FEM积分公式证明
行列式的性质：
a i 、b i 、c i 是2∆表达式中第一行元素中1、x i 、y i 的代数余子式；
a j 、b j 、c j 是2∆表达式中第二行元素中1、x j 、y j 的代数余子式； a m 、b m 、c m 是2∆表达式中第三行元素中1、x m 、y m 的代数余子式，
则行列式任一行（列）的元素与之对应的代数余子式乘积之和为该行列式值， 行列式任一行（列）的元素与其它行（列）元素的代数余子式乘积之和0。
证明：
⎰⎰
! β! γ!
A
L αβγ1L 2L 3dxdy =
α(α+β+γ+2)!
2A ⎰β!
l
L αβ
1L 2ds =
α! (α+β+1)!
2l 证明需要的预备知识： （1）Γ函数： Γ(n ) =
⎰
∞
-x 1
x n -1e dx n>0 收敛 Γ函数性质：
Γ(n +1) =n Γ(n ) Γ(1) =1⇒Γ(n +1) =n ! （2）B 函数： B (m , n ) =⎰
1
-110
x m (1-x ) n -dx m>0 n>0 收敛 B 函数性质： B (m , n ) =
Γ(m ) Γ(n )
Γ(m +n ) B (m , n ) =1a m +n -1
⎰
a
x m -1(a -x ) n -1dx
证明公式（2）：
由L A 22=
A =S
l
⇒ds =ld L 2
（1）（2） (3)
(4) (5)
(6)
(7)
(8)
由
L 1+L 2+L 3=1⎫
⎬⇒L 1=1-L 2
12边上：L 3=0⎭
1
由公式（5）、（6）、（7）
α⇒⎰L 1L 2ds =⎰L 2(1-L 2) ds =⎰L β2(1-L 2) ⋅l dL 2
l
l
αββα
Γ(α+1) Γ(β+1)
l
Γ(α+β+2) α! β! =⋅l (α+β+1)! =
证明公式（1）：
如图示：∆L 2为两条平行线aa 、bb 上的点的面积坐标L 2之间的差。 有：L 2=
A 2
A
⇒∆L 2=
∆A 2∆h 2
= A h
同理有：∆L 1=
∆h 1
h ∆h 2h h
∆A =∆h 1⋅=12∆L 1∆L 2=2A ∆L 1∆L 2
sin αsin α
即：dA =2AdL 1dL 2
⎰⎰
A
βγαβ
L α1L 2L 3dxdy =⎰⎰L 1L 2(1-L 1-L 2) 2AdL 1dL 2
A
=2A ⎰
1-L 1
1
{⎰
1-L 1
L 2[(1-L 1) -L 2]dL 2L 1dL 1
β
γ
α
}
利用（8）式及（5）、（6）、（7）：
⎰⎰⎰
β+γ+1
L βB (β+1, γ+1) 2[(1-L 1) -L 2]dL 2=(1-L 1)
γ
A
βγL α1L 2L 3dxdy
1
=2A ⋅B (β+1, γ+1) ⎰(1-L 1) β+γ+1L α1dL 1
=2A ⋅B (β+1, γ+1) ⋅B (α+1, β+γ+2)
β! γ! α! (β+γ+1)!
⋅
(β+γ+1)! (α+β+γ+2)! α! β! γ! =2A (α+β+γ+2)!
=2A ⋅
证毕