正交矩阵及其应用

目 录

1. 引言„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ (1) 2. 正交矩阵的基本知识„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ (2)

2.1正交矩阵的定义与判定 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ (2) 2.2 正交矩阵的性质„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(3)

3.正交矩阵在数学中的应用„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ (4)

3.1正交矩阵在线性代数中的应用„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ (4) 3.2正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ (10)

4.正交矩阵在化学中的应用„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ (13)

4.1 sp杂化轨道„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(14) 4.2 sp杂化轨道„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(16)

3

5.正交矩阵在物理学中的应用„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ (17) 6. 结论„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(20) 参考文献„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(21) 致谢„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(22)

摘 要

如果n阶实矩阵A满足AATE,那么称A为正交矩阵．正交矩阵是由内积引出的． 本文例举了正交矩阵在线性代数、化学和物理中的三个应用．在线性代数中,求标准正交基一般用Schimidt正交化方法．本文论证了一种特殊的正交矩阵——初等旋转矩阵——也可以求任一向量空间的标准正交基,并通过实例说明此方法的应用．在化学上,原子轨道的杂化,实际是由一组相互正交的单位基向量,通过线性变换转化为另一组相互正交的单位基向量．而线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵,因此可以利用正交矩阵的性质求原子轨道的杂化轨道式．在物理上,任一刚体运动都对应一个正交矩阵,本文证明了曲线作刚体运动时曲率和挠率是两个不变量．

关键词：正交矩阵；初等旋转矩阵；标准正交基；原子轨道的杂化；曲率；挠率

Abstract

If a n-dimensional real matrixA satisfies AATE ,we call it orthogonal matrix.

Orthogonal matrix is extracted by inner product.

This paper enumerats the applications of orthogonal matrix in linear algebra, chemistry, and physics. Schimidt method is always used to find the standard orthogonal basis in linear algebra. A special kind of orthogonal matrix, namely elementary rotational matrix, is established to find the standard orthogonal basis in this paper. The orbital atom heterozygous is actually made by a team of mutually orthogonal unit basis vector, through linear transformation into another group of mutually orthogonal unit basis in linear algebra. The transition matrix of a group of standard orgthogonal basis to another group of standard orthogonal basis is an orthogonal matrix. Therefore, properties of orthogonal basis can be used to find the orbital atom heterozygous. In physics, any rigid motion corresponds with an orthogonal matrix. The curvature and torsion rate are proved to be two invariants when a curve is in rigid motion.

Keywords:Orthogonal matrix; Elementary rotation matrix; Standard orthogonal basis;

The orbital atom heterozygous; Curvature;Torsion rate

1引言

因为行列式要求行数等于列数,排成的表总是正方形的,通过对它的研究又发现了矩阵的理论.矩阵也是由数排成行和列的数表,可以行数和列数相等也可以不等.

矩阵和行列式是两个完全不同的概念,行列式代表着一个数,而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法.利用矩阵这个工具,可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量;这样对于一个多元线性方程组的解的情况,以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题,就都可以得到彻底的解决.

矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具.“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的,他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语.而实际上,矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了.从行列式的大量工作中明显的表现出来,为了很多目的,不管行列式的值是否与问题有关,方阵本身都可以研究和使用,矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的.在逻辑上,矩阵的概念应先于行列式的概念,然而在历史上次序正好相反.

凯莱先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来,同研究线性变换下的不变量相结合,首先引进矩阵以简化记号并发表了关于这个题目的一系列文章.1858年,他发表了关于这一课题的第一篇论文矩阵论的研究报告,系统地阐述了关于矩阵的理论.文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念,指出了矩阵加法的可交换性与可结合性.另外,凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果.凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭,剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学,三年后他转从律师职业,工作卓有成效,并利用业余时间研究数学,发表了大量的数学论文.

1855年,埃米特(C.Hermite,1822～1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质,如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等.后来,克莱伯施(A.Clebsch,1831.1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质.泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论.

在矩阵论的发展史上,弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849～1917)的贡献是不可磨灭的.他讨论了最小多项式问题,引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念,以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论,并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质.1854年,约当研究了矩阵化为标准型的问题.1892年,梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式.傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题,这主要是适用方程发展的需要而开始的.

矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质,矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论.而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论.矩阵的应用是多方面的,不仅在数学领域里,而且在化学、力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用.

本文主要介绍正交矩阵与其应用.

我们把n阶实数矩阵A满足AAE,称A为正交矩阵.尽管我们在这里只考虑实数矩阵,但这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵.

正交矩阵是由内积自然引出的,要看出其与内积的联系,考虑在n维实数内积空间中的关于正交基写出的向量v.v的长度的平方是v.如果矩阵形式为Qv的线性变换保持了向量长度,所以有限维线性等距同构,比如旋转、反射和它们的组合,都产生正交矩阵.

本文例举了正交矩阵在线性代数、化学和物理中的三大应用.其中,在线性代数中,求标准正交基除了用Schimidt正交化方法外,本文论证了正交矩阵的其中一种矩阵...初等旋转矩阵也可以求任一矩阵的标准正交基,此法用实例与Schimidt正交化方法对比;在化学上,根据原子轨道的杂化理论,杂化的原子都有其轨道杂化式,对于形成对阵的原子轨道杂化,利用正交矩阵的性质可以求解该原子杂化轨道的杂化轨道式;在物理上,任一刚体运动都对应一个正交矩阵, 三维空间一条曲线经过刚体运动,其曲率和挠率是不变的,本文考察了曲线做刚体运动时的不变量——曲率和挠率.

2

T

2正交矩阵的基本知识

本文中在没有特别说明的情况下,A都表示为正交矩阵,记矩阵A的秩为r(A),i与j为矩阵

A的第i列与第j列,iT表示矩阵A的第i行. detA表示行列式的值即detA=A.

2.1正交矩阵的定义与判定

定义2.1.1 n阶实数矩阵A满足AAE（或AAE,或AA

[3]

TT1

E）,则称A为正交矩阵.

判定2.1.2 矩阵A是正交矩阵AA;

T1

1

判定2.1.3 矩阵A是正交矩阵j

0

Ti

(ij)(ij),

n) ; (i,j1,2,，

判定2.1.4 矩阵A是正交矩阵ij

T

10

(ij)(ij),

T

(i,j1,2,,n);

T

1

备注：判定一个是方阵A是否为正交矩阵往往用定义,即AAE（或AAE,或AA也可以验证A的行向量或列向量是否是两两正交的单位向量.

E）,

2.2 正交矩阵的性质

若A是正交矩阵,则A有以下性质

([3])

：

1

性质2.2.5 A1,则A可逆,且其逆A也为正交矩阵.

T

证明 显然A1. A

A

T

T1

A1所以A1也是正交矩阵.

1

性质2.2.6 A,A,也是正交矩阵, 即有:

T*T*

(1)当A1时, AA, 即(Aij)A;

*T

T*

(2)当A1时, AA, 即(Aij)A.

T*

证明 若A是正交矩阵,AA, 由性质2.2.5,A为正交矩阵.

T1T

A*T*T*

因为A1,AA,所以,当A1时, AA, 即(Aij)A;当A1时.

A

T

1

ATA*, 即(Aij)TA*.从而A*为正交矩阵.

性质2.2.7 A(k1,2,)是正交矩阵. 证明 因为A

k

A

kT

Tk

,所以A

k

AAA

kT

T

k

EAkAT.因此,Ak也是正交矩阵

k

性质2.2.8 lA是正交矩阵的充分必要条件是l1.

证明 必要性 若lA是正交矩阵,则另一方面lAlAlAlA

2

lAlA,于是,l1,l1; E

T

T1

l2AA11,一方面

充分性 因为A是正交矩阵,若l1,显然lA也是正交矩阵.

性质2.2.9 若B也是正交矩阵, 则AB,AB,AB,AB,AB都为正交矩阵. 证明 由AA,BB可知ABBABA

T

1

T

1

T

T

T

1

1

TT11

AB,

1

故AB为正交矩阵.同理推知AB,AB,AB,AB均为正交矩阵.

正交矩阵的性质主要有以上几点, 还有例如它的特征值的模为1, 且属于不同特征值的特征向量相互正交; 如果是它的特征值, 那么阵T, 使

TT11

1

也是它的特征值, 另外正交矩阵可以对角化, 即存在可逆矩

1

AT1T,

n

其中1,,n为A的全部特征值, 即i1i1,2,,n. 这些性质证明略.

3.正交矩阵在数学中的应用

3.1 正交矩阵在线性代数中的应用

在线性代数中我们通常用施密特方法求标准正交基,现在可以用正交矩阵中的一种殊矩阵求标准正交基---初等旋转矩阵即Givens

矩阵.

定义3.1 设向量Tt1,t2,,tn,s0,c

[1]

T

tit

,dk,则称n阶矩阵 ss

10



01

0

Gik





0

0

0



00



c00di010





010

d00c0k01





01ik

为向量T下的Givens矩阵或初等旋转矩阵,也可记作GikGikc,s.

下面给出Givens矩阵的三个性质

[2],[10]

性质3.1.1 Givens矩阵是正交矩阵.

ti2tk2T

证明 由cd221,则GikGikE,故Gik是正交矩阵.

ss

2

2

性质3.1.2 设Tt1,t2,,tn,yGikTy1,y2,,yn,则有

TT

yis,yk0,yjtj(ji,k).

证明 由Gik的定义知, yjtj(ji,k),且

ti2tk2tttt

yictidtks,ykdtictkikik0,

ssss

即Gik右乘向量T,只改变向量T第i和第k个元素,其他元素不变.

性质3.1.3 任意矩阵A右乘Gik,AGik只改变A的第i列和k列元素; 任意矩阵左乘Gik,GikA只改变A的第i行和k行元素.

证明 由性质3.1.2和矩阵乘法易得结论. 引理3.1.4 任何n阶实非奇异矩阵 , Aaij

[2]



nn

可通过左连乘初等旋转矩阵化为上三角矩

阵, 且其对角线元素除最后一个外都是正的.

定理3.1.5

[10]

设Q是n阶正交矩阵

(I) 若Q1, 则P可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积, 即QQ1Q2Qr;

(II) 若Q1, 则Q可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵En, 即QQ1Q2QrEn, 其中Qi(i1,2,r)是初等旋转矩阵.

1



1

）. （En



1

1nn

证明 由于Q是n阶正交矩阵,根据引理3.1.4知存在初等旋转矩阵S1,S2,,Sr, 使

SrSr1S2S1QR（这里R是n阶上三角阵）,

而且R的主对角线上的元素除最后一个外都是正的,于是

QS1S2SrR （3-11）

注意到Q是正交矩阵,由（3-11）式得,QQRSrS1S1S2SrRE,即

RRE （3-12）

T

T

T

T

T

T

T

T

r11 设R=

r12r1n



r22r2n

,其中,rii0(i1,2,,n1) ,则



rnn

r11r12

T

RR

r1n

r22r2n

r11

rnn

r12r1n

1

r22r2n

=1. rnn1

由上式得

0

1rij

11

所以

ij,(i,j1,2,,n1)ij,(i,j1,2,,n1)ijn且Q1,ijn且Q1.

R

当Q1E，

, （3-13）

En,当Q1

TTTTTT

即,当Q1时,QSS1S2Sr;当Q1时, QS1S2SrEn.

记SiQi(i1,2,,r),注意到Qi是初等旋转矩阵,故定理1结论成立.

T

）m，则AQ引理3.1.6 设A(aij)nm，秩（A

[1]

R1

其中Q是n阶正交矩阵,R1 是m阶上O

三角阵,O是(nm)m零矩阵.

定理3.1.7

[10]

）m,则A可以通过左连乘初等旋转矩阵,把A变为 设A(aij)nm，r（A

T

R

O

的形式,其中R是m阶上三角阵,O是(nm)m矩阵.

证明 由引理3.1.6知AQ

R1

,其中Q是n阶正交矩阵,R1是m阶上三角阵.又根据定理1O

Q1Qr,EnQ1

（，2,r）知：Q,则Q是初等旋转矩阵. ii1

Q1Qr,Q1

(I)当Q1时,AQ1Q2Qr

R1RTT

令RR，Q QA1r1; OO

R1RRR

(II)当Q1时,AQ1Q2QrEn ,则QrTQ1TAEn1.记En1.

OOOO

显然,R是m阶上三角阵,当nm时,R与R1除最后一行对应元素绝对相等、符号相反外,其余元素对应相等.当时nm时,

RR1.

综上,知本定理的结论成立.

a12a11a1m

aaa22212m,,,是欧氏空间Rn的子空间Vn的一组基, 设12maaan2n1nm

记

a11a12

aa22

A(12m)21

a

n1an2

是秩为的nm的矩阵.

a1m



a2m



anm

若A(aij)nm满足定理2的条件,则存在初等旋转矩阵Q1,Q2,,Qr,使

QrQ1A

T

且 EQQ(Q1Q2Qr)(QrQ2Q1)

T

T

T

TT

R

 （3-14） O

所以

QrQ2Q1EQrQ2Q1Q （3-15）

由（3-14）（3-15）两式知,对A、E做同样的旋转变换,在把A化为而Q的前m个列向量属于子空间V.

综上所述可得化欧氏空间的子空间V的一组基1,2,,m(i(a1i,a2i,,ani),i1,

n

n

TTTTTTT

RT

Q的同时,就将化成了,E

O

T

2,,m)为一组标准正交基的方法:

（1）由已知基1,2,,m为列向量构成矩阵A(aij)nm; （2）对矩阵(AE)施行初等旋转变换,化A为上三角阵;

（3）取Q的前m个列向量便可得V的一组标准正交基. 显然,上述方法是求子空间V的一组标准正交基的另一种方法. 下面,我们通过实例对比Schimidt正交化求标准正交基.

例1 求以向量1(1,1,0,0),2(1,0,1,0),3(1,0,0,1)为基的向量空间V的一组标准正交基.

解 方法一 用Schimidt正交化把它们正交化：

3

n

n

RT

Q,同时就被化为正交矩阵,这里R是m阶EO

1'1(1,1,0,0),

(2,1')11

2''(,,1,0),

(1,1)22

'

2

'

(3,1')'(3,2)'111

3''1''2(,,

,1)

(1,1)(2,2)333'

3

再把每个向量单位化,得

1

1

1'

1'(,

2

1

'

2

'2(

, . 3

即,

1

3'

3'(TT3TTT

1T,2,3就是由1,2,3,得到的V的一组标准正交基.

方法二 （利用连乘初等旋转矩阵） 设

111

100, 矩阵A(1,2,3)

010001

对分块矩阵(AE)依次左乘T12,T23

,T34,

T

12

=00

得

0100

0

,T

=2300

0010

00010

00

01

00

T

,=340001

010

00

1

2000, 12



T34T23

T12(A

E

)=



则

000

00



12

012

1

0

2

00, 12

PT

1



2

取

12

012



0



0,P



0

2

1



02



1212,

1212

P1(

T, T

,

3

P2(

P3(T

T

T

T

. 那么P1,P2,P3就是由1,2,3,得到的V的一组标准正交基.

对比两者的解法,用Schimidt正交化把它们正交化需要的是记公式,若向量的维数比较多的,计算比较麻烦,而用初等旋转矩阵则可根据向量组成的矩阵的特点来求其标准正交基.

3.2 正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用

全体n阶正交矩阵作成的集合, 记为On, 从代数和拓扑的角度来看, 我们可以证明它构成一拓扑群, 并且进一步证明它是不连通的紧致lie群.

(1) On构成拓扑群

在证明On构成拓扑群之前, 先介绍一下相关的概念.

定义 2.2.1 设G是任一集合, R是G的子集构成的子集族, 且满足: 1、 结合G与空集属于R; 2、 R中任意个集的并集属于R; 3、 R中任意有穷个集的交集属于R;

称R是G上的一个拓扑, 集合G上定义了拓扑R, 称G是一个拓扑空间.

定义 2.2.2 如果G是一个拓扑空间, 兵赋予群的机构, 使得群的

乘法运算 u: GGG;

[3][3]

求逆运算 v: GG;

是连续映射, 就称G为拓扑群.

根据上面的定义, 我们分三步来实现证明全体n阶正交矩阵作成的集合On构成拓扑群. 全体n阶正交矩阵作成的集合On构成一拓扑空间. 全体n阶正交矩阵作成的集合On构成一群. 全体n阶正交矩阵作成的集合On构成一拓扑群.

证明 设M表示所有具有实元素的n阶矩阵作成的集合, 以Aaij表示M的一个代表元

2

素. 我们可以把M等同于n维欧氏空间E



n2

n

, 也就是将Aaij对应于E的点

n2



2

a11,a12,a1n,a22,a31,,ann.R是点集En

2

的子集族, 则E

n2

和都属于R,R中任意个集的并集

属于R,R中有穷个集的交集也属于R, 可以验证E构成一拓扑空间, 从而M成为一拓扑空间.

On是所有实元素的n阶正交矩阵, 所以是M的子集合, 于是由M的拓扑可以诱导出这个子集合的

拓扑, 从而On构成M的一个子拓扑空间.

1 A,B,COn由于矩阵的乘法满足集合律, 所以ABCABC

2 EnOn,st AOn,EnAAEnA

3 AOn,A

1

A',st A1AA'AAA1AA'E

所以正交矩阵作成的集合On对于乘法运算可构成一群.

对于中的拓扑空间M的拓扑, 定义矩阵乘法

m:MMM

设Aaij,Bbij, 则乘积mA,B的ij个元素是



a

k1

n

ik

bkj现在M具有乘积空间

E1E1E1(n2个因子)的拓扑, 对于任何满足1i,jn的i,j, 我们有投影映射

ijm:MMME1, 将A和B的乘积mA,B映为它的第ij个元素. 现在ijmA,Baikbkj是A和B的元素的多项式, 因此ijm连续, 投影映射ij是连续的,从而证明

k1n

映射m是连续的. 因为On具有M的子空间拓扑, 是M的一个子拓扑空间,且由正交矩阵的性质及上面的讨论知, 映射m:OnOnOn也是连续的.

On中的矩阵可逆,定义求逆映射f:OnOn,AOnfAA1. 由于合成映射

ijf:OnOn

AjiA

A*

E, 将AOn映为A的第ij个元素, 由正交矩阵的性质, A,

A

1

1

'

所以aji

, 即ijfA

AjiA

, A的行列式及A的代数余子式都是A内元素的多项式, 且

A0, 所以ijf为连续的, 而投影映射ij为连续的, 所以求逆映射f:OnOn为连续的.

至此, On又是一个拓扑空间,并且构成群, 对群的乘法与求逆运算都是拓扑空间的连续映射, 因而所有n阶正交矩阵作成的集合On构成一拓扑群, 称它为正交群.

(2) On是紧致lie群

在证明之前我们知道以下有关的定义和定理.

定义 2.2.3 设G为拓扑群, G的拓扑为n维实(或复)解析流形, 且映射g1,g2g1g2

[4]

1

g1,g2G 为解析流形GG到G上的解析映射, 则称G为n维lie群.

定理 2.2.1 欧氏空间内的有界闭集是紧致子集.

证明 AM(所有具有实元素的n阶矩阵作成的集合), A对应n维欧氏空间E

2

[4]

n2

的点

a11,a12,a1n,a21,a31,ann,M可作为n2维欧氏空间. A的行列式deAt为元素

a11,a12,a1n,a21,a31,ann的解析函数, AMdetA0为M中的开子集. 这时, 按诱导拓扑

可以知道M为解析流形, 且关于矩阵的乘法和求逆运算均解析, 故M为n维lie群. On为M的闭子集, 按诱导拓扑为子流形, On为lie群.

为了证明On紧致, 根据定理内容, 只要证明M等同于E设AOn, 由于AAE有

'

n2

**2*

时, On相当于E

n2

内的有界闭集.

ab

ijj1

n

kj

ik 1i,kn

对于任意的i,k,定义映射

fik:ME AM fikAaijbkj

j1

n

则On为系列各集合的交集

fik10 1i,kn ik

fii11 1in

由于fik1i,kn都是连续映射, 所以上述每个集合都是闭集. 因此On是M的有界闭集, 这就证明了On的紧致性.

在拓扑结构上是紧致的lie群, 我们称为紧lie群, 所以On是紧lie群. (3) On是不连通的

定义 2.2.4 设X是一个拓扑空间, X中存在着两个非空的闭子集A和B, 使ABX和

[3]

AB成立, 则称X是不连通的.

证明 我们再设SOn是所有行列式为1的正交矩阵构成的集合, S为所有行列式为-1的正交矩阵

1是E1的闭集,SOndet构成的集合. 因为det:SOnE是连续映射, 而我们知道单点集

1

1

1,

在连续映射下, 任何一个闭集的原象也是闭集, 所以SOn也为闭集,SOn为On的闭集, 同理, 我们也可以证明S是闭集, 因为SOnSOn, SOnS,而SOn和S是闭集, 有不连通的定义我们可以直接证明On是不连通的.

4正交矩阵在化学中的应用

原子轨道的杂化是在一个原子中不同原子轨道的线性组合.在结构化学原子轨道杂化理论中,原子中能级相近的几个原子轨道可以相互混合,从而产生新的原子轨道.杂化过程的数学表达式为

kckiii1,2,n;k1,2,,k为新的杂化轨道,i为参加杂化的旧轨道,cki为第k个杂化轨

i1

n

道中的第i个参加杂化轨道的组合系数.

[4]

在杂化过程中,轨道数是守恒的,并且杂化轨道理论有三条基本原则： （1）杂化轨道的归一性.杂化轨道k(k1,2,n)满足kkd1; （2）杂化轨道的正交性.kld0(kl); （3）单位轨道贡献.

每个参加杂化的单位轨道,在所有的新杂化轨道中该轨道成分之和必须为一个单位,即

[5]





c

k1

n

2ki22

c12ic2icni=1.

由杂化轨道原理,原子轨道的杂化,实际是由一组相互正交的单位基向量,通过线性变换转化成为另一组相互正交的单位基向量.在线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵,那么原子轨道的杂化,就可以转化为求出正交矩阵,作线性变换的过程.

4.1 sp3杂化轨道.

例2 以甲烷分子的结构为例,激发态碳原子的电子组态为c*(1s)(2s)(2px)(2py)(2pz),这样在形成CH4分子时,激发态碳原子的一个2s原子轨道和3个2p原子轨道进行杂化形成4个等同的sp

y

21111

3

杂化轨道.设在激发态碳原子中四个能量相近的原子轨道2s,2px,2p,2pz是一组相互正交的基向量,再通过线性变换将它们转化成另一组相互正交的基向量a,b,c,d,那么线性变换系数矩阵A必为正交矩阵,即

aa11

ba21ca31da41

a12a22a32a42

a13a23a33a43

2sa142s



a242px2px

= A

2pya342py

2pa442p

zz



. 

A为正交矩阵,a11,a12,a13,a14,a21,,a44分别是a,b,c,d在四个坐标轴的分量.在等性杂化

中,四个基向量a,b,c,d在四个坐标轴上的分量是相等的,即由四个能量相近的原子轨道

2s,2p,2py,2p进行杂化时形成四个等同的sp3杂化轨道,在四个杂化轨道上,原子轨道s和p成

x

z

份完全相同.根据这些理论,我们来求正交矩阵A.

因为A 是正交矩阵,由定义可得a11a12a13a141,即a11a12a13a14, 所以4a111,得

2

2222

a11a12a13a14=

又因为是等性杂化轨道.有

1

(取正值). 2

22222222a11a21a31a41 ,a11a12a13a14=1,

所以

a11a21a31a41=

即得到

1

（取正值）. 2

1212A

1212

又因

12a22a32a42

12a23a33a43

12a24. a34a44

111111222a22a23a240,(2a22a23a241,a22a23a24, 222222

111

,a23,a24. 222

取符合条件的

a22

同理,

1111111

a32a33a340,a22a32a23a33a24a340, 2222222

即

11

a32a33a34 ,a32a33a34,

22

得

1

a32,a33a34,

2

取a33又

11,a34. 22

11111

a42a43a440, 2222211111

a42a43a440, 22222

11111

a42a43a440, 22222

得a42

111

,a43,a44.

222

所以,

1

212A

1212

3

1212121212121212121

2. 1212

可以写出四个sp杂化轨道的杂化轨道式为

1

xyz

21

b(2s2px2py2pz),

21

c(2s2px2py2pz),

21

d(2s2px2py2pz).

2

a(2s2p2p2p),

4.2 sp杂化轨道

一个2s和一个2p原子轨道杂化形成两个sp杂化轨道.

1a11

同样,线性变换

2a21

根据等性杂化理论有

a122sa11

的系数矩阵A

a222pxa21

a12

是正交矩阵. a22

2

a112a2121,a11a21,a112a12

1,

于是,

a11

a21

a12

（取正值）.

又

a

220,故, a22即,

A所以sp杂化轨道式为1

.

2s2px). 5正交矩阵在物理中的应用

任意刚体运动都对应一个正交矩阵, 三维空间一条曲线经过刚体运动, 其曲率和挠率是不变的, 称它们为运动不变量.

首先我们来简单认识曲率和挠率.

曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率,通过微分来定义,表明曲线偏离直线的程度.曲率越大,表示曲线的弯曲程度越大.

Klim



（为角变量,s为弧长）s趋向于0的时候,定义K就是曲率.即 s

|r'r''|K'3.

|r|

而挠率,它的绝对值度量了曲线上邻近两点的次法向量之间的夹角对弧长的变化率.平面曲线是挠率恒为零的曲线.空间曲线如不是落在一平面上,则称为挠曲线,又由于挠率体现了密切平面的扭转状况,通常说它表示了曲线的扭曲程度.

(r,r',r')

曲线在某点的挠率记为,=''2.

(rr)

下面, 我们来考察曲线作刚体运动时的不变量

[6],[9]

.



例3 设曲线r1tx1t,y1t,z1t与曲线rtxt,yt,zt只差一个运动, 从曲线

r1t到曲线r1t的变换为

x1y1z1

其中,

xb1

Ayb2 (3-21) zb3

a11a12

Aa21a22

a

31a32

是三阶正交矩阵, b1,b2,b3是常数. 对(3-21)两边求n阶导数,得

a13a23 a33

x1nxn

nny1Ay. nnz1z

从而有

x1'''x'''a11x'''a12y'''a13z'''

'''''''''''''''yAyaxayaz2223121. (3-22) z1'''z'''a31x'''a32y'''a33z'''



因为A是正交矩阵, 所以也有r1trt. (3-23)

另一方面, 由一阶, 二阶, 三阶导数, 可作成矩阵

x1'''x1x1'''

两边取行列式, 由detA1,得

y1'y1''y1'''

z1'x'z1''x''

x'''z1'''

y'y''y'''

z'



z''AT. z'''

x1'x1''x1'''



现在取r1t,r1t,r1t

y1'y1''

z1'

x'y'y''

z'x'y'y''

z'z''. z'''

z1''x''

z''ATx''



y1'''z1'''x'''y'''z'''x'''y'''

rt,rt,rt可类似地讨论.



因为

x1'xx

''1'''1

y1'yy

''1'''1

z1'zxz

''1'''1

'''1

y1'y1''y'y

''

z1'z1''z'z

y

'''1

z1'z1''z'z

''

x1'x1''x'x

z

'''1

x1'x1''x'x

''

y1'y1''y'y

, (3-24)

x'x

''

y'y

''

z'zxz'''

''

'''

''

y

'''

''

z

'''

''

, (3-25)

x'''y'''

(3-22)代入(3-24)的右边,得

axa

'''11

12

ya13z

z1'z

''1

''''''

y

y1'z1'

''1

z

'''

''1

a21xa22ya23z

'''

'''

'''

z

z1'x1'

''1

x

''1

a31xa32ya33z

'''

'''

'''

z

x1'y1'

''1

y

''1

'

'''y1=a11x''y1'

'''y1+a12y''y1

a21x

z1'z

'''''1

x1'xz1'

''1

a31x

'''

x1'x1''

'''

y1'

''y1x1'x1''

y1' ''y1x1'x1''

y1'

. （3-26） y1''

z1'z

''

1

a22yz1'z

''1

x1'x

''1

z

''1

a32yx1'x

''1

'

y'''

+ a13z1

''y1

a23z'''

z1'z

''

1

a33z'''

因(3-24)与(3-25)右边相等, 有(3-25)右边与(3-26)式右边相等,得

y'y

zz

''

z'z

x

''

a11

a12a13

T

y1'y

y

''1

z1'z

z

''1

a21

a22a23

n

z1'z

z

''1

x1'x

x

''1

a31

a32a33

x1'x1''

x1'x

''1

y1'y1''

y1'y

''1

,

z'

'

x'

'

y1'

''1

z1'

''1

z1'

''1

x1'

''1

,

z'

'

x'x

,

y1'y

''1

*

z1'z

''1

z1'z

''1

x1'x

''1

x1'x1''

y1'y1''

.

由正交矩阵的性质2.2.6知, (Aij)A且由相加,

A

i1

ji

Akjjk(j,k1,2,3),将上面三式左右分别平方

yy

'''

zz

'2''



zz

'''

xx

'2

''



xx

'

yy

'2''

''

=(A211A212A213)

y1'y1'z1'z

'1

z1'z1'

2

+(A221A222A223)

x1'x

'1

2

+(A231A232A233)

xx

'1'1

yy

'21'12

=

写成矢量函数, 即得

y1'y

''1

z1'z

''1

2



z1'z

''1

x1'x

''1

2



x1'x

''1

y1'y

''1

.

'

r1(t)r1(t)r(t)r(t).

'''''

于是我们可推得

'

''

'

''

r(t)r(t)

'

3

r1(t)r1(t)

'

3

K

K1,

r(t)

'''

'

r1(t)

''

'''



(r(t),r(t),r(t))(r(t)r(t))2



'

''

'''



(r1(t),r1(t),r1(t))(r1(t)r1(t))2

'

'

1.

这里的K,K1;,1分别是曲线r(t),r1(t)的曲率与挠率.

6结论

矩阵是线性代数中的核心内容，而正交矩阵是一种常用的矩阵，它在正交变换理论中起着十分重要的作用，正交矩阵不仅在线性代数中，而且在理工各学科领域的数学方法中，如优化理论、计算方法、信息分析中都有着举足轻重的位置.本文对正交矩阵进行了较为深入的研究，得到了正交矩阵的一系列常用性质，相关性质的概括、改进和推广，以及正交矩阵在线性代数中、拓扑和近世代数中、物理及化学中的应用等的研究，对矩阵的理论研究有重要意义.

参考文献

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致 谢

感谢父母,给了我生命,也让我懂得这世上什么是真情!当我们遇到困难的时候,会倾注所有一切来帮助我们的人是父母;当我们受到委屈的时候,能耐心听我们哭诉的人是父母.当我们犯错误时,能够毫不犹豫地原谅我们的人是父母;当我们取得成功的时候,会衷心为我们庆祝与我们分享成功的喜悦的,仍然是父母;而现在我们远在外地学习,依然牵挂着我们还是父母.感谢父母给予我爱,是您们让我感到骄傲与自豪!

感谢老师,授予我知识!大学四年,不少老师给予我无微不至的关怀,这将成为我人生中难以忘怀的回忆.我不仅从您们身上学到许多专业知识,更多的是学到了为人处世的道理.在和您们的交流中,我对我的未来有了更好的规划.您们是我人生的航标,让我在迷茫时找到前进的方向;您们是我精神上的支柱,让我在困难时重新振作.大学四年,如果没有您们的博学知识,没有您们的倾注爱心,没有您们的谆谆善诱,我将不可能收获那么多.假如我能搏击蓝天,那是您们给了我腾飞的翅膀;假如我是击浪的勇士,那是您们给了我弄潮的力量;假如我是不灭的火炬,那是您们给了我青春的光亮!感谢帮助过我、教导过我的老师们,是您们,让我懂得给予与付出才是最重要的,是您们,让我明白做人就要不断进取,迎难而上,力争上游!

本毕业论文是在我的导师的亲切关怀和悉心指导下完成的,他给我的论文提出了不少宝贵的意见;他严肃的科学态度,严谨的治学精神,精益求精的工作作风,深深地感染和激励着我.从课题的选择到项目的最终完成,老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持,在此谨向老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意.