材料力学第五版孙训方版课后习题答案
材料力学第五版孙训方版课后习题答案
[习题2-2]一打入基地内的木桩如图所示,杆轴单位长度的摩擦力f=kx**2,试做木桩的后力图。
解:由题意可得:
13
l0
fdxF,有klF,k3F/l
2
3
3
33
FN(x1)
l0
3Fx/ldxF(x1/l)
[习题2-3] 石砌桥墩的墩身高l10m,其横截面面尺寸如图所示。荷载F1000kN,材料的密度2.35kg/m3,试求墩身底部横截面上的压应力。
解:墩身底面的轴力为:
N(FG)FAlg 2-3图 1000(323.141)102.359.83104.942(kN)
2
墩身底面积:A(323.141)9.14(m)
因为墩为轴向压缩构件,所以其底面上的正应力均匀分布。
NA
3104.942kN
9.14m
2
22
339.71kPa0.34MPa
[习题2-7] 图示圆锥形杆受轴向拉力作用,试求杆的伸长。
2-7图
解:取长度为dx截离体(微元体)。则微元体的伸长量为:
d(l)
FdxEA(x)
,l
l
FEA(
x)
dx
F
E
l
dxA(x)
rr1r2r1
xl
,r
r2r1
l
xr1
2
d2d1
2l
x
d12
,
ddd1ddd1dd12
A(x)2x1u,d(2x1)du2dx
2l22l22l
2l
dx
2ld2d1
du,
dxA(x)F
d2d1
u
FE
2
du
2l
(d1d2)
2Fl
(
duu
2
)
因此, l
l
EA(x)
dx
l
dxA(x)
E(d1d2)
l
(
duu
2
)
1E(d1d2)u0
2Fl
l
2Fl1
dE(d1d2)d2d1
x1
22l
0
l
2Fl11
ddddE(d1d2)211l1222l
224Fl
E(d1d2)d2d1Ed1d2
2Fl
[习题2-10] 受轴向拉力F作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该材料的弹性常数为E,,试求C与D两点间的距离改变量CD。
解:
'
F/AE
F
EA
'
F4Ea
22
式中,A(a)(a)4a,故:
aa
'
F4Ea
, aaa
'
F4E
aa
'
F4E
,CD
(2a)(3a)34
22
12
a
CD
''
(2a')(3a')34
22
12
a'
(CD)CDCD
''
12
(aa)
'
12
F4E
1.003
F4E
[习题2-11] 图示结构中,AB为水平放置的刚性杆,杆1,2,3材料相同,其弹性模量
E210GPa,已知l1m,A1A2100mm2,A3150mm,F20kN。试求C
2
点的水平位移和铅垂位移。
2-11图
解:(1)求各杆的轴力
以AB杆为研究对象,其受力图如图所示。 因为AB平衡,所以
X
0,N3cos45
o
0,N30
由对称性可知,CH0,N1N20.5F0.52010(kN)
(2)求C点的水平位移与铅垂位移。
A点的铅垂位移:l1
N1lEA1
10000N1000mm210000N/mm
2
100mm
2
0.476mm
B点的铅垂位移: l2
N2lEA2
10000N1000mm210000N/mm
2
100mm
2
0.476mm
1、2、3杆的变形协(谐)调的情况如图所示。由1、2、3杆的变形协(谐)调条件,并且考虑到AB为刚性杆,可以得到
o
C点的水平位移:CHAHBHl1tan450.476(mm)
C点的铅垂位移:
Cl10.476(mm)
[习题2-12] 图示实心圆杆AB和AC在A点以铰相连接,在A点作用有铅垂向下的力
F35kN。已知杆AB和AC的直径分别为d112mm和d215mm,钢的弹性模量E210GPa。试求A点在铅垂方向的位移。
解:(1)求AB、AC杆的轴力
以节点A为研究对象,其受力图如图所示。 由平衡条件得出:
X
0:NACsin30NABsin45
oo
0
NAC
2NAB………………………(a)
o
o
Y
0:NACcos30NABcos45350
3NAC
2NAB70………………(b)
(a) (b)联立解得:
NABN118.117kN;NACN225.621kN (2)由变形能原理求A点的铅垂方向的位移
12FA
N1l12EA1N1l1EA1
22
N2l22EA2N2l2EA2
2
2
A
1F
()
式中,l11000/sin45o1414(mm);l2800/sin30o1600(mm) A10.253.1412 故:A
135000
(18117
22
113mm;A20.253.1415
22
177mm
2
1414
210000113
25621
2
1600
210000177
)1.366(mm)
[习题2-13] 图示A和B两点之间原有水平方向的一根直径d1mm的钢丝,在钢丝的中点
C加一竖向荷载F。已知钢丝产生的线应变为0.0035,其材料的弹性模量E210GPa, 钢丝的自重不计。试求:
(1)钢丝横截面上的应力(假设钢丝经过冷拉,在断裂前可认为符合胡克定律);
(2)钢丝在C点下降的距离; (3)荷载F的值。 解:(1)求钢丝横截面上的应力
E2100000.0035735(MPa) (2)求钢丝在C点下降的距离 l
NlEA
lE
735
7(mm)。其中,AC和BC各3.5mm。
2100002000
10001003.5
cos 70.99651220
)4.7867339
o
o
arcco1000
1003.5
1000tan4.7867339
(3)求荷载F的值
83.7(mm)
以C结点为研究对象,由其平稀衡条件可得:
Y
0:2NsinaP0
P2Nsina2Asin
27350.253.141sin4.787
20
96.239(N)
[习题2-15]水平刚性杆AB由三根BC,BD和ED支撑,如图,在杆的A端承受铅垂荷载
F=20KN,三根钢杆的横截面积分别为A1=12平方毫米,A2=6平方毫米,A,3=9平方毫米,杆的弹性模量E=210Gpa,求:
(1) 端点A的水平和铅垂位移。
(2) 应用功能原理求端点A的铅垂位移。 解:(1)
l0
fdxF,有
3l0
13
klF
3
k3F/lFN(x1)
3Fx/ldxF(x1/l)
233
FN3cos450
FN1F2FN3sin45F0F0.45F0.150
N1
F160KN,F1401KN,F10KN,由胡克定理,l1l2
FN1lEA1FN2lEA2
60100.1521010121040100.15210101210
9
6
79
6
7
3.87
4.76
从而得,Axl24.76,Ayl22l1320.23()
(2)
VFAyF1l1+F2l20Ay20.33()
[习题2-17] 简单桁架及其受力如图所示,水平杆BC的长度l保持不变,斜杆AB的长度
可随夹角的变化而改变。两杆由同一种材料制造,
且材料的许用拉应力和许用压应力相等。
要求两杆内的应力同时达到许用应力,且结构的总重量为最小时,试求: (1)两杆的夹角;
(2)两杆横截面面积的比值。 解:(1)求轴力
取节点B为研究对象,由其平衡条件得:
Y
0
NABsinF0 NAB
Fsin
X
0
NABcosNBC0 NBCNABcos
Fsin
cosFcot 2-17
(2)求工作应力
AB
N
AB
AAB
NBCABC
FAABsin
FcotABC
BC
(3)求杆系的总重量
WV(AABlABABClBC) 。是重力密度(简称重度,单位:kN/m3)。
(AAB
lcos
1
ABCl) ABC)
l(AAB
cos
(4)代入题设条件求两杆的夹角 条件①:
AB
NABAABNBCABC
FAABsinFcotABC
[],
AAB
F[]sinFcot[]
BC
[], ABC
条件⑵:W的总重量为最小。 Wl(AAB l(
1cos
ABC)l(AAB
1cos
ABC)
F[]sin
1cos
Fcot[]
)
Fl
[]sincos
(
1
cossin
)
2
Fl1cos
sincos
2Fl
1cos2
sin2
从W的表达式可知,W是角的一元函数。当W的一阶导数等于零时,W取得
最小值。
dW
2
2Fl2cossinsin2(1cos)cos22
0 2dsin2
2
sin2
3cos2
2
cos220
2
sin
2
23cos2cos20
3cos21 ,cos20.3333
2arccos(0.3333)109.47,54.74
oo
5444
o'
(5)求两杆横截面面积的比值 AAB
F[]sin
,ABC
Fcot[]
F
AABABC
[]sinFcot[]
1sincot
1cos
2
因为: 3cos21,2cos1
13
,cos
2
13
cos
13AABABC
,
1cos
3
所以: 3
[习题2-18] 一桁架如图所示。各杆都由两
个等边角钢组成。已知材料的许用应力
[]170MPa,试选择AC和CD的角钢
型号。
解:(1)求支座反力
由对称性可知, RARB220kN() (2)求AC杆和CD杆的轴力
以A节点为研究对象,由其平 衡条件得:
Y
2-18
RANACcos0
RAsin
2203/5
NAC
366.667(kN)
以C节点为研究对象,由其平衡条件得:
X
0
NCDNACcos0 NCDNACcos
2203/5
4/5293.333(kN)
(3)由强度条件确定AC、CD杆的角钢型号 AC杆: AAC
NAC[]
366667N170N/mm
2
2156.86mm
2
2
21.569cm
选用2∟807(面积210.8621.72cm2)。 CD杆: ACD
NCD[]
293333N170N/mm
2
1725.488mm
2
17.255cm
2
选用2∟756(面积28.79717.594cm2)。
[习题2-19] 一结构受力如图所示,杆件AB、CD、EF、GH都由两根不等边角钢组成。已知材料的许用应力[]170MPa,材料的弹性模量E210GPa,杆AC及EG可视为刚性的。试选择各杆的角钢型号,并分别求点D、C、A处的铅垂位移D、C、A。 解:(1)求各杆的轴力 NAB NCD
3.240.84
300240(kN) 30060(kN)
M
F
0
NGH33001.5601.20
2-19
13
NGH
(45072)174(kN)
Y
0
NEF174603000
NEF186(kN)
(2)由强度条件确定AC、CD杆的角钢型号 AB杆: AAB
NAB[]
240000N170N/mm
2
1411.765mm
2
2
14.12cm
选用2∟90565(面积27.21214.424cm2)。 CD杆: ACD
NCD[]
60000N170N/mm
2
352.941mm
2
2
3.529cm
选用2∟40253(面积21.893.78cm2)。
EF杆:
AEF
NEF[]
186000N170N/mm
2
1094.118mm
2
10.412cm
2
选用2∟70455(面积25.60911.218cm2)。 GH杆: AGH
NGH[]
174000N170N/mm
2
1023.529mm
2
10.353cm
2
2
选用2∟70455(面积25.60911.218cm)。
(3)求点D、C、A处的铅垂位移D、C、A lAB
NABlABEAABNCDlCDEACDNEFlEFEAEF
24000034002100001442.4600001200210000378
2.6942.7(mm)
lCD
0.907(mm)
lEF
18600020002100001121.8
1.580(mm)
lGH
NGHlGHEAGH
17400020002100001121.8
1.477(mm)
EG杆的变形协调图如图所示。 DlGHlEFlGH
1.83
D1.4771.5801.477
1.83
D1.54(mm)
CDlCD1.540.9072.45(mm)
AlAB2.7(mm)
[习题2-21] (1)刚性梁AB用两根钢杆AC、BD悬挂着,其受力如图所示。已知钢杆AC和BD的直径分别为d125mm和d218mm,钢的许用应力[]170MPa,弹性模量
E210GPa。试校核钢杆的强度,并计算钢杆的变形lAC、lBD及A、B两点的竖向位
移A、B。
解:(1)校核钢杆的强度
① 求轴力
NAC
NBC
34.51.54.5
10066.667(kN) 10033.333(kN)
② 计算工作应力
AC
N
AC
AAC
66667N
0.253.1425mm
2
2
135.882MPa
BD
NBDABD
33333N
0.253.1418mm
2
2
2-21
131.057MPa
③ 因为以上二杆的工作应力均未超过许用应力170MPa,即
AC
[];
BD[],所以AC及BD杆的强度足够,不会发生破坏。
(2)计算lAC、
lBD
lAC
NAClACEAACNBDlBDEABD
666672500210000490.625333332500210000254.34
1.618(mm)
lBD
1.560(mm)
(3)计算A、B两点的竖向位移A、B
AlAC1.618(mm),BlBD1.560(mm)
[习题3-2] 实心圆轴的直径d100mm,长l1m,其两端所受外力偶矩Me14kNm,材料的切变模量G80GPa。试求:
(1)最大切应力及两端面间的相对转角;
(2)图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向; (3)C点处的切应变。
解:(1)计算最大切应力及两端面间的相对转角 max
TWp
M
e
Wp116
e
。
116
式中,Wp故:max
TlGI
p
d
3
3.14159100
6
3
196349(mm)。 3-2
3
M
Wp
1410Nmm196349mm
132
3
71.302MPa
,式中,Ip
d
4
132
3.14159100
4
9817469(mm)。故:
4
TlGI
p
14000Nm1m
8010N/m981746910
9
2
12
m
4
0.0178254(rad)1.02
o
(2)求图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向
ABmax71.302MPa, 由横截面上切应力分布规律可知:
C
12
B0.571.30235.66MPa, A、B、C三点的切应力方向如图所示。
(3)计算C点处的切应变 C
C
G
35.66MPa8010MPa
3
4.457510
4
0.44610
3
[习题3-3] 空心钢轴的外径D100mm,内径d50mm。已知间距为l2.7m的两横截
o
面的相对扭转角1.8,材料的切变模量G80GPa。试求:
(1)轴内的最大切应力;
(2)当轴以n80r/min的速度旋转时,轴所传递的功率。 解;(1)计算轴内的最大切应力
IpWp
132
116
D(1)D(1)
3
4
44
132116
3.141591003.14159100
4
(10.5)9203877(mm)。
4
4
3
(10.5)184078(mm)
4
3
式中,d/D。
TlGI
p
,
T
GIl
p
1.83.14159/18080000N/mm
2700mm
2
9203877mm
4
8563014.45Nmm8.563(kNm)
max
TWp
8563014.45Nmm
184078mm
3
46.518MPa
(2)当轴以n80r/min的速度旋转时,轴所传递的功率 TMe9.549
Nkn
9.549
Nk80
8.563(kNm)
Nk8.56380/9.54971.74(kW)
[习题3-5] 图示绞车由两人同时操作,若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力F均为0.2kN,已知轴材料的许用切应力[]40MPa,试求: (1)AB轴的直径;
(2)绞车所能吊起的最大重量。 解:(1)计算AB轴的直径
AB轴上带一个主动轮。两个手柄所施加的外力偶 矩相等:
Me左Me右0.20.40.08(kNm) M
e主动轮
2M
e右
0.16(kNm)
扭矩图如图所示。 3-5 由AB轴的强度条件得: max
M
e右
Wp
16M
e右3
d
[]
d
M
e右
[]
3
1680000Nmm3.1415940N/mm
2
21.7mm
(2)计算绞车所能吊起的最大重量 主动轮与从动轮之间的啮合力相等:
M
e主动轮
0.2
M
e从动轮
0.35
,M
e从动轮
0.350.20
0.160.28(kNm)
由卷扬机转筒的平衡条件得:
P0.25M
e从动轮
,P0.250.28P0.28/0.251.12(kN)
[习题3-6] 已知钻探机钻杆(参看题3-2图)的外径D60mm,内径d50mm,功率
P7.355kW,转速n180r/min,钻杆入土深度l40m,钻杆材料的G80GMPa,
许用切应力[]40MPa。假设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的,试求: (1)单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m;
(2)作钻杆的扭矩图,并进行强度校核; (3)两端截面的相对扭转角。 解:(1)求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m
Me9.549
Nkn
9.549
7.355180
x
0.390(kNm)
设钻杆轴为x轴,则:M
m
Mel
0,mlMe, 0.39040
0.00975(kN/m)
(2)作钻杆的扭矩图,并进行强度校核 ①作钻杆扭矩图
T(x)mx
0.3940
x0.00975x。x[0,40]
T(0)0; T(40)M
扭矩图如图所示。 ②强度校核,max
116
3
e
0.390(kNm)
M
e
Wp
116
5060
式中,Wpmax
M
e
D(1)
4
3.1415960[1(
3
)]21958(mm)
43
Wp
390000Nmm21958mm
3
17.761MPa
因为max17.761MPa,[]40MPa,即max[],所以轴的强度足够,不
会发生破坏。
(3)计算两端截面的相对扭转角
40
T(x)dxGI
p
132
5060
式中,Ip
132
D(1)1GI
p
40
44
3.1415960[1(
4
)]658752(mm)
44
40
|T(x)|dxGI
p
0.00975xdx
0.00975
8010kN/m65875210
6
2
12
m
4
x
2
2
]0
40
0.148(rad)8.50
[习题3-8] 直径d50mm的等直圆杆,在自由端截面上承受外力偶Me6kNm,而在
圆杆表面上的A点将移动到A1点,如图所示。已知sAA13mm,圆杆材料的弹性模量E210GPa,试求泊松比(提示:各向同性材料的三个弹性常数E、G、间存在如下关系:G
E2(1)
。
解:整根轴的扭矩均等于外力偶矩:TM
e
6kNm。
d2
设O,O1两截面之间的相对对转角为,则s
2sd132
,
,
132
TlGI
P
2sd
式 中,
Ip
d
4
3.1415950
4
61359(2mm) 3-8
4
G
Tld2Ips
E2(1)
610Nmm1000mm50mm
2613592mm
E2G
4
6
3mm
210
81487.372MPa81.4874GPa
由G得:1
281.4874
10.289
[习题3-10] 长度相等的两根受扭圆轴,一为空心圆轴,一为实心圆轴,两者的材料相同,受力情况也一样。实心轴直径为d;空心轴的外径为D,内径为d0,且空心轴与实心轴的最大切应力均达到材料的许用切应力(比和刚度比。
解:(1)求空心圆轴的最大切应力,并求D。
d0D
0.8。试求当
max
[]),扭矩T相等时的重量
max
TWp
116
式中,Wp
D(1),故:
3
4
max,空
16T
D(10.8)
34
27.1T
D
3
[]
D
3
27.1T
[]
3-10
(1)求实心圆轴的最大切应力
max
TWp
,式中,Wp
116
d ,故:max,实
3
16T
d
3
16T
d
3
[]
d
3
16T
[]
,(
Dd
)
3
27.1T
[]
[]16T
1.69375,
Dd
1.192
(3)求空心圆轴与实心圆轴的重量比
W空W实
0.25(Dd0)l
0.25dl
22
2
(
Dd
)(10.8)0.36(
22
Dd
)0.361.192
22
0.512
(4)求空心圆轴与实心圆轴的刚度比
Ip空
132
D(10.8)0.01845D,Ip实
44
444
132
d
4
0.03125d
4
GIGI
p空p实
0.01845D0.03125d
0.5904(
Dd
)0.59041.192
44
1.192
[习题3-11] 全长为l,两端面直径分别为d1,d2的圆台形杆,在两端各承受一外力偶矩Me ,如图所示。试求杆两端面间的相对扭转角。
解:如图所示,取微元体dx,则其两端面之间的扭转角为: d
MedxGI
P
132
式中,Ip
rr1
d xl
4
r2r1
r
r2r1
l
xr1
d2d1
2l
x
d12
d2r
d2d1
l
xd1
d
4
(
d2d1
l
xd1)u
ld2d1
44
du
d2d1
l
dx,dxdu
故
:
MG
e
l
MedxGI
p
l
dxIp
MG
e
l
32dx
d
4
32M
e
G
l
1u
4
ld2d1
du
32Mel
G(d2d1)
l
duu
l4
32Mel
G(d2d1)
l
32Mel32Meldu1l1[]043G(d2d1)3u33G(d2d1)ddu1
2xd1
l
3
d13d2d3d3
12
0
132Mel1
=33
3G(d2d1)3G(d1d2)dd12
32Mel32Mel
3G
d12d1d2d22
33d1d2
[习题3-12] 已知实心圆轴的转速n300r/min,传递的功率p330kW,轴材料的许用切应力[]60MPa,切变模量G80GPa。若要求在2m长度的相对扭转角不超过1o,试求该轴的直径。 解:
TlGI
P
MelGI
p
1
180
式中,Me9.549
180Mel
132
Nkn
9.549
330300
10.504(kNm);Ip
132
d。故:
4
Ip
G
,d
4
180Mel
G
d
32180Mel
G
2
3218010.50410Nmm2000mm
3.1480000N/mm
2
2
6
111.292mm
取d111.3mm。
[习题3-16] 一端固定的圆截面杆AB,承受集度为m的均布外
力偶作用,如图所示。试求杆内积蓄的应变能。已矩材料的切变模量为G。
T(x)dx2GI
p
2
解:dV
mxdx2G
132
2
22
4
16mxdx
22
d
dG
4
V
16m
2
d
4
G
l
xdx
2
16ml
4
3
3dG
6
ml132
23
4
ml6GI
23
3-16
p
dG
[习题3-18] 一圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉力F如图,簧丝直径d10mm,材料的许
用切应力[]500MPa,切变模量为G,弹簧的有效圈数为n。试求:
(1)弹簧的许可切应力; (2)证明弹簧的伸长解:(1)求弹簧的许可应力
用截面法,以以簧杆的任意截面取出上面部分为截离
体。由平衡条件可知,在簧杆横截面上:
剪力QF扭矩TFR
最大扭矩:TmaxFR2
'
16FnGd
4
(R1R2)(R1R2)。
22
max
QA
TmaxW
p
4F
d
2
16FR
2
d
3
3
16FR2
d
3
(1
d4R2
)[],
[F]
d[]
16R2(1
d4R2
)
3
3.1410mm
3
500N/mm
10mm4100mm
2
957.3N )
16100mm(1
因为D/d200/102010,所以上式中小括号里的第二项,即由Q所产生的剪应力可以忽略不计。此时
[F]
d[]
16R2(1
d4R2
)
3
3.1410mm
33
500N/mm
2
16100mm
981.25N
(2)证明弹簧的伸长
16FnGd
4
(R1R2)(R1R2)
22
外力功:W
12
F , dU
T(Rd)2GI
p
2
2n
U
(FR)(Rd)
2GI
p
2
F
2
2GI
p
2n
Rd
3
F
2
2GI
p
2n
[R1
R2R12n
3
]d
FnR2R1
4GIpR2R1
FnR2R1
WU,F
24GIpR2R1
1Fn2GI
p
2
4
4
244
R2R1
44
R2R1
16FnGd
4
(R1R2)(R1R2)
22
[习题3-19] 图示矩形截面钢杆承受一对外力偶Me3kNm。已知材料的切变模量
G80GPa,试求:
(1) 杆内最大切应力的大小、位置和方向;
(2) 横截面短边中点处的切应力; (3) 杆的单位长度扭转角。
解:(1)求杆内最大切应力的大小、位置和方向
,
,
,
由表得,
,
长边中点处的切应力,在上面,由外指向里 (2)计算横截面短边中点处的切应力
MPa
短边中点处的切应力,在前面由上往上 (3)求单位长度的转角
单位长度的转角
[习题3-23] 图示为薄壁杆的的两种不同形状的横截面,其壁厚及管壁中线的周长均相同。两杆的长度和材料也相同,当在两端承受相同的一对扭转外力偶矩时,试求: (1) 最大切应力之比; (2) 相对扭转角之比。 解:(1)求最大切应力之比
MeIt
3
开口:max,开口
It
13
2r0
23
r0
3
依题意:2r04a,故:
13
2r0
3
It
23
r0
3
3
4a3
3
max,开口
MeIt
Me
4a
3
3M4a
e2
闭口:max,闭口
M
e
2A0
M
e2
2a
,
max,开口max,闭口
3M4a
e2
2aM
e
2
3a2
(3) 求相对扭转角之比
13
3
开口:It2r0
23
r0
3
4a3
,开口
3'
TGI
t
MGI
et
3M
e3
4Ga
闭口:闭口
'
Ts4GA
20
Mes4GA
20
Me4a4Ga
4
M
e3
Ga
开口
'闭口
'
3M
e3
4Ga
GaM
e
3
3a4
22
4-1试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩 a(5)=h(4)
FRAFRBFS11q0aM11q0a
q021212
2aq0aq02a
3412q0aa3121112
q0a
13
2a
43q0a
2
q0a
FS220,M22q0a2aq02a
b(5)=f(4)
4-2试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程,并作剪力图和弯矩图 a(5)=a(4)
b(5)=b(4)
f(5)=f(4)
4-3试利用载荷集度,剪力和弯矩间的微分关系做下列各梁的弯矩图和剪力e和f题)
(e) (f) (h)
4-4试做下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图。
4-4 (b) 4-5 (b)
4-5.根据弯矩、剪力与荷载集度之间的关系指出下列玩具和剪力图的错误之处,并改正。 4-6.已知简支梁的剪力图如图所示,试做梁的弯矩图和荷载图,梁上五集中力偶作用。
4-6(a) 4-74-7.根据图示梁的弯矩图做出剪力图和荷载图。4-8用叠加法做梁的弯矩图。
4-8(b) 4-84-9.选择合适的方法,做弯矩图和剪力图。
(a)
(c)
4-9(b) 4-9(c)
4-10
4-14.长度l=2m的均匀圆木,欲锯做Fa=0.6m的一段,为使锯口处两端面开裂最小,硬是锯口处弯矩为零,现将圆木放在两只锯木架上,一只锯木架放在圆木一段,试求另一只锯木架应放位置。
x=0.4615m
4-18
4-19M=30KN
4-21
4-23
4-25
4-28
4-29
4-33
4-36
4-35
5-2
5-3
5-7
5-15
5-22
5-23 选22a工字钢
5-24
6-4
lA6Fl/((2
EA)
6-12
7-3-55mpa。-55mpa
7-4[习题7-3] 一拉杆由两段沿mn面胶合而成。由于实用的原因,图中的角限于
0~60范围内。作为“假定计算”,对胶合缝作强度计算时,可以把其上的正应力和切应
力分别与相应的许用应力比较。现设胶合缝的许用切应力[]为许用拉应力[]的3/4,且这一拉杆的强度由胶合缝强度控制。为了使杆能承受最大的荷载F,试问角的值应取多大? 解:
x
FA
;
y
0;
x
0
x
2
F2A2[]A
y
x
2
y
cos2xsin2
F1cos2A
2
F2A
cos2
FA
2
[]
F1cos2AF
[],cos[] []A
cos
2
,Fmax,N
y
cos
2
x
2
Fsin2xcos2
3[
],Fsin2[]
1.5[]A,Fmax,T
1.5[]A
由切应力强度条件控制最大荷载。由图中可以看出,当60时,杆能承受最大荷载,该荷载为:
Fmax1.732[]A
7-6[习题7-7] 试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为0.72m的截面上,在顶面以下40mm的一点处的最大及最小主应力,并求最大主应力与x轴之间的夹角。
解:(1)求计算点的正应力与切应力
MyIz
12Mybh
3
12100.7210Nmm40mm
80160mm
3
6
34
10.55MPa
QS
*
z
Izb
1010N(8040)60mm
112
80160mm
3
4
3
0.88MPa
80mm
(2)写出坐标面应力
X(10.55,-0.88)
Y(0,0.88)
(3) 作应力圆求最大与最小主应力,
并求最大主应力与x轴的夹角 作应力圆如图所示。从图中按
比例尺量得:
110.66MPa
30.06MPa 04.75
7-7[习题7-8] 各单元体面上的应力如图所示。试利用应力圆的几何关系求: (1)指定截面上的应力; (2)主应力的数值;
(3)在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。
[习题7-8(a)]
解:坐标面应力:X(20,0);Y(-40,0)60。根据以上数据作出如图所示的应
力圆。图中比例尺为1cm代表10MPa。按比例尺量得斜面的应力为:
12025MPa, 12026MPa;120MPa,340MPa;000。
单元体图
应力圆(O.Mohr圆)
主单元体图
[习题7-8(b)]
解:坐标面应力:X(0,30);Y(0,-30)300。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为1cm代表10MPa。按比例尺量得斜面的应力为:
6026MPa ,6015MPa;130MPa,330MPa; 0450。
单元体图
[习题7-8(c)]
应力圆(O.Mohr圆)
主单元体图
解:坐标面应力:X(-50,0);Y(-50,0)30。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为1cm代表20MPa。按比例尺量得斜面的应力为:
6050MPa ,600;250MPa,350MPa。
单元体图
应力圆(O.Mohr圆)
主单元体图
[习题7-8(d)]
解:坐标面应力:X(0,-50);Y(-20,50)00。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为1cm代表20MPa。按比例尺量得斜面的应力为:
0'4540MPa ,4510; 03935。361MPa;141MPa,20MPa,
单元体图
应力圆(O.Mohr圆)
主单元体图
[习题7-10] 已知平面应力状态下某点处的两个截面的的应力如图所示。试利用应力圆求该点处的主应力值和主平面方位,并求出两截面间的夹角值。
平面应力状态下的两斜面应力
解:两斜面上的坐标面应力为:
A(38,28),B(114,-48)
由以上上两点作出的直线AB是应力圆上的一条弦, 如图所示。作AB的垂直平分线交水平坐标轴于C 点,则C为应力圆的圆心。设圆心坐标为C(x,0) 则根据垂直平线上任一点到线段段两端的距离相等 性质,可列以下方程:
(x38)(028)
2
2
应力圆
(x114)(048)
22
解以上方程得:x86。即圆心坐标为C(86,0) 应力圆的半径:
r
(8638)(028)
2
2
55.570
主应力为:
1xr8655.57141.57MPa 2xr8655.5730.43MPa
30 (2)主方向角
(上斜面A与中间主应力平面之间的夹角) (上斜面A与最大主应力平面之间的夹角)
(3)两截面间夹角:
[习题7-14] 单元体各面上的应力如图所示。试用应力圆的几何关系求主应力及最大切应力。[习题7-15(a)]
解:坐标面应力:X(70,-40),Y(30,-40),Z(50,0)
单元体图
应力圆
由XY平面内应力值作a、b点,连接a、b交 应力圆半径:
轴得圆心C(50,0)
[习题7-15(b)]
解:坐标面应力:X(60,40),Y(50,0),Z(0,-40)
单元体图
应力圆
轴于C点,OC=30,故应力圆圆心C(30,0)
由XZ平面内应力作a、b点,连接a、b交 应力圆半径:
[习题7-15(c)]
解:坐标面应力:X(-80,0),Y(0,-50),Z(0,50)
单元体图
应力圆
由YZ平面内应力值作a、b点,圆心为O,半径为50,作应力圆得
,如图所示。。已知材料
[习题7-19] D=120mm,d=80mm的空心圆轴,两端承受一对扭转力偶矩
在轴的中部表面A点处,测得与其母线成
的弹性常数
,
方向的线应变为
。
,试求扭转力偶矩
解:
方向如图