商品价格期限结构模型的回顾

商品价格期限结构模型的回顾....................................................................................................... 2

引言 .................................................................................................................................................. 2

1 期限结构的理论分析 .................................................................................................................. 3

1.1 传统理论以及现货价格和期货价格的关系 ................................................................... 3

1.2 长期限的拓展分析........................................................................................................... 6

1.3 期限结构的动态分析....................................................................................................... 8

2 商品价格的期限结构模型 ........................................................................................................ 10

2.1 或有求偿权分析的基本原则......................................................................................... 11

2.2 单因素模型..................................................................................................................... 12

2.2.1 遵循几何布朗运动的现货价格 ......................................................................... 12

2.2.2 均值回复过程 ..................................................................................................... 13

2.3 双因素模型..................................................................................................................... 15

2.3.1 把便利收益作为第二个状态变量 ..................................................................... 15

2.3.2 以长期价格作为第二个状态变量 ..................................................................... 17

2.3.3 季节性................................................................................................................. 18

2.4 三因素模型..................................................................................................................... 18

3 期限结构模型及其价格曲线的描述......................................................................................... 19

3.1 模拟过程 ........................................................................................................................ 20

3.2 参数估计 ........................................................................................................................ 21

3.2.1 非观测变量以及他们的近似 ........................................................................... 22

3.2.2 Kalman滤波 ..................................................................................................... 22

3.3 模型性能 ........................................................................................................................ 22

3.3.1 性能标准............................................................................................................. 23

3.3.2 实证结果............................................................................................................. 23

4期限结构模型的应用 ................................................................................................................. 26

4.1 动态套期保值策略......................................................................................................... 26

4.2 投资决定 ........................................................................................................................ 27

5结论 ............................................................................................................................................. 30

商品价格期限结构模型的回顾

引言

这篇文章对近年来商品价格期限结构模型的建立以及应用做了总结回顾。期限结构被定义为在任意交割日时，现货价格与期货价格的关系。由于它能综合市场上有用的信息以及交易者对未来的期望，这样就为投资者进行套期保值以及做出投资决定提供了非常有用的信息，而这个信息对于经营管理非常有用：它不仅能用于在有形市场上对暴露头寸进行套期保值，及时调整存货水平以及生产速度，还可以对基于期货合约的衍生工具进行估值，当然，它的作用不仅仅是这些。

由于市场的不断成熟完善，许多商品期货的合同到期日越来越长，因此期限结构的概念也相应变得越来越重要。以美国原油期货市场为例，从1997年以来，市场经历了巨大的演变发展，已经出现了到期日长达七年的期货合约。成为了目前依据成交量和到期日交易的最完善的商品期货市场。在这个市场上，它能提供公开的可获得的价格，也就是潜在的和无成本的信息。当然在其他大多数的商品市场上，长远到期日的信息依然是不公开的，只是给出了一个远期报价。虽然说依据现有的长期合约的远期报价对原油价格曲线进行实证研究是可能的，但这报价信息并不能满足必要的稳定性和使用性，其原因在于远期合约不是标准化的合约，价格报告机制不能披露交易者实际的交易价格。

原油市场的这些特性也解释了本文多次引用这种商品例子的原因。进一步说，由于目前在市场上存在这多种多样的衍生工具和套期保值工具，我们可以通过研究期货合约，发现并找出有形市场和无形市场之间的联系，并把这一研究拓展到其他衍生工具和市场中。而在这当中，期货价格期限结构的研究至关重要，因为它对复杂衍生工具定价起着决定性作用。

读者也可以通过下述的这些文献找到更多的关于商品市场的综述资料。（略）

本文按照如下顺序回顾。第一部分是对期限结构的理论分析。第二部分关注商品价格期限模型的构建。第三部分通过用实际观测到的价格曲线评定模型的性能。第四部分讲了期限结构模型的两个重要应用：套期保值和估值。第五部分结论，并提出了期货研究的新方向。 1 期限结构的理论分析

这一节首先只限于于对传统商品价格理论的分析，并对现货价格和期货价格关系作出了解释。由于要考虑整个期限，标准现货溢价理论和存储理论就显得过于局限，所以就有必要拓展到长期的结构分析，这也是本节的第二部分。最后，还解释了对于期限结构的动态分析。

1.1 传统理论以及现货价格和期货价格的关系

正常现货升水理论和存储理论一开始就可以用于解释商品市场上现货价格和期货价格的关系。两者不同点在于：正常现货升水理论还关注于对套期保值头寸的分析，以及期货市场是如何传递风险的。

而存储理论只是基于存储成本提出了一个解释。在内容上，正常现货升水理论通过现货价格，便利收益以及存储成本来描述期货价格，而存储理论只包括了纯存储成本和融资成本。

早在1930 年，凯恩斯在研究现货价格与远期价格的关系时，提出了正常现货升水理论。概括的说，就是正常情况下，市场上商品的远期价格低于现货价格。换句话说，正常情况下的现货供给价格包括了应对生产过程中的价格波动风险的补偿，而远期价格不存在这一补偿价格。

在期货市场上，空头和多头套期保值头寸的相对重要性取决于两者的联系。现货升水理论的第一条假设是空头套期保值者与多头套期保值者相比，存货不足，因此就需要投机者对此不平衡作出调整，而在到期日时，期货价格和现货价格之间的差价就是对投机者干预活动的报酬激励，这也是第二条假设，即风险溢价的出现，这个溢价是对投机者进行交易承担风险的补偿。

但是一直到现在，正常现货升水的理论既没有被证实完全有效，也没有被完全否定。（这些人）都试图使用静态的或期间临时态的资产定价模型来验证期货的风险溢价，但却都得出了相悖理的结果。更普遍的讲，反对该理论的人认为：任何时候溢价都会存在。虽然溢价机会很小，但它却是正的恒定的。确实是这样，因为事实上市场上套期保值者的净头寸不会永久是空头，随着时间的变化，风险规避者的角色也会转化。这样验证该理论有效性的实证检验得出相矛盾的结果：在同样的市场和不同的时期内，有时出现现货升水，有时出现期

货升水。

在期货市场上，现货价格和期货价格之间肯定存在着某种关系，存储理论依赖对这种关系的推理解释而建立的。对于有形市场和期货市场之间套利活动的分析有助于我们理解期货溢价和现货溢价的发生机制。期货溢价和现货溢价对于基差的影响是不同的。特别是从当前日到到期日的这段时间内的存储成本就限制了期货升水的能力。而对现货升水的限制是不存在的。

但是当要援引有形存储对现货价格和期货价格的关系进行解释时，对于现货升水的解释就会变得复杂。如果期货价格反映了现货价格加上正的存储成本的话，那么如何能解释有时候，期货价格会低于现货价格的情况呢？为此Klodor在1939年引如了便利收益这一概念并回答了这一问题。便利收益可简单的定义为伴随存货持有带来的潜在收益。因为拥有存货确实可以避免频繁的供给订单成本以及花费的要与交割者相关的等待时间。

Kaldor（1939）和Brennan（1958）两位学者都分别对便利收益这一概念作出了定义。（略讲）

这些解释表明，库存稀少时，便利收益很大，这样持有存货就更有价值。相反，存货富余，便利收益就很低。明确的讲，便利收益与现货价格正相关，当存货短缺时，现货价格会很高，便利收益的值也会很大。当存货富余时，现货价格低，便利收益价值也低（反之亦然）。

存储理论研究的重要贡献就是推出了便利收益的概念，而这个概念恰恰是分析期限结构的核心内容。在其他金融市场上，债券的派息

以及股票组合的发放股利看做是便利收益。

存储理论对于商品价格期限结构理论的阐述构建了主要的基础。它的确提供了有用的结论。首先，至少确认了三个变量影响期货价格：分别是现货价格，便利收益以及利率。其中利率是隐含的融资成本。其次，便利收益和现货价格存在正相关，并且两者都是存货水平的反函数。第三，有形市场和无形市场之间套利关系的检验表明，基差存在着非对称的行为.(注：基差定义，即期价格和远期价格的差异，或者是一个较快到期的远期(期货)价格和一个较晚到期的远期（期货）价格之间的差异。)表现在：一种情况是期货升水水平受到存货成本限制，现货升水却不会受此限制。另外一种情况是，在存储水平不能吸收价格波动时，期货升水下的基差很稳定，而现货升水下的基差却波动很大。这种不对称性暗示便利收益是不断变化的。这也是期限结构中要探讨的内容。

1.2 长期限的拓展分析

商品价格传统理论的最重要的发展是从1930年到1960 年这段时间。这一时期内，期货市场上的交割期限一般不超过一年。因此最初的理论分析只适用于短期情况，但随着市场的发展，商品期货合约的期限也不断延长，这样，就要求理论能准确地解释较长期限的期货价格与现货价格的关系。

凯恩斯认为，当考虑较长期限的价格曲线时，沿着该曲线会出现现货升水和期货升水并存，这一现象是由于市场上对于某一到期期限的期货的供求不平衡造成的，为了缓和这种不平衡，市场就会将风险

溢价补偿给承担风险的投机者。Modigliani and Sutch（1966）在其优先聚集理论中指出，商品期货价格的期限结构可以看作是由一系列不同到期期限的分段，市场参与者根据自己的需要选择不同到期期限的分段。

凯恩斯理论的拓展分析等于取消了关于风险溢价现象以及水平的假设。认为实际中存在着一些供需合同之间的不平衡，这样，期限结构的每一分段曲线都可看做满足一定程度的经济需要。因此，所有到期日下的所有交易者都互不干扰。这样，风险溢价就看做是有关到期日的函数。最后，为了考虑价格的最终扰动，当交易者期望与风险规避度改变时，收益也必须能随着期限的变化而变化。

提到存储理论时，首先考虑期货升水和现货升水期限结构的存在。这种现象取决于商品供需的季节性。在农产品这样一个例子中，就可以解释短期现货升水与长期现货升水共存。在农事年年末，存货达到了很低的水平，那么在收割日前后的交割价格反映了两种截然不同的情况。收割之前，存在着交割的短缺；现货升水。同时，收割之后，价格却处于期货升水。

因此，存储理论很容易先天性的有助于价格关系的跨时间分析。尽管如此，当合约期限超过一到两个周期时，就有人会问，是否理论的解释要素仍然有用。确实，长时期的拓展分析提出了新问题。当分析的存续期增加时，除了偶然性和不可预测性以外，商品短缺是否还应该有其他的解释？从长远来看，是否有其他而并非存储成本和便利收益的因素能来解释价格曲线的形状和表现。

Cabillon（1995）最先对上述最后一个问题给出了肯定的答复。他综合了正常现货升水理论和存储理论，提出把原油价格的期限结构分为两个独立的分段。曲线每一分段都反映了交易者独特的经济行为。第一个分段，从第一个月到第十八个月，对应为较短的到期日，主要用于套期保值的目的。因此在这个阶段，生产，消费，存货水平以及对存货断货的担心（这几方面）都是期货价格关系中十分重要的解释因素。而到了长期（也就是十八个月以后），期货主要用于投资，其价格的重要决定因素又转变为利率水平，预期通货膨胀率以及替代能源的价格水平等变量。

以上这一分析中，交易者有偏好习惯：他们专注于持有某些特定段到期日，这些期货合约的组合勉强可以利用套期保值的策略。而后一阶段还没有明确的理论解释，不久Lautier（2003）指出，可以用流动性因素来解释原油期货价格的分段。随着期货市场到期，分段逐渐发展演化。在她的文章中指出，分割点不是18个月，而大约是28个月。

因此就正常现货升水理论来说，把它拓展到长存续期的水平是相对合适的。这样，就需要放弃凯恩斯的分析框架，因为它严格了；至于说到存储理论，由于它的假设条件很少，扩展并不简单，因此必须引进新的价格关系的解释成分。

1.3 期限结构的动态分析

价格曲线特性的最重要特征或许就是研究两个相邻到期日的合约价格的差值，虽说长期的合约价格比较稳定，但当场交付的合约价

格变动却非常大，并且不易确定。表现出波动率随着价格曲线的延长而不断衰减的现象。确实是这样，距离到期日最近的两个相邻到期日的期货合约的方差和相关性也是在递减的。这种现象被称作“萨缪尔森效应”。如果从直觉上分析的话也是这样，冲击影响其发生点附近的期货价格，并对后续到期的期货合约的影响呈减弱的趋势。特别是当期货价格快到交割日时，它对这一信息的冲击反应特别剧烈，这是因为在交割日，期货价格将会最终趋近于现货价格。这些影响价格曲线短期部分的大部分扰动来自现货市场的冲击以及期货市场上供给变换的冲击。Anderson（1985）、Milonas（1986）、Fama and French（1987）等从大量的商品和金融资产研究出发，对此进行了实证支持。Deaton and Laroque（1992，1996）和Bailey（1996）也证明了萨谬尔森效应是存储成本的函数，即高的存储成本则价格波动较小。但是，Fama and French （1988）在其研究中却发现存货较高时，较短存续期内的萨谬尔森效应不明显。特别是当交割短期内有大量存货，不会在最近的交割月份发生存货断货的可能时，最初的价格波动率会随着合约的到期日临近而增加。

图一对萨缪尔森效应给出了解释，它用1999年3月到2000年1月不同点的观测数据描绘了原油价格期限结构的变形形式。这些合约来自于纽约商品交易所内的交易WTI合约。最近到期日期货价格比其临后的价格表现出较大的波动性，尤其是在1999年3月到4月间，当期货升水不存在时，这一现象尤为明显，当然，这些变化主要影响短期价格。

与其他商品市场相比，原油市场还展现了另一特征：大部分时间内，价格都表现为现货贴水。这一现象众所周知并被广泛报道。于是这一特征也暗示了原油市场可以用于广泛验证正常现货升水理论。但正像原先记述的，这篇文献未能解释石油产量的反转市场的普遍性。 图二解释了原油期货市场的这一特性。它描述1989年年到2002年这一期间内，1月期，12月期，18月期，28月期的四个到期序列的每日期货报价。图中显示会出现现货升水的替代，即期货升水。并且还显示了，在1990年，1997年，2000年，现货升水都达到了一个较强的峰值。

处理期权价格动态特性的另一种策略是主成分分析法。这种统计方法通过压缩它所包含的信息来限制数据集合的维度。由于数据集包含了许多变量，它们通常受到同样驱动力的影响而一起移动。而在许多系统里，却仅仅有这样一些驱动因子。

应用主成分法分析原油期货价格曲线可以产生三种结论。首先，可以确认价格曲线运动的类型，当然这种类型应是非常易于描述的。总共有三种不同的类型可以区分：曲线水平的移动（水平因子），曲线的相对移动（陡峭因子），以及弯曲因子。其次，主成分分析法可以测度每一部分对于波动率的贡献比例。以石油和铜为例来说，通过这种计算方法显示，前面两种因子可以解释期货价格99%的总方差变化。因此，可以考虑通过使用与期货价格移动相联系的大部分风险来解释这两个因子。

2 商品价格的期限结构模型

期限结构模型用来尽可能精确的复制市场上可以观测到的期货

价格。用它可以提供一种方法发现存续期超过期货交易所交割期的期货价格。在这一节，我们回顾了主要的期限结构模型，包括从最简单的单因子模型到复杂的三因子模型。这里常常使用四种不同的因子：现货价格，便利收益，利息率，长期价格。由于模型的提出借鉴了或有求偿权分析中期权和利息率模型的推导，所以在介绍这部分内容之前，先引出了或有求偿权分析的基本原则。

2.1 或有求偿权分析的基本原则

期限结构理论认为商品期货衍生物定价的标准建模过程遵循期权和利率理论中的或有权益分析，首先，商品期货价格的期限结构模型基于三个假设：(1) 市场无磨擦、无税收及交易成本；(2 )连续交易；(3)借贷利率相等且无卖空的限制。

其次，按照推导利息率的方法来构建期限结构模型。第一步，选择状态变量（也就是期货价格的不确定源）并刻画其动态特性。第二步，由于期货价格是状态变量，时间和到期时间的函数，若假设状态变量遵循可能的动态过程，运用伊滕引理就能得到期货价格的动态模型；之后通过套利推理和构建套期保值组合得到期限内的无风险溢价，然后再用基本的评估方程刻画这个模型，从而可以计算出期货的价格。

但是利率理论框架并不能直接运用到商品期货定价中来，因为利率理论的定价原理，是在完全市场的假定下，在风险中性条件下，由无套利机会决定均衡价格的形成。

而商品期货市场是不完全市场，实物资产市场上的套利机会远远

不及大多数金融资产市场，所以给商品期货衍生物定价不可能在风险中性条件下实现。另外，现实还存在着风险中性和风险偏好共存的可能。

2.2 单因素模型

期货价格常常定义为在t时刻可得信息为条件的预期现货价格的期望值。确实，现货价格是期货价格最重要的决定因子。因而绝大多数的单因子模型依赖于现货价格。文献里已经叙述了这样一些单因素模型，这些模型是独立分开的，但都与现货价格的动态特性保持一致。这包括几何布朗运动或者是均值回复过程。进一步，这些模型可以通过它们是否保留有便利收益的假设来进行区分。

2.2.1 遵循几何布朗运动的现货价格

Brenna and Schwartz（1985）、Gibson and Schwartz（1989，1990）、Brenna（1991）和Gabillon（1992，1995）等认为现货价格遵循几何布朗运动，并据此提出了他们的单因素模型，其中最著名的单因素模型当属Brenna andSchwartz （1985）模型：

d St = μSt dt +σsStdz （1）

该模型表明：t时刻的现货价格S与先前的现货价格变动无关，漂移率μ代表价格的进化。当存货较低时，S则高，这说明市场需求的任何变化对现货价格都会造成强烈的影响，因为存货不足以吸收价格的波动。

Brenna and Schwartz（1985）也对便利收益进行了确定。之后，作者都参照这样的解释：

便利收益表示为有形商品所有人积累的服务流而非合约所有者拥有的。考虑到商品来回运输所要承担的时间损失和运输成本，便利收益可以看做用存货补充当地临时的商品短缺所产生的收益价值。当然这个收益也可看做是为维持生产及时提供了原材料而产生的。

2.2.2 均值回复过程

Brenna and Schwartz 模型是最简单的商品期货价格的期限结构模型，但Schwartz（1997）、Cortazar and Schwartz（1997）和Routledge Seppi and Spatt（2000）等在他们的研究中发现几何布朗运动实际上并不是最好的描述价格动态的方法，运用存储理论和萨谬尔森效应中的均值回复过程来刻画价格变动更有意义。因此，他们在单因素模型中都保留了均值回复过程。这些模型中最具代表性的是Schwartz 模型：

dS =Sκ(μ-lnS)dt +σsSdZs (2)

该模型表示现货价格围绕长期均衡价格波动,调整速度κ保证现货价格S总能回到长期均值μ。因此，两个特征值刻画了现货价格行为。当然收益是有向长期均值靠近的倾向，但是同时，随机的冲击也会使其远离均值μ。

均值回复过程尽可能的考虑了现实中有形市场上交易者的行为。当现货价格低于长期均值时，工业企业估计未来价格会升高，所以积累存货，同时生产商由于销售价格偏低而削减了产出。这样增加的需要和减少的供给两方面因素共同作用抬高了现货价格。反之，也是一样的道理。

虽然这一模型比Brenna and Schwar（1985）模型优越，但也存在着缺陷，例如，它不能象存储理论那样解释期货升水和现货升水并存的现象。这是由于在起初，均值回复过程并没有考虑这种特性。

Cortazar and Schwartz（1997）运用这一过程导出了更复杂的模型。其中，作者引入了变化的便利收益，这个变量是由现货价格与长期平均价格的离差决定的。

2.2.3 其他单因素模型

在众多的单因素模型中，Brennan的研究无疑是最有趣的，他把便利收益看做内生变量假设，与Schwartz最初研究不同的是，他把便利收益看做是关于现货价格的非线性函数而非当初的线性函数。表达式如下：

C（S）= a + bS + cS2 （3）

它比原来的表达式更加有弹性，后来，人们更加偏好第三个方程式：

C（S）= max ( a, b+cS ) （4）

便利收益最小值不能低于存储成本的相反数，同时只要当存货能力尚未满负荷时，便利收益就被看做是库存水平较大差价的常数。事实上，便利收益要么等于存储成本的相反数，要么等于现货价格的一个比例值。

Brennan的研究以及非线性表达式的开拓性的使用吸引了大量进一步的研究，但是和前两位学者一样，他们的结论都受限于单因素模型。

2.3 双因素模型

当期限结构方程引入第二个随机变量时，选择状态变量时同质性就不存在了，在大多数情况下，我们把便利收益作为引入的变量，但同时也考虑引入长期价格以及短期价格波动率这两个变量。这些新变量的加入使得期限结构模型的形状更富于变化，也更具有波动性。当然模型的建立更复杂，也更耗费成本。

2.3.1 把便利收益作为第二个状态变量

最出名的结构模型当属Schwartz模型（1997），它为后续的几个模型的发展都提供了参照。

dS = (μ-C)Sdt +σsSdzs

dC = [κ(α-C)]dt +σcdzc （5）

在他们的模型中除继续保留了中值回复过程外，提出把便利收益作为第二状态变量，从而提出了双因素模型。在该模型中，不仅保留了均值回复过程，而且便利收益也遵循均值回复过程。股利则作为便利收益的一种形式，影响着现货价格的动态性。因此，模型对于现实当中便利收益如何影响与有形市场有关的潜在收益提供了很好的解释。进一步讲，模型也可以应用到债券和股票等金融资产中进行比较。

当应用便利收益时，Ornstein-Uhlenbeck 过程依赖于存货具有再生产特性的假设，即存货水平满足正常条件下的行业需求，这样就保证了有形市场上，交易者能承担这个正常水平。

存储理论还显示了现货价格和便利收益都是关于存储水平的逆函数，因此这两个状态变量存在相关性，但是，这两个状态变量间的

相关性并非完美，用如下这个式子来表示两者布朗运动增量的相关性： E[ dZs x dZc ] = ρdt (6)

其中ρ为相关系数

这个易处理的模型存在这样一个缺陷：它忽略了价格的波动性与现货升水的程度是正相关的。这一现象已经广泛的报告和评估。研究表明：基差变化存在着非对称性的行为：期货升水时，基差水平受到存储成本限制，但在现货升水时，不存在这一限制。另外，在存货量不能吸收价格波动时，期货升水时，基差水平保持稳定；而在现货升水时，存在着波动。这些现象可归结为把便利收益看做是期权的假定.从这些学者的研究中可以看到（Heinkel,HowellandHughes Milonas and Thomadakis[1997];Milonas and Henker[2001]）而另外的一些学者则试图在他们的研究中把这种非对称行为引入期限结构模型进行假定。（Brennan[1991],Routledge,Seppi,and Spatt[2000],and Lautier and Galli[2001].

Brennan认为这种非对称性是由于考虑到存货的非负性约束，但同时他又认为便利收益是确定的，Routledge 则指出现货价格与便利收益间存在着相关性，并且现货升水下的相关性要大于期货升水条件下的，同时，便利收益是内生的随机的，由存储过程决定。Lautier and Gallizi在他们的模型中把便利收益看做是均值回复过程，并表示成连续股利的形式。它以这样的方式来阐述非对称性：当存货较少时，由于现货升水，便利收益高而不稳定；当存货较多时，期货升水，便利收益则低且稳定。他用β值来测量这种不对称性，当后者设定为零

时，这个不对称模型就转变成了施瓦茨模型。

2.3.2 以长期价格作为第二个状态变量

另外测量期限结构的模型考虑到了波动率随着价格曲线衰减的模式。这就有可能表明有两种相对的变量以一种相悖离的趋势影响期货价格，这两个变量就是现货价格和长期价格。这种方法先后由Gabillon和Schwartz，Smith提出（2000）

在Gablliond的模型中，便利收益是依赖与现货价格和长期价格变化的内生变量，长期价格是一个外生变量，受到预期通货膨胀率，利息率以及替代能源价格的影响，遵循几何布朗运动，而且现货价格和长期价格假定为正相关。

然后，Schwartz and Smith （2000）在该双因素模型基础上进行了改进，提出了一个新的双因素模型，该模型把现货价格分为短期变动和长期均衡两部分：ln(St) = χt+ζt (7)

dχt= -κχtdt+σχdzχ

dξt=μdt+σξdzξ (8)

短期价格波动χt假设遵循Ornstein-Uhlenbeck过程（奥斯坦恩乌伦贝克过程是满足特定随机微分方程的一个随机过程.）而均衡价格ξt则假设遵循普通布朗运动过程。这两个因素虽然不能直觉观测，

但可以从现货和期货价格中推断出来。虽然长期期货价格与短期期货价格之差只能提供短期价格变化的波动值，但是较长到期日的期货价格运动可以提供较为精确的均衡价格水平。同时这个模型不用特别明确的考验便利收益随着时间的变化，因为它可以用另外一个模型的状

态变量的线性组合来表示。

总的来说，短期价格的波动是由突然的天气变化，供求状况引起的，可以通过调整存货水平加以缓和，但长期价格主要是由生产率，通货膨胀和政治因素决定的，因而较为稳定持久。该模型最大的优势在于避免讨论便利收益，缺陷是第一，这两个变量不能直接观察到，只能从现货和期货价格中估计得到，第二，用随机变量来表示一个均衡量有些不妥。

2.3.3 季节性

学者Gabillon除了这些状态变量以外还考虑了商品价格的季节性，并以正弦函数和余弦函数构建了季节函数模型。Richter和Sorensen（2002）在他们随后的研究中也保留了同样的形式。

2.4 三因素模型

直到1997 年，每一个期限结构模型都假定利率是一常数。这等于假定在整个期限结构中利率曲线是水平的，这样分析的话就过于简化了。在1997 年Schwartz提出一个包括S,C和利率r三个变量的三因素模型，并且假定利率遵循均值回复过程。

引进随机利率分析价格关系从理论角度上讲是很重要的，恒定利率的假定等于说期货价格和远期价格是相等的，但这并不符合实际。（COX，Ingersoll，and Ross[1981]）因为如果使用随机利率的话，就可以把期货市场的保证金要求机制考虑进来，很明显的期货和远期合约的偿付结构是不一样的。所以最终，把利息率作为期货价格的第三个影响因素符合存储理论。

从1997年开始，几个三因素模型被提出：1998年，Hilliar和Reis修改了Schwartz在1997年提出的模型，他们考虑到急剧猛烈的供给变化会对现货价格的冲击，引入了价格的跳跃分析。2000年，Schwartz和Smith认为均衡价格的增长率也是随机的。Yan在2002年在他的模型中使用了便利收益，利息率以及波动率这三个因素，并指出现货价格和波动率同时跳跃。其中便利收益遵循奥斯坦恩乌伦贝克过程，利率遵循平方根过程（CIR模型，最著名的利率期限结构模型

dr(t)=a(b-r(t))dt+σ(t)r(t)0.5dBt），波动率遵循平方根扩散过程。

虽然随机波动和跳跃不能改变既定时间点上的期货价格。但它可以用来给期货期权定价。

最后在2003 年Schwartz and Cortaza提出了一个著名的三因素模型，在这个模型中作者把长期现货价格收益作为第三个风险因素,且认为它遵循均值回复过程，其它的两个状态变量是现货价格和便利收益,便利收益临时的变动是因为存货水平的变动,然而长期现货价格收益的变动是由于生产技术,通货膨胀或需求模式的变化引起的。

(9)

优点:引进第三个参数能够改进模型的性能,使之能更加精确地描述期货价格曲线的演进过程。缺点：过于复杂，应用过于狭窄，不能应用它来给更复杂的衍生产品估值。

3 期限结构模型及其价格曲线的描述

这节回顾了一些主要的实证结果。首先，模拟过程强调了随机过程假设的影响，也同时突出了这几个状态变量的冲击。其次，需要使用一些参数值来验证模型，这就要求使用一定的方法对提出的参数进行估计。最后评价了模型的性能，也就是用它来复制商品价格期限结构的能力。

3.1 模拟过程

用模拟来比较模型的优劣并评价模型的实用性是可行的。在众多的期限结构模型中，我们用（1），和（5

）

这两个广为人知的模型来进行模拟。实证的数据

来自原油市场，表三显示了它的最大值和最小值。

布伦南施瓦茨模型

利息率和便利收益的差值决定了期货价格

期限结构的整个形状，当利息率大于便利收益时，市场表现为期货升水。反之，则为现货升水。表四显示了这个模型的价格曲线只能表现为单调递增，单调递减，水平状这三种状态中的一种。同时，模型认定便利收益为定值，并且也认定对于所有到期日，收益的波动水平都是一样的：

因此，这个模型的缺点很突出，即不能用于长期分析，但同时优点也很明显，简单易于掌控，所以至今任然在使用。

施瓦茨模型（1997）：用这个模型，我们

可以得到更富于变化的价格曲线，如图五显示的那样，期货价格是关于便利收益的减函数。

模拟过程也显示了便利收益和长期均值α之间的差值，当差值很大（C=-0.3，α=0）时，需要3.4年的时间曲线才能变得稳定，当（C=α=0）时，期货价格只需要1.8年的时间就可以达到稳定。

另外模拟的时间序列关注了便利收益的调整速度。像图六显示的那样，伴随着期货价格的上升，调整速度也在下降。当回复的均值减少时，长到期日与短到期日的期货价格差值也会逐渐拉大。

因此从以上几点可以看出，第二个状态变量的引入使得价格曲线形状更富于变化；同时，施瓦兹模型比布轮南-施瓦茨模型更实用，它能描述期货价格的波动率随到期日延长而减少这一趋势，当合约临近到期日时，期货价格的波动率会聚于现货价格的波动率。反之，当到期日无限远的时候，期货价格的波动率就趋向一个固定的值。

（12）

(13)

尽管这样，两因素模型也很复杂，它包含了六个参数的估计，而单因素模型只有两个。

3.2 参数估计

为了评估模型的性能，就需要使用参数值来计算估计价格，并与实证的数据进行比较。但是由于模型中许多变量都是非直接观测

值，所以参数的估计就显得非常复杂。为了克服这一困难，施瓦茨使用了卡尔曼滤波的方法来估计参数。

3.2.1 非观测变量以及他们的近似

商品期货价格的期限结构模型中的非观察变量包括：现货价格、便利收益和长期均衡价格水平。估计现货价格的通常方法是将期近的期货价格作为近似值。现货价格被视为非观察变量是因为在大多数的商品市场上缺乏可靠的现货价格的时间序列：实物市场地理区域分散，交易非标准化，价格公布机制也不要求交易者披露他们的交易价格。便利收益也是一个非观察变量，因为它不是交易资产，对它的近似计算需要两个变量T 1时的期货价格F和T 2时的期货价格F，计算式

为：

(14)

3.2.2 Kalman滤波

最后，长期价格也不是一种交易资产,为了估计它的值，Schwartz and Smith（2000） 提出运用Kalman 过滤的方法可以得到。Kalman 滤波的基本原理是运用连续的观察变量的时间序列来连续地修正非观察变量的值，从而可以对模型中的所有未知参数进行估计。用Kalman滤波来估计参数时，实证模型必须表示成状态空间模型形式：过渡方程（transition equation）和测量方程（ measurement equation）。通过三步迭代的过程最终得出结果

3.3 模型性能

模型性能的优劣是通过它能复制实际期限结构的好坏来评定的，这当然就需要有一个标准来评价性能。所以首先我们提出这些标准，再用这个标准比较测定模型性能。

3.3.1 性能标准

常用的两个标准是：均值定价误差（MPE）和均值平方根误差（RMSE）

:

其中，N是观测值的数量， 是模型估计价格，F（n,τ）是观测到的期货价格.MPE测量两者的基差,当性能优良时,估计值应等于零.RMSE计算方差来测量估计的稳定性。RMSE法要优于MPE法，因为MPE法下的价格错误有可能相互抵消，而使测量检验失真，RMSE法则不会存在这个问题。

3.3.2 实证结果

我们先描述了实证研究的一些特征。再分别介绍了单因素，双因素和三因素模型下的实证结果。

3.3.2.1 共同特征

期限结构模型存在两个共同特点。第一，参数会随着期限的不同而改变，所以参数必须按规律重新计算，可当其中的一期没有数值解的时候，以后的计算就会出现问题。第二，便利收益具有随机性，并用均值回复过程来刻画。它的调整速度是到期日的减函数。存货水平对于较长到期日的期货价格没有什么影响，但对于较短的到期日却影响很大，所以期限结构中的参数都依赖于到期日的变化。

3.3.2.2 单因素模型

实证研究表明单因素模型的效果较差，但也不能一概而论。Brennan(1991)的研究指出，贵金属的便利收益接近于零，工业用的原材料产品的便利收益为正值。他推断这是持有者的动机不同造成的，贵金属囤积起来并非主要用于生产过程的投入，而是用来投机，在这样的情况下，存储成本要大大小于存储价值。因此，便利收益对这类特殊产品所起的作用并不大，使用单因素模型分析是比较合适的。

施瓦茨证实了这一实证研究，它同时也证实了对于现货均值回复过程假设的有效性。他的研究表明，在原油和铜期货市场上，调整速度这个参数从统计上讲显著有效，当然工业用商品也满足这一特性，但是黄金就不适用了。

3.3.2.3 双因素模型

实证研究表明双因素模型要优于单因素模型。在所有的例子中由于引入了第二个状态变量，模型的解释力都增强了。验证表明便利收益的动态特性可以用均值回复过程来表示。其调整速度也明显不等于零。

表七给出了模型评价能力的一些值，这些值是用1998年到2001年原油期货市场上的一些数据测算的。结果表明测量效果不错，用均值MPE法测量每桶石油的价格时，只有六美分的误差。当合约到期日延长到七年，测量特性依然优良。就像图八中显示的那样，即使这几年实际价格波动很厉害（从11美元-37美元一桶），模型也能较为

精确的预测。

最终，模型也可以复制推演期货价格曲线随时间的衍化。如表九演示的在实际的纽约商品交易所中，期货合约到期日在1999年8月9日到1999年9月14日的六个不同期限结构的原油价格。在这一段时期内，曲线处于现货升水。同时，随着到期日的上升，现货升水的密集度也增加。

图十表明了模型复制这一实际变化的情况，它不仅能复制出实际的最高点值，还能描绘曲线的斜率。虽说估计的曲线表现的比实际的平滑规整了一点。

Lautier与Gralli的实证研究也表明：引入具有非对称性性质的便利收益能改善模型的性能。

所有的把便利收益作为第二变量的模型都证实了现货价格和便利收益之间存在着很高的相关性，大部分时间，相关系数的水平都保持在0.9.因此，有人对此变量的选择提出了质疑，认为它并不贴切。我们是这样来回答这一质疑的：因为短期和长期的偏差从价格的发展过程来看是互不相关的，这两个变量的相关系数较低的，据施瓦茨和史密斯测算，仅有0.189（短期数据）和0.3（长期数据）。这种不相关性考虑到了对每一个变量明显不同的影响。但是问题是，就像前文叙述的那样，既然它是很稳定的，用随机变量来刻画长期价格是很好的选择吗？

3.3.2.4 三因素模型

施瓦茨针对他的三因素模型在1997年给出了实际验证。提出的

一个问题就是这类模型的相关性问题。施瓦茨指出，在使用长期远期价格价格下，双因素模型和三因素模型非常近似的。这两个模型有很相似的波动率结构。尤其是在铜期货和原油期货市场上，这一结论也符合主成分分析法对于利率期限结构的研究。

4期限结构模型的应用

商品期限结构模型的两个重要应用就是套期保值和实物投资。他们多依赖对于不同到期日的各期货价格关系的分析。

4.1 动态套期保值策略

当忽略一个简单的无经验的套期保值策略时，单纯的套期保值策略指如果现货市场是空头，那么期货市场就做多，并满足同样的规模和到期日。但是这种策略有局限性，即当现有的标准期货合约交割期限短于远期合约要求的期限时，就会出现问题。

德国金属精炼和营销公司主营油品贸易，在1993年其与终端用户签订了大量的远期供货合同：在未来5年以固定价格向需求方供应油品，这个固定价格比合约协商时的现货价格高3-5美元/桶。MGRM在签订了1.6亿桶远期供货合同后，为了规避油价上涨的风险，决定才用期货和互换进行避险，在近月月份的合约上买入持有多头头寸，并不断的转期换月移仓。这种滚动换月移仓的操作要面临转期移仓的成本或者收益，近高远低的现货升水结构下会会产生额外的收益，而在近低远高的现货贴水结构下则将面临移仓亏损。从历史统计的情况看，原油期货市场现货升水与现货贴水的状况都有，更多的情况下是现货升水结构，按照概率平均的角度，公司的套保操作有合理的盈利

预期支持。实际发生的情况是，1993年年末，原油期货价格从19美元/桶跌到15美元/桶，而市场结构也进入现货贴水的状态。这样MGRM公司持有的多头头寸出现大量亏损，需要大量追加保证金，而且，现货贴水的正向市场结构又使得移仓换月时出现额外的亏损。尽管有远期供货合同的大量盈利，但是需要在交割时才会体现出来，期货上大量的亏损和资金压力导致控股股东德国金属公司的干预，MGRM将期货合约平仓，最终损失高达13亿美元。其后，1994年开始，原油期货价格又从13.90美元上涨到19.40美元，原油期货也回归到现货升水的市场结构。公司不合理的清盘计划导致放弃远期供货合同并支付大笔违约金，而实际上其初始锁定的盈利目标是完全可以实现的。

因为对于期货价格行为的假设前提各不相同，基于每个不同的期限结构模型的套期保值策略也大相径庭。但是总的来讲，这些策略都要优于上述这个例子中的表现。

这些套期保值模型具有共同的特征。套期保值问题总是利用期货价格和不同到期日合约的组合之间的关系经行建模处理。期货头寸的数量至少等于包含在模型中的潜在因子的数量。其次，为了最合适的对远期合约进行套期保值，每一个潜在因子对于现货价值合约的敏感性和组合对于合约的敏感性相同，因此，套期保值率就是相互联系的。第三，直到现在，由期货合约的各个到期日组成的套期保值组合都是任意选取的，就像再平衡组合的期限一样。最后，还没有对交易成本和金融成本对期货市场有何影响作出研究。

4.2 投资决定

期限结构模型的第二个重要应用就是依据此作出投资决定。使用期限结构模型来进行投资决定完全是凭直觉的。利用这样的模型，我们可以计算任何到期日的期货价格，及时到期日很久也可以。因此，模型就能用来给投资项目的净现金流估值。所有投资决定的设想都可以在实物期权的框架内来做，因为可以把商品看做是矿藏储备。实物期权和金融期权具有相似之处，它目的在于确认投资项目中大多数的可选择的部分，并评估它。理论相对于其他的评估方法，比如说净现值法的优势在于考虑了项目中的弹性。这一应用非常重要，尤其是像矿藏开采这样的大型的不可更改的投资项目中。这种理论可以确认不同系列的实物期权，并确认最重要的内含期权的投资项目。因此，这一期货的研究考虑不同的实物期权。

(60)所有对于投资决定的研究包含一些共同特征：首先，分析框架常常是十分简单的，因为期权的估值要比合约的估值复杂的多。因此，模型的建立者可用他们建立的模型来进行投资。其次，在这个领域很少做实证研究，主要是因为要分析的存续期超过交易所交易的到期时间，使得参数的估计相对复杂。

Brennan和施瓦茨于1985年首次利用期限结构模型进行投资决策。他们对一个矿藏的开采做了投资分析，首先假定这个矿藏储量和开采成本既定，利率非随机，并且有最大的出产率。矿场的关闭和开工取决于当前市场的价格，当然这也是最主要的不确定来源。而商品的价格变化过程我们可以用原先提到的期限结构模型来刻画。在这个框架内，我们考虑有关的几个实物期权：临时关闭矿场期权，放弃期

权，延迟投资期权。本文献提到最多的也是最简单的应该是延迟投资期权。它代表了在投资之前，收集有用信息的可能性。利用他们选择的模拟参数值，他们发现，在不确定的情况下关闭或放弃开采绝不是理想的选择，同时也显示了随着存储量的改变，期权的价值也在改变。

Cortazar和施瓦茨也用单因素模型计算了不同阶段矿区的价值，得出在投资之前，矿区价值的变化弹性在10%-40%之间，并且分时期权是现货结构的增函数和可测的开采时间的减函数。

同年施瓦茨指出了，铜矿的价值是如何随着选取的用于估值的期限结构模型的变化而变化。他仅仅考虑延迟期权，并能计算出理想投资点的触发价格。Smith和McCardle也提出了原油资产的模型，模型中的价格以及产出率都是随时间随机变化的，投资人可以依据此作出决策是否该结束还是加速开采额外的油井。并还可以对部分风险做套期保值。

施瓦茨和史密斯（2000）应用可长短期模型来假定实物期权问题。Cortazar，施瓦茨和Casassus把暴跌价格和地质技术的不确定性考虑进了单因素模型，并得到了一些实物期权的价值。

（61）因此在一开始，对于投资决策的研究就放在了一个十分理想的分析框架内：除了商品期货价格以外的所有事情都被认为是确定的。但以后，也考虑了其他不确定因素。例如在石油工业中，开采阶段面临着巨大风险，同时投资期内何时能够收回成本也必须考虑。在这样的情况下，假如可以以一种可靠地方法得矿区估值并能对相关的现金流做套期保值，那么投资人就可以用这部分确定收益做抵押从银

行筹集资金，而这在原来是做不到的。

5结论

最后一部分对20世纪九十年代和2000年早期的有关对商品期货的定价问题主要研究趋势做了总结。

第一点，通过考察期限结构模型的主要发展，可以确认商品期货有别于其他资产的一些特征。商品期货是以现货价格和期货价格之间的均值回复特征来刻画的。另外，由于期货和现货有形市场的套利关系存在限制，价格的波动性与现货升水的程度正相关，同时价格也有时寿季节因素的影响。最后，期限结构的特性可以用萨缪尔森效应来解释。

第二点，内含的状态变量的数量具有独立性，期限结构模型常常看做是一个局部均衡的框架，所以状态变量的选择从某种程度上讲具有任意性。当然这些变量的选择还是有传统理论依据的，比如说（正常现货升水以及存储理论）。进一步讲，模型中包含了现货价格，便利收益或长期价格等变量，这常常看做是更一般模型的简化形式，而这些变量都是外生的，由产量，消费以及存储等因素决定。当然直到现在，也没人证明便利收益和长期价格这两个变量到底哪一个更好一些。因为这两个不同模型的比较太难了，今后或许有可能在这一研究领域有所突破。

未来在期限结构研究上的突破可能会更加精确地对价格行为作出描述。因为目前，对于商品期货价格曲线尖顶峰度以及偏度为负的特性研究都忽略了。对这些情况的研究肯定会改善结构模型的性能，

当然也意味着更加复杂。

至于提到期限结构模型的应用，两方面进行了探索。在套期保值方面，为了更符合现实的需要，应当在构建套期保值组合以及重组时考虑交易成本的问题。同时，也需要对这些组合的风险进行量化，比如说引进Value at risk方法。在实物资产投资估值方面，需要在过程中考虑其他的不确定因素，因为原先的分析框架过于简单，只考虑了商品期货价格这一个主要的不确定因素。当然，任何相关的改进不能同时对一些期权的定价作出影响，一旦发生了，必须得作出选择。