图形变换与四边形
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
复习九 图形的变换与四边形
二. 教学目标：
1、掌握平移、旋转、对称的性质，灵活地运用平移、旋转、对称解决生活中的问题。 2、掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形的定义、判定、性质，利用这些特殊四边形进行综合计算和证明。
三. 教学重点与难点：特殊四边形的综合应用
［课堂教学］ （一）知识要点
知识点1：图形的变换与镶嵌
知识点2：四边形的定义、判定及性质
知识点3：矩形、菱形及正方形的判定
知识点4：矩形、菱形及正方形的性质
知识点5：梯形的判定及性质
【典型例题】
例1. 如图，四个图形中，对称轴条数最多的一个图形是（ ）
【评析】本题所考查的是对称轴的概念．应对给出的图形认真分析．从题目中所给的四个图形来看，图A 有2条对称轴；图B 有4条对称轴；图C 不是轴对称图形，•它没有对称轴；图D 只有一条对称轴，所以图B 的对称轴条数最多．
例2. 如图是某设计师设计的方桌布图案的一部分，•请你运用旋转变换的方法，在坐标系上将该图形绕原点顺时针依次旋转90°、180°、270°，并画出它在各象限内的图形，你会得到一个美丽的平面图形，你来试一试吧！但是涂阴影时要注意利用旋转变换的特点，不要涂错了位置，否则不会出现理想的效果．
【分析】先确定每个三角形的顶点绕原点顺时针依次旋转90°、180°、270°后的位置，然后连线，涂上相应的阴影即可． 【解析】所画的图形如图所示．
例3. 在日常生活中，观察各种建筑物的地板，•就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在平面几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．
（1）请根据图，填写下表中的空格：
（2
（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再从其他正多边形中选一种，•请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形；•并探究这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．
(n -2) ⨯180
n 【解析】（
1）．（2）正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形．（3）
如：正方形和正八边形如图．设在一个顶点周围有n 个正方形的角，n 个正八边形的角，
则m 、n •应是方程m ²90°＋n ²135°＝360°的正整数解．即2m ＋3n ＝8的正整数解，•
⎧m =1⎨
这个方程的正整数解只有⎩n =2一组，又如正三角形和正十二边形，同样可求出利用一个
正三角形，两个正十二边形也可以镶嵌成平面图形，所以符合条件的图形有2种．
例4. 如图，在ABCD 中，E 为CD 的中点，连结AE 并延长交BC 的延长线于点F ，求证：S △ABF ＝S 平行四边形ABCD.
【解析】∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ． ∵E 是DC 的中点，∴DE ＝CE ． ∴△AED ≌△FEC ． ∴S △AED ＝S △FEC ．
∴S △ABF ＝S 四边形ABCE ＋S △CEF ＝S 四边形ABCE ＋S △AED ＝S 平行四边形ABCD
例5. 如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F •是对角线AC 上的两点，当E 、F 满足下列哪个条件时，四边形DEBF 不一定是平行四边形（ ）
A. OE＝OF B. DE＝BF C. ∠ADE ＝∠CBF D. ∠ABE ＝∠CDF
【分析】虽然判别平行四边形可从“边、角、对角线”三个角度来考虑，但此例图中已有对角线，所以最适当的方法应是“对角线互相平分的四边形为平行四边形”．
例6. 如图，在ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，△AOB •的周长为15，AB ＝6，那么对角线AC ＋BD ＝_______．
【分析】本例解题依据是：平行四边形的对角线互相平分，先求出AO ＋BO ＝9，•再求得AC ＋BD ＝18．
例7. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°，DE •垂直平分BC ，垂足为D ，交AB 于点E ，又点F 在DE 的延长线上，且AF ＝CE ．求证：四边形ACEF 为菱形．
【分析】欲证四边形ACEF 为菱形，可先证四边形ACEF 为平行四边形，然后再证ACEF 为菱形，当然，也可证四条边相等，直接证四边形为菱形．
例8. 如图，在ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ．
（1）求证：△ADE ≌△CBF ；
（2）若四边形BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．
【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴∠1＝∠C ，AD ＝CB ，AB ＝CD. ∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，
11
∴AE ＝2AB ，CF ＝2CD.
∴AE ＝CF ．
∴△ADE ≌△CBF ．
（2）当四边形BEDF 是菱形时，四边形AGBD 是矩形． ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC. ∵AG ∥BD ，
∴四边形AGBD 是平行四边形． ∵四边形BEDF 是菱形， ∴DE ＝BE ． ∵AE ＝BE ，
∴AE ＝BE ＝DE ．
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°， ∴2∠2＋2∠3＝180°．
∴∠2＋∠3＝90°． 即∠ADB ＝90°，
∴四边形AGBD 是矩形．
例9. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝
BC ＝6，沿EF 折叠后，点C 落在AB 边上的点P 处，点D 落在点Q 处，AD 与PQ 相交于点H ，∠BPE ＝30°． （1）求BE 、QF 的长．（2）求四边形PEFH 的面积．
【分析】折叠型试题是近年中考试题的热点，要想解好此类题，考生必须有想像力，抓住折叠的角与边不发生变化，必要时需要考生剪一个四边形实际折叠一下帮助理解．
例10. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝DC ，E 为底边BC 的中点，且DE ∥AB ，试判断△ADE 的形状，并给出证明．
【解析】△ADE 是等边三角形．
理由如下：∵AB ＝CD ，∴梯形ABCD 为等腰梯形， ∵∠B ＝∠C.
∴E 为BC 的中点， ∵BE ＝CE ．
在△ABE 和△DCE 中，
⎧AB =DC , ⎪
⎨∠B =∠C , ⎪BE =CE ∵⎩∴△ABE ≌△DCE ．
∵AE ＝DE ． ∵AD ∥BC ，DE ∥AB ， ∴四边形ABED 为平行四边形． ∴AB ＝DE
∵AB ＝AD ， ∴AD ＝AE ＝DE ． ∴△ADE 为等边三角形．
【模拟试题】
一、选择题
1. 将叶片图案旋转180°后，得到的图形是（ ）
2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
3. 下图是用12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，•这个图形中等腰梯形的上底长与下底长的比是（ ）
A. 1：2 B. 2：1 C. 3：1 D. 1：3
4. 张明同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，在这四种瓷砖图案中，不能铺满地面的是（ ）
5. 如图，一块含有30°角的直角三角板ABC ，在水平桌面上绕点C 按顺时针方向旋转到A ′B ′C 的位置．若BC 的长为15cm ，那么顶点A •从开始到结束所经过的路径长为（ ）
πcm B. 10πcm C. 15πcm D. 20πcm
6. 如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，AD ＝BC ，若用剪刀沿AD 剪开，•则最多能拼出不同形状的四边形的个数是（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
7. 如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30•°到正方形AB ′C ′D ′，图中阴影部分的面积为（ ）
1A. 2
B. C. 1
－ D. 1
－
8. 将一矩形纸片按如图方式折叠，BC 、BD 为折痕，折叠后A •′B 与E ′B 在同一条直线上，则∠CBD 的度数（ ）
A. 大于90° B. 等于90° C. 小于90° D. 不能确定
9. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝2，AB ＝3，BC ＝6，沿AE •翻折梯形ABCD ，
DF
使点B 落在AD 的延长线上，记为B ′，连结B ′E 交CD 于F ，则FC 的值为（ ）
1111
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
10. 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC 、BD 相交于O ，下面四个结论：
S ∆DOC DC
=S AB ；④S △AOD ＝S △BOC ，其中 ①△AOB ∽△COD ； ②△AOD ∽△BOC ； ③∆BOA
结论始终正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题
1. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，要使四边形ABCD 为平行四边形，则应添加的条件是_____________（添加一个条件即可）．
2. 如图，将边长为8cm 的正方形ABCD 的四边沿直线l 向右滚动（不滑动），当正方形滚动两周时，正方形的顶点A 所经过的路线的长是________cm．
3. 用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形；一定可以拼成的是________（只填序号）．
4. 如图，先将一矩形ABCD 置于直角坐标系中，使点A 与坐标系的原点重合，边AB 、AD 分别落在x 轴、y 轴上（如图①所示），•再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如图②所示），若AB ＝4，BC ＝3，则图①和图②中，点B 的坐标为 ________，点C 的坐标为______．
5. 如图，在梯形ABCD 中，∠DCB ＝90°，AB ∥CD ，AB ＝25，BC ＝24. 将该梯形折叠，点A 恰好与点D 重合，BE 为折痕，那么AD 的长度为_______．
三、解答题
1. 在下图的方格纸中有一个Rt △ABC （A 、B 、C 三点均为格点），∠C ＝90°． （1）请你画出将Rt △ABC 绕点C 顺时针旋转90°后所得到的Rt △A ′B ′C. 其中A 、B 的对应点分别是A ′，B ′（不必写画法）；
（2）设（1）中AB 的延长线与A ′B ′相交于D 点，方格纸中每一个小正方形的边长为1，试求BD 的长（精确到0.1）．
2. 在AB ＝30m ，AD ＝20m 的矩形ABCD 的花坛四周修筑小路． （1）如果四周的小路的宽均相等，如图（1），那么小路四周所围成的矩形A ′B •′C ′D ′和矩形ABCD 相似吗？请说明理由．
（2）如果相对着的两条小路的宽均相等，如图（2），试问小路的宽x 与y 的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD 相似？请说明理由．
3. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ＝AD ，∠ADC ＝120°． 求证：（1）BD ⊥DC ；（2）若AB ＝4，求梯形ABCD 的面积．
4. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，∠B ＝60°，DE ∥AB. 求证：（1）DE ＝DC ；（2）△DEC 是等边三角形．
5. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝3. D 是BC 边上一点，•直线DE ⊥BC 于D ，交AB 于E ，CF ∥AB 交直线DF 于F ．设CD ＝x ． （1）当x 取何值时，四边形EACF 是菱形？请说明理由； （2）当x 取何值时，四边形EACD 的面积等于2？
【试题答案】
一、选择题
1. D 2. A 3. A 4. C 5. D 6. D 7. C 8. B 9. A 10. B
二、填空题
1. 答案不唯一，如AB ＝CD 等 2. 16π＋
3. ①②⑤
π
4. B（4，0），（
2），C （4，3），
（）
5. 30.
三、解答题
1. 解：（1）方格纸中Rt △A ′B ′C 为所画的三角形 （2）由（1）得∠A ＝∠A ′，
又∵∠1＝∠2，∴△ABC ∽△A ′BD ，
BC AB
=
∴BD A ' B ，
∵BC ＝1，A ′B ＝2， AB
=∴
1=BD ，
即BD
0.6，∴BD 的长约为
0.6
3030+2x A ' B ' A ' D ' ≠, ∴≠
AB AD 2. 解：①当x ≠0时，2020+2x
故矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD 不相似
A ' B ' A ' D '
=
AD 时，矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD 相似 ②当AB
x 23030+2y
=2020+2x ，解得y ＝3 所以
3. 证明：（1）由∠ADC ＝120°，可得∠C ＝∠ABC ＝60°， 从而得到∠ADB ＝30°，∴BD ⊥DC. （2）
4. 证明：（1）∵AD ∥BC ，DE ∥AB ， ∴四边形ABED 是平行四边形， ∴DE ＝AB ， ∵AB ＝DC ，• ∴DE ＝DC
（2）∵AD ∥BC ，AB ＝DC ，∠B ＝60°， ∴∠C ＝∠B ＝60°． 又∵DE ＝DC ，
∴△DEC 是等边三角形． 5. 解：（1）•∵∠ACB ＝90°，
∴AC ⊥BC. 又∵DE ⊥BC ，∴EF ∥AC ．
又∵AE ∥CF ，∴四边形EACF •是平行四边形． 当CF ＝AC 时，四边形ACFE 是菱形．
22
此时，CF ＝AC ＝2，BD ＝3－x ，tan ∠B ＝3，ED ＝BD ²tan ∠B ＝3（3－x ），
22
∴DF ＝EF －ED ＝2－3（3－x ）＝3x ．
在Rt △CDF 中，CD 2＋DF 2＝CF 2，
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∴x 2＋（3x ）2＝22，∴x ＝±13•负值不合题意，舍去），
6
即当x ＝13时，四边形ACFE 是菱形
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（2）由已知得，四边形EACD 是直角梯形，S 梯形EACD ＝2³（4－3x ）²x ＝－3x 2
＋2x ．
1依题意，得－3x 2＋2x ＝2，整理得，x 2－6x ＋6＝0. 解之，得x 1＝3
x 2＝3
∵x ＝3
＝3， ∴x ＝3
∴当x ＝3
EACD 的面积等于2．