等势面,场强的关系
§13--5 等势面、场强与电势的关系
（Potential Surface 、The Relation Between Electric Field Intensity and Potential）
一、等势面（电势分布的图示法） 电场中电势相等的点所构成的曲面 1. 等势面的规定 场中任意相邻的两等势面之 间的电势差相等。
E E
a
b
U c − U b = U b − U a = const Uc > Ub > U a
c
1
以点电荷q的电场为例：
ΔU = ∫ E ⋅ dl = E Δn
P2 P 1
Δn
n
ΔU ∴ E = lim Δn→0 Δn
等势面密集处，场强数值 大，电场线也密集。 2. 等势面的性质 ●沿等势面移动电荷时，电场力作功为零。
等势面
E
Aab = q0U ab = 0
2
●等势面与电力线处处正交。 证明： dA = q0 dU ≡ 0 而 dA = q0 E ⋅ dl = q0 Edl cosθ
E E
q0
等势面
a dl b
∴ cosθ = 0 θ =
π
2
即E ⊥ dl
●电场线的方向指向电势降落，而且是降落得最 快的方向，即由高电位等势面垂直指向低电位等 势面。 ●等势面密集处场强大，等势面稀疏处场强弱。
3
电场线与等势面
4
5
二、电场强度与电势梯度的关系 1. 电势梯度
dn dl = cos ϕ dU dU = cos ϕ dl dn
电势梯度
U + dU
n
dn ϕ P1 dl
P2
U
dU dU
E
P3
dU ˆ gradU = n dn
E
S1
S2
电势梯度是一个矢量，其方向与该点电势增加率最大 的方向相同，大小等于沿该方向上的电势增加率。
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2. 场强与电势梯度的关系 A. E ⋅ dn = − En dn = (U + dU ) − U = dU
dU ∴ En = − dn
结论
E
( grandU ) l
ϕ
dU E=− n = − gradU dn
gradU
El U U + dU
dU dU B. − = − ( gradU )l = − cos ϕ = E cos ϕ = El dl dn
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在直角坐标中:
∂U Ex = − ∂x ∂U Ey = − ∂y
dU El = − dl
∂U Ez = − ∂z
E ϕ
dl
∂U ˆ ∂U ˆ ∂ U ˆ E = −( i+ j+ k ) = − gradU ∂z ∂x ∂y
因电势为标量，所以计算电场中某点的电势比较方 便，因而由 E = − gradU 可更方便地求得 E
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讨论: ★电势为零的地方，场强不一定为零。
∂U U = 0, 不一定等于零。 ∂l
o
q+ + + E (r )
+ R + +
q q
+
+
−q q
+
-
U = 0, E ≠ 0
+ a +
★场强为零的地方，电势不一定为零。 o
U ≠ 0, E = 0
不是指等 势面上
★电势不变的空间场强一定为零。
U = const , E = 0
dU El = − dl
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三、场强与电势关系的应用 例1：已知点电荷的电势 U =
Y
q 4πε 0 r
2 2
求E
2
r
Z
解： r =
X
x +y +z q
2 2
+
U=
4πε 0 x + y + z
2
∂U qx Ex = − = 2 2 2 3/ 2 ∂x 4πε 0 ( x + y + z ) ∂U qy Ey = − = 2 2 2 3/ 2 ∂y 4πε 0 ( x + y + z )
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∂U qz Ez = − = ∂z 4πε 0 ( x 2 + y 2 + z 2 )3/ 2
∂U ˆ ∂U ˆ ∂U ˆ E =− i− j− k ∂z ∂x ∂y
ˆ ˆ j q ( xi + yˆ + zk ) = 2 2 2 3/ 2 4πε 0 ( x + y + z )
=
q 4πε 0 r
2
ˆ r
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例2：均匀带电圆盘轴线上任一点P的电势为
σ 2 2 Up = ( R + x − x) 2ε 0
求场强分布。
∂U ˆ 解： E = − i ∵ ∂x
R
x
⎤ˆ ∂ ⎡σ 2 2 ( R + x − x) ⎥ i P X =− ⎢ ∂x ⎣ 2ε 0
⎦
σ x ˆ = (1 − )i 2 2 2ε 0 R +x
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例3：有一平面电场， = 3 x + 4 y ， U 求场强并大致地画出电力线与等势面。 解：E = − gradU Y
θ
E
∂U ˆ ∂U ˆ j =− i− ∂x ∂y
j j o
X
ˆ = −3i − 4 j (V/m)
−4 θ = arctan = arctan Ex −3
Ey
= 233.1
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