历届数学高考试题精选

历届高考中的“等差数列”试题精选

1. (2007a n n S n a 2=1, a 3=3, 则S 4＝ （A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）6

2． (2008重庆文) 已知｛a n ｝为等差数列，a 2+a8=12,则a 5等于（ ）

(A)4 (B)5 (C)6 (D)7

3. （2006全国Ⅰ卷文）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7=35，则a 4=（ ）

A ．8 B．7 C．6 D．5

4．(2008广东文) 记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2=4，S 4=20，则该数列的公差d=（ ）

A．7 B. 6 C. 3 D. 2

5．（2003全国、天津文，辽宁、广东）等差数列{a n }中，已知a 1=

则n 为（ ）

（A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）51

13

a 2+a 5=4，a n =33，，

6. （2007四川文）等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（ ）

(A)9 (B)10 (C)11 (D)12

7．（2004福建文）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若

A ．1 B ．－1 C ．2 D ．

12

a 5a 3

=

59

, 则

S 9S 5

=（ ）

8. （2000春招北京、安徽文、理）已知等差数列{an }满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有( )

A ．α1＋α101＞0 B ．α2＋α100＜0 C ．α3＋α99＝0 D ．α51＝51 9. （2005全国卷II 理）如果a 1，a 2，„，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( ) （A ）a 1a 8>a 4a 5 （B ）a 8a 1a 4+a 5 （D ）a 1a 8=a 4a 5

10. （2002春招北京文、理）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和

为390，则这个数列有（ ）

（A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项

二、填空题：（每小题5分，计20分）

11（2001上海文）设数列{a n }的首项a 1=-7, 且满足a n +1=a n +2 (n ∈N ) ，则

a 1+a 2+ +a 17=_____________.

12．(2008海南、宁夏文) 已知{an }为等差数列，a 3 + a8 = 22，a 6 = 7，则a 5

13. （2007全国Ⅱ文）已知数列的通项a n = -5n +2,则其前n 项和为S n 14. （2006山东文）设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则S 9＝S 10-S 7=30，S 4＝14，

三、解答题：（15、16题各12分，其余题目各14分）

15．（2004全国Ⅰ卷文）等差数列{a n }的前n 项和记为S n . 已知a 10=30, a 20=50.

（Ⅰ）求通项a n ； （Ⅱ）若S n =242，求n.

16． (2008海南、宁夏理) 已知数列{a n }是一个等差数列，且a 2=1，a 5=-5。

（1）求{a n }的通项a n ；（2）求{a n }前n 项和S n 的最大值。

17. （2000全国、江西、天津文）设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7=7，

⎧S n ⎫

S 15=75，T n 为数列⎨的前n 项和，求T n 。

n ⎩⎭

18. （据2005春招北京理改编）已知{a n }是等差数列，a 1=2，a 3=18；{b n }也是等差数列，

a 2-b 2=4，b 1+b 2+b 3+b 4=a 1+a 2+a 3。 （1）求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n 的公式；

（2）数列{a n }与{b n }是否有相同的项？ 若有，在100以内有几个相同项？若没有，请说明理由。

19. （2006北京文）设等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都为整数，前n 项和为S n . (Ⅰ) 若a 11=0,S 14=98,求数列｛a n ｝的通项公式；

(Ⅱ) 若a 1≥6，a 11＞0，S 14≤77，求所有可能的数列｛a n ｝的通项公式.

20.(2006湖北理) 已知二次函数y =f (x ) 的图像经过坐标原点，其导函数为f (x ) =6x -2，

, () n n N ∈) 数列{a n }的前n 项和为S n ，点(nS

*

'

均在函数y =f (x ) 的图像上。 (Ⅰ) 求数列{a n }

m 20

的通项公式； (Ⅱ) 设b n =正整数m ；

3a n a n +1

, T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n

对所有n ∈N 都成立的最小

*

历届高考中的“等差数列”试题精选（自我测试）

参考答案

二、填空题：（每小题5分，计20分） 11. 153 12. __15__ 13.

-5n

2

-n

2

14. 54

三、解答题：（15、16题各12分，其余题目各14分）

15. 解：（Ⅰ）由a n =a 1+(n -1) d , a 10=30, a 20=50, 得方程组

⎧a 1+9d =30, ⎨ „„4分 解得a 1=12, d =2. 所以 a n =2n +10.

⎩a 1+19d =50.

（Ⅱ）由S n =na 1+ 12n +

n (n -1)

2

d , S n =242得方程

n (n -1)

2

⨯2=242. „„10分 解得n =11或n =-22(舍去).

⎧a 1+d =1

a 16．解：（Ⅰ）设{n }的公差为d ，由已知条件，得⎨，

a +4d =-5⎩1

解出a 1=3，d =-2．

所以a n =a 1+(n -1) d =-2n +5．

（Ⅱ）S n =na 1+

n (n -1) 2

d =-n +4n =4-(n -2) ．

2

2

所以n =2时，S n 取到最大值4．

17．解：设等差数列{a n }的公差为d ，则 S n =na 1+

12

n (n -1)d

∵ ∴

S 7=7

，S 15

=75

，

⎧a 1+3d =1 , ⎨

a +7d =5 , ⎩1

⎧7a 1+21d =7 ,

⎨

15a +105d =75 , 1⎩

即

解得 ∴

a 1=-2，d =1。

12

S n n

=a 1+

12

(n -1)d

=-2+

(n -1)，

∵

S n +1n +1

-

S n n

=

12

，

，

∴ 数列⎨ ∴ T n

=14

⎧S n ⎫1

⎬是等差数列，其首项为-2，公差为

2⎩n ⎭

n -

2

94

n

。

a 3-a 1

2

18. 解：（1）设{a n }的公差为d 1，{b n }的公差为d 2 由a 3=a 1+2d1得 d 1=

所以a n =2+8(n -1) =8n -6，

所以a 2=10, a 1+a2+a3=30

⎧b 1+d 2=6

⎧b 1=3⎪

依题意，得⎨解得， ⎨4⨯3

d 2=30⎩d 2=3⎪4b 1+2⎩

=8

所以b n =3+3(n-1)=3n

n (b +b ) 3231n

S ==n +n . n

222

（2）设a n =bm , 则8n-6=3m, 既n =

3(m +2)

8

①，要是①式对非零自然数m 、n 成立，只需

m+2=8k,k ∈N +, 所以m=8k-2 ，k ∈N +②

②代入①得，n=3k, k ∈N +, 所以a 3k =b8k-2=24k-6,对一切k ∈N +都成立。

所以，数列{a n }与{b n }有无数个相同的项。 令24k-6

5312

, 又k ∈N +，所以k=1,2,3,4.即100以内有4个相同项。

19. 解：（Ⅰ）由S 14=98得2a 1+13d =14, 又a 11=a 1+10d =0,

故解得d =－2, a 1=20.

因此，{a n }的通项公式是a n =22－2n , n =1,2,3„

⎧S 14≤77, ⎧2a 1+13d ≤11, ⎧2a 1+13d ≤11, ⎪⎪⎪

（Ⅱ）由⎨a 11〉0, 得⎨a 1+10d 〉0, 即⎨-2a 1-20d 〈0,

⎪a ≥6⎪a ≥6⎪-2a ≤-12

1⎩1⎩1⎩

11

由①+②得－7d ＜11。即d ＞－。

71

由①+③得13d ≤－1 即d ≤－

13

111

于是－＜d ≤－

713

又d ∈Z , 故d =－1

将④代入①②得10＜a 1≤12. 又a 1∈Z , 故a 1=11或a 1=12.

所以，所有可能的数列{a n }的通项公式是 a n =12-n 和a n =13-n , n =1,2,3,„

20．解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2, 得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2－2x.

又因为点(n , S n )(n ∈N *) 均在函数y =f (x ) 的图像上，所以S n ＝3n －2n.

2

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－[（3n -1) -2(n -1) ]＝6n －5.

2

当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n ∈N *）

11133

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知b n =＝＝(-，

26n -56n +1a n a n +1(6n -5) [6(n -1) -5]

1⎡1111111⎤

＝（1－）. (1-) +(-) +... +(-) ⎢⎥2⎣26n +177136n -56n +1⎦i =1

11m 1m

因此，要使（1－）

26n +120220

n

故T n ＝∑b i ＝

≥10，

所以满足要求的最小正整数m 为10.