6.1.1 单叶解析函数的映射性质
第六章 保形映射 第一节 单叶解析函数的映射性质 1、一般概念:
解析函数所确定的映射是保形映射。它是复变函数论中最重要的概念之一,与物理中的概念有密切的联系,而且对物理学中许多领域有重要的应用。
如应用保形映射成功地解决了流体力学与空气动力学、弹性力学、磁场、电场与热场理论以及其他方面的许多实际问题。不但如此,20世纪中亚音速及超音速飞机的研制促成了从保形映射理论到拟保形映射理论的发展。
我们主要研究单叶解析函数的映射性质。设函数w=f(z ) 在区域内解析,并且在任意不同点,函数所取的值不同。那么我们就称它为区域的单叶解析函数,简称即为单叶函数。 注解1、单叶函数是确定一个单射的解析函数。
例1、函数w =z +α及w =αz 是z 平面上的单叶解析函数它们把z 平面映射成w 平面,其中α是复常数,并且对于第二个映射α≠0。 例2、w =e z 在每个带形
a 内单叶解析,并且把这个带形映射成z 平面上除去从原点出发的一条射线而得的区域,,其中a 是任意实常数。
注解2、上面的例子把z 平面上的区域映射成w 平面上的区域。 引理1.1 设函数f (z ) 在z =z 0解析,并且w 0=f (z 0) 。设那么f (z ) -w 0在f ' (z 0) =f ' ' (z 0) =... =f (p -1) (z 0) =0, f (p ) (z 0) ≠0(p =1, 2, 3...) ,
z 0
有p 阶零点,并且对充分小的正数ρ,存在着一个正数μ,使得当
0
证明*:f (z ) -w 0在0有p 阶零点是显然的。由于f (z ) 不恒等于零,可以作出以0为心的开圆盘D :|z -z 0|
=D ⋃C 上解析,并且使得f (z ) -w 0及f’(z ) 除去z =z 0外在上无其他
z
z
零点。那么
min |f (z ) -w 0|=μ>0,
z ∈C
取w ,使0
f (z ) -w =(f (z ) -w 0) +(w 0-w ),
而当z ∈C 时
|f (z ) -w 0|≥μ>|w 0-w |>0,
可见f (z ) -w 及f (z ) -w 0在D 内的零点个数同为p (每个n 阶零点作n 个零点)。
最后只须证明f (z ) -w 在D 内的每个零点z 1都是一阶的。这是因为
w ≠w 0,所以z ≠z 0,而[f (z ) -w ]'
z ≠z 0
≠0。
定理1.1、设函数f (z ) 在区域D 内单叶解析,那么在D 内任一点,
f ' (z ) ≠0.
证明:反证之。假定z 0∈D , f ' (z 0) =0, ,那么由引理1.1,可得出与单叶相矛盾得结论。
注解1、如果一个函数在区域D 内单叶解析,那么它的导数在D 内任意一点不等于零;
注解2、反之,这个定理的逆定理不成立,例如w =e z 的导数在z 平面上任意一点不为零,而这个函数在整个z 平面上不是单叶的。 定理1.2设函数w=f(z ) 在z =z 0解析,并且f ' (z 0) ≠0,那么f (z ) 在z 0的一个邻域内单叶解析。
定理1.3设函数w=f(z ) 在区域D 内解析,并且不恒等于常数,那么
D 1=f (D ) 是一个区域,即f 确定从D 到D 1的一个满射。
证明*:先证明D 1是开集,即证明任一点w 0∈D 1是D 1的内点。设z 0∈D ,并且f (z 0) =w 0。由引理1.1,可以找到一个正数μ,使得对于任何满足|w 1-w 0|
|w -w 0|
其次我们证明D 1的连通性,即证明在D 1内任意不同两点w 1及w 2可以用在D 1的一条折线连接起来。我们有z 1, z 2∈D ,使得
f (z 1) =w 1, f (z 2) =w 2。由于D 是一个区域,在D 内有折线
z =z (t ) (a ≤t ≤b )
连接z 1及z 2,在这里z 1=z (a ), z 2=z (b ) 。函数w=f(z ) 把这条折线上每一条线段映射成D 1内一条光滑曲线,从而把这折线映射成D 1内连接w 1及
w 2的一条光滑曲线Γ:
w =f (z (t )) (a ≤t ≤b )
另一方面,由于Γ是D 1内的一个紧集,根据有限覆盖定理,它可以被
D 1内有限个开圆盘所覆盖,从而在D 1内可以作出连接w 1及w 2的折线Γ1。
注解:如果w=f(z ) 在区域D 内单叶解析,那么根据定理1.3,它把区
域D 双射成区域D 1=f (D ) 。于是f (z ) 有一个在D 1内确定的反函数
z =ϕ(w ) 。
定理1.4 最大模原理:
最大模原理及施瓦茨引理也是解析的基本性质之一,它在复变函数论中有大量应用。
定理1.5 如果函数w=f(z ) 在区域D 内解析,并且|f (z )|在D 内某点达到最大值,那么f (z ) 在D 内恒等于常数。
证明:由定理1.3,假定f (z ) 在D 内不恒等于常数,那么D 1=f (D ) 是一个区域。设|f (z )|在z 0∈D 达到最大值。显然,w 0=f (z 0) ∈D 1,而且w 0必有一个充分小的邻域包含在D 1内。于是在这个邻域内可以找到一点w' 满足|w ' |>|w 0|。从而在D 内有一点z' 满足w'=f(z' ) 以及|f (z ) |>|f (z 0) |,这与所设矛盾。因此f (z ) 在D 内恒等于常数。
注解1、此定理表明,在一个区域内不恒等于常数的解析函数,其模不可能在这个区域内达到最大值;
注解2、此定理的结论具有非常明确的物理意义。
系1.1设D 是一个有界区域,其边界为有限条简单闭曲线C 。设f (z ) 在D 及其边界组成的闭区域上连续,在D 内解析,并且不恒等于常数。设M 是|f (z )|在上的最大值,即f (z ) 在上的最大模,那么f (z ) 在边界C 上而且只在边界C 上达到最大模。
证明:显然。
定理1.6 设函数f (z ) 在区域D 内单叶解析,并且D 1=f (D ) ,那么w=f(z ) 有一个在D 1内单叶解析的反函数z =ϕ(w ) ,并且如果w 0∈D 1, z 0=ϕ(w 0) ,那么
ϕ' (w 0) =
1
. f ' (z 0)
证明:先证明z =ϕ(w ) 在D 1内任一点连续。由引理1.1,任给ε>0,选取这一引理结论中的正数ρ及μ,使得ρ
|ϕ(w ) -ϕ(w 0) |
因此z =ϕ(w ) 在D 1内任一点连续。
下面证明导数公式成立。当w ∈D 1,并且z =ϕ(w ) 时,我们有
z ∈D , z ≠z 0。于是
ϕ(w ) -ϕ(w 0)
w -w 0
=
z -z 0w -w 0
=, w -w 0z -z 0
因为当w →w 0时,z =ϕ(w ) →z 0=ϕ(z 0) ,所以
w →w 0
lim
ϕ(w ) -ϕ(w 0)
w -w 0
w -w 0⎫
⎪== lim
z →z 0z -z ⎪0⎭⎝⎛f (z ) -f (z 0) ⎫1
⎪lim =, z →z 0⎪z -z 0⎝⎭f ' (z 0)
即定理的结论成立。