高中文理科数学重要公式及知识点速记

高中数学公式及知识点速记

一、函数、导数

1、函数的单调性

(1)设x 1、x 2∈[a , b ],x 1

f (x 1) -f (x 2) 0⇔f (x ) 在[a , b ]上是减函数.

(2)设函数y =f (x ) 在某个区间内可导，若f '(x ) >0，则f (x ) 为增函数；若f '(x )

2、函数的奇偶性

对于定义域内任意的x ，都有f (-x ) =f (x ) ，则f (x ) 是偶函数； 对于定义域内任意的x ，都有f (-x ) =-f (x ) ，则f (x ) 是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。 3、函数y =f (x ) 在点x 0处的导数的几何意义

函数y =f (x ) 在点x 0处的导数是曲线y =f (x ) 在P (x 0, f (x 0)) 处的切线的斜率f '(x 0) ，相应的切线方程是

y -y 0=f '(x 0)(x -x 0) .

4、几种常见函数的导数

' n ' n -1' '

①C =0；②(x ) =nx ； ③(sinx ) =cos x ；④(cosx ) =-sin x ；

⑤(a x ) ' =a x ln a ；⑥(e x ) ' =e x ； ⑦(loga x ) =5、导数的运算法则

'

11'

；⑧(lnx ) = x ln a x

u ' u ' v -uv '

(v ≠0) . （1）(u ±v ) =u ±v . （2）(uv ) =u v +uv . （3）() =2

v v

'

'

'

'

'

'

6、会用导数求单调区间、极值、最值

7、求函数y =f (x )的极值的方法是：解方程f '(x )=0．当f '(x 0)=0时： (1) 如果在x 0附近的左侧f '(x )>0，右侧f '(x )0，那么f (x 0)是极小值．

二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量

8、同角三角函数的基本关系式

sin 2θ+cos 2θ=1，tan θ=

sin θ

. cos θ

9、正弦、余弦的诱导公式

k π±α的正弦、余弦，等于α的同名函数，前面加上把α看成锐角时该函数的符号；

k π+

π

2

±α的正弦、余弦，等于α的余名函数，前面加上把α看成锐角时该函数的符号。

10、和角与差角公式

sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β;

cos(α±β) =cos αcos β sin αsin β;

tan α±tan β

tan(α±β) =.

1 tan αtan β

11、二倍角公式

sin 2α=sin αcos α.

cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α.

tan 2α=

2tan α

.

1-tan 2α

1+cos 2α

; 2

公式变形：

1-cos 2α

2sin 2α=1-cos 2α, sin 2α=;

2

2cos 2α=1+cos 2α, cos 2α=

12、三角函数的周期

函数y =sin(ωx +ϕ) ，x ∈R 及函数y =cos(ωx +ϕ) ，x ∈R(A,ω, ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0) 的周期T =数y =tan(ωx +ϕ) ，x ≠k π+

2π

ω

；函

π

2

, k ∈Z (A,ω, ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0) 的周期T =

π. ω

13、 函数y =sin(ωx +ϕ) 的周期、最值、单调区间、图象变换

14、辅助角公式

y =a sin x +b cos x =a 2+b 2sin(x +ϕ) 其中tan ϕ=

15、正弦定理

b a

a b c

===2R . sin A sin B sin C

16、余弦定理

a 2=b 2+c 2-2bc cos A ; b 2=c 2+a 2-2ca cos B ; c 2=a 2+b 2-2ab cos C .

17、三角形面积公式

S =

111

ab sin C =bc sin A =ca sin B . 222

18、三角形内角和定理

在△ABC 中，有A +B +C =π⇔C =π-(A +B ) 19、a 与b 的数量积(或内积)

⋅=||⋅||cos θ

20、平面向量的坐标运算

(1)设A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) , 则AB =OB -OA =(x 2-x 1, y 2-y 1) .

(2)设=(x 1, y 1) , =(x 2, y 2) ，则⋅=x 1x 2+y 1y 2.

（3）设=(x , y ) ，则a =21、两向量的夹角公式

x 2+y 2

设=(x 1, y 1) , =(x 2, y 2) ，且≠，则

cos θ=

a ⋅b a b

=

x 1x 2+y 1y 2x 1+y 1⋅x 2+y 2

2

2

2

2

22、向量的平行与垂直

a //b ⇔b =λa ⇔x 1y 2-x 2y 1=0.

⊥(≠) ⇔⋅=0⇔x 1x 2+y 1y 2=0.

三、数列

23、数列的通项公式与前n 项的和的关系

n =1⎧s 1,

( 数列{a n }的前n 项的和为s n =a 1+a 2+ +a n ). a n =⎨

s -s , n ≥2⎩n n -1

24、等差数列的通项公式

a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d (n ∈N *) ；

25、等差数列其前n 项和公式为

s n =

n (a 1+a n ) n (n -1) d 1

=na 1+d =n 2+(a 1-d ) n . 2222

26、等比数列的通项公式

a n =a 1q n -1=

a 1n

⋅q (n ∈N *) ； q

27、等比数列前n 项的和公式为

⎧a 1(1-q n ) ⎧a 1-a n q

, q ≠1, q ≠1⎪⎪

s n =⎨1-q 或 s n =⎨1-q .

⎪na , q =1⎪na , q =1⎩1⎩1

四、不等式

x +y

≥xy ，当x =y 时等号成立。 2

（1）若积xy 是定值p ，则当x =y 时和x +y 有最小值2p ；

12

（2）若和x +y 是定值s ，则当x =y 时积xy 有最大值s .

4

五、解析几何

28、已知x , y 都是正数，则有

29、直线的五种方程

（1）点斜式 y -y 1=k (x -x 1) (直线l 过点P 1(x 1, y 1) ，且斜率为k ) ． （2）斜截式 y =kx +b (b为直线l 在y 轴上的截距).

y -y 1x -x 1

(y 1≠y 2)(P =1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) (x 1≠x 2)).

y 2-y 1x 2-x 1x y

(4)截距式 +=1(a 、b 分别为直线的横、纵截距，a 、b ≠0)

a b

（5）一般式 Ax +By +C =0(其中A 、B 不同时为0).

（3）两点式

30、两条直线的平行和垂直

若l 1:y =k 1x +b 1，l 2:y =k 2x +b 2

①l 1||l 2⇔k 1=k 2, b 1≠b 2;

②l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1. 31、平面两点间的距离公式

d A , B

=A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ).

32、点到直线的距离

d =

(点P (x 0, y 0) , 直线l ：Ax +By +C =0).

33、 圆的三种方程

（1）圆的标准方程 (x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2.

（2）圆的一般方程 x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D +E -4F ＞0). （3）圆的参数方程 ⎨

2

2

⎧x =a +r cos θ

.

y =b +r sin θ⎩

34、直线与圆的位置关系

直线Ax +By +C =0与圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2的位置关系有三种:

d >r ⇔相离⇔∆

d =r ⇔相切⇔∆=0;

d 0. 弦长=2r 2-d 2

Aa +Bb +C

其中d =.

22A +B

35、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质

⎧x =a cos θc x 2y 2222

椭圆：2+2=1(a >b >0) ，a -c =b ，离心率e =

a a b ⎩y =b sin θ

c x 2y 2b 222

双曲线：2-2=1(a>0,b>0)，c -a =b ，离心率e =>1，渐近线方程是y =±x .

a a a b

p p

抛物线：y 2=2px ，焦点(, 0) , 准线x =-。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离.

22

36、双曲线的方程与渐近线方程的关系

x 2y 2x 2y 2b

(1）若双曲线方程为2-2=1⇒渐近线方程：2-2=0⇔y =±x .

a a b a b

x y x 2y 2b

(2)若渐近线方程为y =±x ⇔±=0⇒双曲线可设为2-2=λ.

a b a a b

x 2y 2x 2y 2

(3)若双曲线与2-2=1有公共渐近线，可设为2-2=λ（λ>0，焦点在x 轴上，λ

a b a b

上）.

37、抛物线y 2=2px 的焦半径公式

p

. （抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离。） 2

p p

38、过抛物线焦点的弦长AB =x 1++x 2+=x 1+x 2+p .

22

六、立体几何

抛物线y 2=2px (p >0) 焦半径|PF |=x 0+

39、证明直线与直线平行的方法

（1）三角形中位线 （2）平行四边形（一组对边平行且相等） 40、证明直线与平面平行的方法

（1）直线与平面平行的判定定理（证平面外一条直线与平面内的一条直线平行） （2）先证面面平行

41、证明平面与平面平行的方法

平面与平面平行的判定定理（一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行） ．．．．42、证明直线与直线垂直的方法 转化为证明直线与平面垂直 43、证明直线与平面垂直的方法

（1）直线与平面垂直的判定定理（直线与平面内两条相交直线垂直） ．．．．

（2）平面与平面垂直的性质定理（两个平面垂直，一个平面内垂直交线的直线垂直另一个平面）

44、证明平面与平面垂直的方法

平面与平面垂直的判定定理（一个平面内有一条直线与另一个平面垂直） 45、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式 圆柱侧面积=2πrl ，表面积=2πrl +2πr 圆椎侧面积=πrl ，表面积=πrl +πr

2

2

1

V 柱体=Sh （S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.

31

V 锥体=Sh （S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.

3

432

球的半径是R ，则其体积V =πR , 其表面积S =4πR ．

3

46、异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义及计算 47、点到平面距离的计算（定义法、等体积法）

48、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质：侧棱平行且相等，与底面垂直。

正棱锥的性质：侧棱相等，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。

七、概率统计

49、平均数、方差、标准差的计算

x 1+x 2+ x n 12222

方差:s =[(x 1-x ) +(x 2-x ) + (x n -x ) ]

n n

1

标准差:s =[(x 1-x ) 2+(x 2-x ) 2+ (x n -x ) 2]

n

平均数:x =50、回归直线方程

n n

⎧

(x i -)(y i -)∑x i y i -nx y ∑⎪

i =1i =1

⎪b ==n n 2. y =a +bx ，其中⎨

x i -)x i 2-2(∑∑⎪i =1i =1

⎪

⎩a =-n (ac -bd ) 22

51、独立性检验 K =

(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )

52、古典概型的计算（必须要用列举法、列表法、树状图的方法把所有基本事件表示出来，不重复、不遗漏） ．．．．．．．．．

八、复数

53、复数的除法运算

a +bi (a +bi )(c -di ) (ac +bd ) +(bc -ad ) i

==. c +di (c +di )(c -di ) c 2+d 2

54、复数z =a +bi 的模|z |=|a +

bi |

九、参数方程、极坐标化成直角坐标

⎧ρ2=x 2+y 2

⎧ρcos θ=x ⎪55、⎨ ⎨ y

⎩ρsin θ=y ⎪tan θ=(x ≠0)

x ⎩