2016惠州二模数学

惠州市2016届高三第二次调研考试 数学（理科）

第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

x

（1）设集合A =x |2≤4，集合B ={x |y =lg(x -1) }，则A B 等于( )

{}

（A ）(1,2) （B ） (1,2] （C ） [1,2) （D ） [1,2]

（2）在复平面内，复数（A ）第一象限

1

+i 所对应的点位于( ) 1+i

（B ）第二象限

（C ）第三象限

（D ）第四象限

x 2y 2

（3）已知双曲线2-2=1的一条渐近线为y =2x ，则双曲线的离心率等于( )

a b

（A

（B ）2

（C

（D

（4）已知两个非零单位向量e 1, e 2的夹角为θ，则下列结论不正确的是( ) ．．．

2 2

（A ）e 1在e 2方向上的投影为cos θ （B ）e 1=e 2

（C ）e 1+e 2⊥e 1-e 2 （D ）e 1⋅e 2=1

()()

主视图

（5）一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示， 则该三棱锥的外接球表面积( ) （A ）29π （B ）30π （C ）

侧视图

29π

（D ）216π 2

（6）惠州市某机构对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45)岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如右图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是( ) （A ）31.6岁 （B ）32.6岁 （C ）33.6岁 （D ）36.6岁

（7）函数f (x )=A sin (ωx +ϕ)（其中A >0, ϕ

π

2

）的图像如图所示，为了得到

π⎫⎛

g (x )=cos 2x -⎪的图像，只需将f (x ) 的图像( )

2⎭⎝

π7π

x

（D ）

40000大的偶数有( ) D ）72个

( )

（A ）⎢2, ⎥ （B ）⎢, ⎥ （C ）⎢, ⎥ （D ）⎢, 2⎥

242524（11）由等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x +a 4=(x +1) 4+b 1(x +1) 3+b 2(x +1) 2+b 3(x +1) +b 4, 定义映射f (a 1, a 2, a 3, a 4) →b 1+b 2+b 3+b 4，则f (4, 3, 2, 1) →( ) （A ）0 （B ）10 （C ）15 （D ）16

（12）如图，正五边形ABCDE 的边长为2，甲同学在∆ABC 中用余弦定理解得AC =Rt ∆ACH 中解得

⎡5⎤⎣⎦⎡55⎤

⎣⎦⎡45⎤

⎣⎦⎡5

⎣⎤⎦

E

AC =

1

，据此可得cos 72的值所在区间为( )

cos 72

（A ）(0.1,0.2) （B ）(0.2,0.3) （C ）(0.3,0.4) （D ）(0.4,0.5)

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）曲线y =x 2与直线y =x 所围成的封闭图形的面积为． （14）在∆ABC 中，设角A , B , C 的对边分别是a , b , c ，

且∠C =60︒

，c =

=．

（15）如图所示程序框图，输出的结果是 ．

22

p 为常数，n ≥2, n ∈N *) ，（16）若数列{a n }满足a n -a n -1=p (

则称数列{a n }为等方差数列，p 为公方差，已知正数等方差数列{a n }的首项a 1=1，且a 1，a 2，a 5成等比数列，a 1≠a 2，设集合

⎧⎫111⎪⎪

A =⎨T n T n =++ +,1≤n ≤100, n ∈N *⎬，取A 的非空子集

a 1+a 2a 2+a 3a n +a n +1⎪⎪⎩⎭B ，若B 的元素都是整数，则B 为“完美子集”，那么集合A 中的完美子集的个数

为 ．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

已知{a n }是公差为2的等差数列，且a 3+1是a 1+1与a 7+1的等比中项． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；

（Ⅱ）令b n =a 2n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．

某工厂生产甲、乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如下：

（Ⅱ）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片

乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损

10元．在（Ⅰ）的前提下，记X 为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X 的概率分布列和数学期望值．

（19）（本小题满分12分）

如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．AB ∥CD ，

AB ⊥BC ，EA ⊥EB ，AB =2CD =2BC ．

（Ⅰ）求证：AB ⊥DE ；

（Ⅱ）求二面角C -DE -A 余弦值．

C

已知椭圆C

的中心在坐标原点，离心率e =点重合．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）过点S -,0⎪的动直线l 交椭圆C 于A , B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一

个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．

（21）（本小题满分12分）

已知函数f (x )=-x +2ln x ．

2

12，且其中一个焦点与抛物线y =x 的焦

42

⎛1

⎝3⎫⎭

（Ⅰ）求函数f (x )的最大值； （Ⅱ）若函数f (x )与g (x )=x +

①求实数a 的值；

②若对于∀x 1, x 2∈⎢,3⎥（e 为自然对数的底数），

a

有相同极值点． x

⎡1⎤⎣e ⎦

不等式

f (x 1)-g (x 2)

≤1恒成立，求实数k 的取值范围．

k -1

请考生在第22、23、24题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

∠ABC =90，如图，在∆ABC 中，以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ，点D 是BC

边的中点，连接OD 交圆O 于点M ． （Ⅰ）求证：DE 是圆O 的切线；

（Ⅱ）求证：DE ⋅BC =DM ⋅AC +DM ⋅AB ．

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

O

1⎧

x =2+t ⎪2⎪

在平面直角坐标系xOy 中，直线l

的参数方程⎨（t 为参数），以坐标原点为极

⎪y =⎪⎩2

点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：ρ=4cos θ． （Ⅰ）求直线l 的极坐标方程；

（Ⅱ）求直线l 与曲线C 交点的极坐标(ρ>0,0≤θ

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数f (x ) =2x -a +2x +(a >0) ，g (x ) =x +2． （Ⅰ）当a =1时，求不等式f (x ) ≤g (x ) 的解集； （Ⅱ）若f (x ) ≥g (x ) 恒成立，求实数a 的取值范围．