对一节课数学本质的认识过程

对一节课数学本质的认识过程

安慧北里中学 曹建霞

义务教育阶段的数学课程的基本理念之一是“人人学有价值的数学”，要求通过义务教育阶段的数学学习，学生能够初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识．要在课堂教学中体现这一理念实现这一教学目标，教师必须挖掘出每节课所教内容的数学本质，精心设计数学活动，帮助学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，提高数学思维能力．下面以人教版九年级上册数学中的一节课——24.4.1弧长和扇形面积为例，谈谈如何把握一节课的数学本质．

一、充分挖掘数学思想是认识数学本质的关键

2008年10月13日，我有幸听了外校一位青年教师上的“弧长和扇形面积”的研究课，当时我还没上这节课，于是边听边思考，加上课后几位老师的及时评析，形成了我对这节课的初步认识：应该让学生自己探究，推导公式，这样学生才能真正理解和掌握公式．学生探究不能是教师牵着学生的思维走，而是亲身经历思考、探求结果的全过程，是自主学习不是被动接受，这样学生获得的不止是两个公式，至少还有公式的推导方法．回到家后，我认真地读了教参，脑子里有了大体的教学思路：问题引入——探索公式——记忆公式——应用公式．

几天后，我不自觉地把这节课和数学思想教学联系了起来．数学知识本身是非常重要的，但它并不是唯一的决定因素，真正对学生以后的学习、生活和工作长期起作用，并使其终生受益的是数学思想方法． 那么“弧长和扇形面积”这一数学知识中蕴涵了什么数学思想呢？怎样让学生在学习新知的过程中体会到知识中蕴涵的数学思想呢？于是我开始了更深的思考，哪些地方用到了数学思想？用到了什么数学思想？

公式的推导过程需要把圆周看作是360°的圆心角所对的弧长，进而得出

1，因此n °圆心角所对弧长为1°圆心角360

n πR 所对弧长的n 倍，得到弧长的计算公式l =．这个过程是从特殊到一般，再1801°的圆心角所对的弧长是圆周长的

到特殊的过程．再如，类比研究弧长计算公式的方法，很容易得出扇形面积的计

算公式，观察扇形面积的另一个计算公式S

来记忆． 1lR ，可类比着三角形的面积公式2

除了上面的数学思想有体现，处处都有数形结合的思想，还有联系的观点（即转化），这可能就是最致命的，如果学生能由问题自觉地联系到小学学过的圆周长和圆面积，他能很快地得出弧长的计算公式，最快地不到1分钟．体现联系的还有扇形面积的第2个计算公式，如果不去寻求扇形面积与弧长两者的联系，自然无法得到这个公式．再有数学与实际生活的紧密联系，这节课也有突出的体现．在应用公式求弧长、圆心角、半径、扇形面积中的任意一个量时，自然就是解方程了．以上是我所发现的隐含于知识背后的一些数学思想，决定在实际教学中尝试渗透．至此，我对这节课的教学目标更明确了，教学思路也更清晰了．

二、经历知识的形成发展过程，有利于发现数学的本质

11月14日，我进行了课堂教学实践，与前面听的研究课不同的是公式的推导过程，那位老师是设置了问题串:圆心角是360°的扇形面积是多少？圆心角是180°的扇形面积是多少？圆心角是90°的扇形面积是多少？圆心角是270°的扇形面积是多少？圆心角是1°的扇形面积是多少？圆心角为n °的扇形面积是多少? 在教师的引导下学生依次回答问题，再归纳出扇形的面积公式．

考虑到九年级学生的学习基础和认知能力，我准备给学生充分的探究空间．直接由实际问题引出这节课要学习的内容，即在半径为R 的圆中，怎样计算n °圆心角所对的弧长？学生明确任务后开始自主探究．学生的想法与书上的不同，他们多是直接寻求已知（圆周长）与未知（n °圆心角所对的弧长）的联系，具体方法是用n 去除360，看这条弧把圆周分成了几份，再用圆周长除以份数，得出每一份的弧长．还有一种想法是看这条弧占整个圆周的几分之几，再用这个分数乘以圆的周长．

教学进行到此，我很欣慰．公式是学生自己发现推导出来的，最快的只用了1分钟，最差的同学也经历了完整的探索过程，并在与同学的交流中明白了公式的来龙去脉．遗憾的是没有一个同学想到把整个圆周分成360等份，先得到1°的圆心角所对的弧长，再乘以n ．面临这样的情境，我来不及多想，在学生展示研究成果后，我把书上的推导方法（一相情愿）讲给学生听．在小结时，我引导学生归纳解决问题时用到的重要想法（数学思想），提炼出这节课涉及的数学思

想．

总体来看，这节课很顺畅，也比较成功，课后我及时写下了教学心得：从实际教学效果看，我觉得很满意；从学生推导公式用的方法看，我觉得有些意外，特别是没有人用书上的方法；但从数学本质看，这节课学生的数学思维是否得到了锻炼？思维能力是否有提高？怎样设计教学活动能让学生想到书上的推导方法？如果回答是否定的话，这节数学课一定算不上成功．

三、数学本质的东西是对学生有用的

2009年1月16日，在与专家和教研员进行教学研讨时又提及这节课．我把之前对这节课的认识都说了一遍，还说出了自己对这节课的一点儿疑问：为什么学生想不到把圆周360等分，先求出1°的圆心角所对的弧长呢？既然学生都想不到这种方法，为什么选择这种方法写在书上而不是别的？专家及时点拨，由180°、90°、60°、到1°再到n °是由具体到抽象、归纳的方法，而等分圆周360份，得到1°的圆心角所对的弧长，就等于知道了任意角度圆心角所对的弧长，这是数学上的理性思维．接下来教研员也帮我拨开迷雾，说这节课其实是要解决这样一个简单的问题：买东西，知道20斤的价钱，求买7斤需付多少钱．简短的几句话，深入浅出，让我茅塞顿开，同时也陷入了思考，这节课的数学本质是什么？公式？公式的推导？还是其中蕴涵的数学思想？

我打开这节课的录象，仔细看了每个环节，每个画面，不再有刚上完课的成就感，其实有不少遗憾．什么对学生最有用？上数学课的最终目的是什么？我想应该是面临问题时能够理性地分析、数学地思考，每一节数学课上学到的东西在日后的学习和生活中有用、会用．

四、把握数学本质才能在课堂上体现知识的数学价值

对这节课的思考还没有停止，既要学生自主获得公式，还要在新知的学习过程中培养学生的数学思维能力，设置相应的数学探究活动是必要的，但探究的目的不应只是获得新知，还要引导学生在探究的过程中学会数学思考、发展数学思维．对这节课来说，如果学生探究得到公式却没有用书上的方法或数学特有的方法，教师应创设情境，组织学生继续探究，必要时，教师可给出相关问题引导，如已知购买40斤东西用了100元，请问买6斤需多少钱？你有几种方法求解？对计算n °圆心角所对的弧长有什么启示？这样学生自然能想到书上的方法，同

时也体验了数学的广泛性、实用性．从而在数学课堂上真正实现三维教学目标，特别是改变了学生对数学的情感、态度和价值观．在课堂上具体落实新课标的各项教学要求．

我再一次确信每个数学知识都是有价值的，发现了知识的数学价值，才能教给学生有用的数学．要认识到数学内容的本质，除了刻苦钻研、实践探索，专家的指点是最直接有效的．专家为何能一语道破，我想是专家比我们思考的多、想的深吧．为了能快而准地把握一节课的数学本质，我相信“量变会带来质变”，对每一个教学内容多研究、深挖掘，实践后有反思、有交流，一定能提高自身的专业素质和教学水平，提高学生的数学思维能力．

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制订. 数学课程标准. 北京师范大学出版社.2001

[2]课程教材研究所 中学数学课程教材研究开发中心. 义务教育课程标准实验教科书数学九年级上册教师教学用书. 人民教育出版社.2007