由于镜像力的作用，在界面形成的势垒可以用等效的矩形势垒取代。

3. 应用

3.1STM工作原理

扫描隧道显微镜的工作原理很简单。就如同一根唱针扫过一张唱片，一根探针慢慢地通过要被分析的材料（针尖极为尖锐，仅仅由一个原子组成）。一个小小的电荷被放置在探针上，一股电流从探针流出，通过整个材料，到底层表面。当探针通过单个的原子，流过探针的电流量便有所不同，这些变化被记录下来。电流在流过一个原子的时候有涨有落，如此便极其细致地探出它的轮廓。在许多的流通后，通过绘出电流量的波动，人们可以得到组成一个网格结构的单个原子的美丽图片

3.2 工作模式 3.2.1 恒电流模式

利用一套电子反馈线路控制隧道电流 I ，使其保持恒定。再通过计算机系统控制针尖在样品表面扫描，即是使针尖沿x、y两个方向作二维运动。由于要控制隧道电流 I 不变，针尖与样品表面之间的局域高度也会保持不变，因而针尖就会随着样品表面的高低起伏而作相同的起伏运动，高度的信息也就由此反映出来。这就是说，STM得到了样品表面的三维立体信息。这种工作方式获取图象信息全面，显微图象质量高，所以应用比较广。

3.2.2 恒高度模式

在对样品进行扫描过程中保持针尖的绝对高度不变；于是针尖与样品表面的局域距离将发生变化，隧道电流I的大小也随着发生变化；通过计算机记录隧道电流的变化，并转换成图像信号显示出来，即得到了STM显微图像。这种工作方式仅适用于样品表面较平坦、且组成成分单一(如由同一种原子组成)的情形。所以应用范围受到限制。

4 量子隧穿的在化学反应中的应用

量子隧穿效应也可以存在于某些化学反应中。此

类反应中，反应物分子的波函数从反应势垒穿过即可

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使反应发生，而在经典的化学反应中，反应物分子只有获得足够能量，越过活化能的能垒，反应才可以发生。

动力学同位素效应（KIE）可以验证隧穿效应存在于化学反应中。在KIE试验中，反应的一个反应物的某一个原子分别被同一元素质量不同的同位素标记，分别进行反应，通过对比两者的反应速率，可以得出关于反应机理的信息。

量子隧穿效应是酶能够显著增加反应速率的一种机制，酶会使用量子隧穿效应来转移电子及氢原子、重氢原子一类的原子核。实验也显示出，在某种生理状况下，甚至连葡萄糖氧化酶的氧原子核都会发生量子隧穿效应。

5总结

量子力学是20世纪最成功的理论之一，它带领我们进入了另一个奇妙的世界，应用非常广泛，至今仍是研究的热点之一。物理的世界既严谨又奇妙，看似矛盾的特点在物理这门学科上完美的结合起来了。我们现在学的物理知识都是简单的了解，应该留心生活中的细节，发现自己感兴趣的问题，深入研究下去，会发现另一片天。

参考文献：

[1] 陆果.《基础物理学教程（下册）》.第二版.高等教育出

版社,.2009年.528~531

[2] 曾谨言. 量子力学. 第一版.科学出版社，2007年 [3] http://www.cnki.net/中国知网

[4] http://www.wanfangdata.com.cn/中国万方数据库知识

平台

[5] www.baidu.com

“同上”等字样代替。

图、表中的术语、符号、单位等应与插图及文字表述所用的一致。

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[6] 陆果.《基础物理学教程（下册）》.第二版.高等教育出

版社,.2009年.528~531

[7] 曾谨言. 量子力学. 第一版.科学出版社，2007年

[8] 中国知网

[9]

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[10] www.baidu.com