一类两种群竞争模型的定性分析_张洪德

第19卷第2期 四川师范学院学报(自然科学版) 1998年6月 Vol. 19, No. 2 Journal of Sichuan T eachers College(Natural Science) Jun 1998

一类两种群竞争模型的定性分析

THE QUANTITATIVE ANALYSIS OF COMPETITIVE

MO DELS O F ONE CLASS TWO SPECIES

张洪德

Zhang Hongde 冯久霞

Feng Jiux ia 梁 平

Liang Ping

(四川师范学院数学系, 南充 637002)

(Dept. of M athematics, Sichuan Teachers College, Nanchong 637002)

摘 要 对两种群竞争模型 x =x ( -bx -cy-kx y) x f 1(x, y) ,

增

在第一象限内不存在极限环. y =y(e-fx -gy-lx y) yf 2(x, y) 的平衡点的全局稳定性和极限环的存在性作定性研究, 得到了正平衡点全局稳定的充分条件, 证明了该系统

关键词 种群竞争, 全局稳定性, 极限环, 模型.

中图分类号 Q141

ABSTRAC T T his paper is devoted to the quantitative study of two species competitive models

x =x ( -bx -cy-kx y) x f 1(x, y) ,

y =y(e-fx -gy-lx y) yf 2(x, y)

for the global stability of t he equilibrum point and the ex istence of limit cycle, and sufficient conditio ns for the global stability of positive equilibrum point are obtained. T he paper has also demo nstr ated that there is no ex istence o f limit cycle for the system in the first quadrant.

KEY WORDS species competition, global stability, limit cycle, model.

Ayala 对伪酱油果蝇和锯形果蝇的培养数据表明x =0和 y =0的曲线图形不是图1中的相交直线, 而是如图2中的相交曲线, 因而两种群间竞争的Lotka -Volterra 模型应当修正为模型(1) [1, 2]. x =x ( -bx -cy -kxy ) xf 1(x , y ) ,

y =y (e-f x -gy mu -lx y ) yf 2(x , y ) .

Rosenzw eig -Macarthur 年提出较为广泛的模型

x =f (x ) - (x , y ) ,

y =-e y +k (x , y ). (1) (2)

第19卷第2期 张洪德等:一类两种群竞争模型的定性分析157

图

1图2更为一般的两种群竞争模型可用Kolmogonov 模型描述

x =x F 1(x , y ) ,

y =yF 2(x , y ).

是, 种内增长调节作用的积大于种间增长调节作用的积. 即

F 1 F 2 F 1 F 2 > . 这里微分是在平衡点求值. 本文主要研究由方程式(1) 所确定的两种群的竞争系统. 其中

s ! i (x , y ) |x >0, y >0. 所有的常数均为正存在. 以下记D =(x , y ) |x 0, y 0, D 0=

模型(1) 在D 的边界上有3个平衡点A 1(0, 0) , A 2(0, e/g ) , A 3(a /b, 0) . 对于A 1, 其特(3) Gilpin 及Justice(1972) 未加证明地叙述: 竞争性平衡稳定性的一种必要和足够的条件征值为 1=a >0, 2=e >0, 故A 1是不稳定的结点; 对于A 2, 其线性近似方程组为

(4) y =-(e/g) (f +el /g) x -ey.

故当ga -ec >0时, A 为鞍点, 当ag -ec 0时, A 3是鞍点, 当be -f a

定理1 模型(1) 在区域D 0内无极限环存在.

证明 取Dulac 函数B(x , y ) =x y , 则B(x , y ) 在D 0内可微, 于是

[B (x , y ) xf 1(x , y ) ]+[B (x , y ) yf 2(x , y ) ]=(

1/y ) (-b -ky ) +(1/x ) (-g -lx )

=-(k +l) -((b/y ) +g /x )

定理2 设模型(1) 在D 0内只有唯一的平衡点

A 4(x 0, y 0) , 则(x 0, y 0) 为全局稳定的充要条件是(x 0, y 0)

是局部渐近稳定的.

证明 考虑由任何初值x 1>0, y 1>0出发的轨线. 今

(自e 取M >m x 0, x 1, /b , N >y 0, y 1, e/f 则有

f 1(M , y ) 0, y >0) .

记G 为以4点(0, 0) , (M , 0) , (M , N ) , (0, N ) 为顶点

-1-1x =( -ce/g ) x ,

158 四川师范学院学报(自然科学版) 1998年所构成的矩形区域, 于是从(x 1, y 1) 出发的轨线将保留在G 内, 由定理1可知G 内无极限环, 而G 内的唯一平衡点(x 0, y 0) 是局部渐近稳定的, 所以在G 内任意一点(x 1, y 1) 出发的轨线将趋于(x 0, y 0) , 见图3. 从而(x 0, y 0) 是全局稳定的.

下面进一步讨论正平衡点(x 0, y 0) 的稳定性, 我们将证明竞争种群平衡稳定性的条件是:种内增长调节作用的积大于种间增长调节作用的积.

定理3 两种群竞争模型(1) 为全局稳定的充分条件是

(i) 有唯一的一个正平衡位置(x 0, y 0) ;

(ii) (b +ky 0) (g +lx 0) -(c +kx 0) (f +ly 0) >0.

证明 今构造Liapunov 函数

V(x , y ) =C 1(x -x 0-x 0ln (x /x 0) ) +C 2(y -y 0-y 0ln (y /y 0) ) .

此地C 1, C 2为待定正常数.

由中值定理

f 1(x , y ) =f 1x (x 0+ 1 x , y 0+ 1 y ) (x -x 0) +f 1y (x 0+ 1 x , y 0+ 1 y ) (y -y 0) . f 2(x , y ) =f 2x (x 0+ 2 x , y 0+ 2 y ) (x -x 0) +f 2y (x 0+ 2 x , y 0+ 2 y ) (y -y 0) .

其中 x =x -x 0, y =y -y 0; | 1|

A i 1(x , y ) =f ix (x 0+ i x , y 0+ i y ).

A i 2(x , y ) =f iy (x 0+ i x , y 0+ i y ) .

于是, 沿着方程组(1) 的解有

=C 1(1-x 0/x ) xf 1(x , y ) +C 2(1-y 0/y ) yf 2(x , y ) d t

=C 1(x -x 0) f 1(x , y ) +C 2(y -y 0) f 2(x , y )

=C 1A 11(x , y ) (x -x 0) 2+(C 1A 12(x , y ) +C 2A 21(x , y ) ) (x -x 0) (y -y 0)

+C 2A 22(x , y ) (y -y 0) 2.

适当选取C 1, C 2使C 1(C +kx 0) =C 2(f +ly 0) , 于是

4C 1C 2[(b +ky 0) (g +lx 0) -(c +kx 0) (f +ly 0) ]-[C 1(C +kx 0) -C 2(f +ly 0) ]>0. 由于x 0>0, y 0>0, 可知存在R >0, 使得圆

(x -x 0) +(y -y 0) R

含于D 0内, 且在这个圆内成立以下的不等式

4C 1C 2[(b +ky ) (g +lx ) -(c +kx ) (f +ly ) ]-[C 1(c +kx ) -C 2(f +ly ) ]>0. 由此容易验证矩阵2 A (x , y ) =98(C 1A 11(x , y ) (1/2) [C 1A 12(x , y ) +C 2A 21(x , y ) ](1/2) [C 1A 12(x , y ) +C 2A 21(x , y ) ] C 2A 22(x , y ) 222

在圆(x -x 0) 2+(y -y 0) 2 R 2内负定, 从而当(x , y ) (x 0, y 0) 时

=(x -x 0, y -y 0) A (x -x 0, y -y 0) T

由此可见模型(1) 在圆(x -x 0) 2+(y -y 0) 2 R 2渐近稳定, 这就证明了在条件(i) , (ii) 下, 正平衡点(x 0, y 0) 是局部渐近稳定的. 再结合定理2便可知本定理成立.

第19卷第2期 张洪德等:一类两种群竞争模型的定性分析

x =x ( -bx -cy ) ,

y =y (e -f x -gy )

有唯一的正平衡点(x 0, y 0) , 则全局稳定的充分条件是bg -f c >0.

对于一般的竞争系统(3) , 在适当的条件下, 完全仿照上面的方法, 可以证明在条件

F 1 F 2 F 1 F 2 > (这里微分是在平衡点求值) 下, 竞争模型(3) 是稳定的.

参考文献159G (5)

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(上接第151页)

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