双曲复数与方程

双曲复数与Cauchy —Riemann 方程

摘要: 利用Clifford 代数的双曲虚单位引入双曲复数和双曲复平面的概念，并讨论了它 们的性质，然后给出了Cauchy-Riemann 方程的几种不同的表达形式. 关键词: Clifford 代数; 双曲复数; 双曲复平面; Cauchy—Riemann 方程

用Clifford 代数表述非欧几何及近代物理的有关问题已经成为人们关注的课题[1]. 文献［2］以 Clifford 代数为工具，讨论 Minkowski 空间的几何性质及狭义相对论的时空结构. 文献［3］介绍了双曲复数，双曲复变函数及双曲正则函数，并且给出了Cauchy-Riemann 方程的代数表达式，本文在此基础上给出了Cauchy-Riemann 方程的极坐标表达式、向量形式和旋量形式的表达式，为讨论双曲正则函数奠定了基础.

1 双曲复数与双曲复平面 1．1 双曲复数的性质

形如z =x +jy 的数，称为双曲复数，其中x , y ∈R (实数域) ，j 为Clifford 代数的双曲虚单位，有j 2=1, j ∉R , j *=-j ，将双曲复数的全体记为H ={x +jy x , y ∈R }，H 是Clifford 代数的偶子代数C l 2. 事实上，Clifford 代数C l 2是基为{1,e 1, e 2, e 12}的4维实代数，基元素的乘法表为：

e 1 e 2 e 12 e 1e 12 e 2

e 2-e 12 -1 e 1 e 12-e 2 -e 1 1

基元素生成的子空间由纯量1、向量e 1和e 2、以及双向量e 12组成，且C l 2=R ⊕R ⊕∧R . 令C l 2=R ⊕∧R (称为偶部) ，C l 2=R ，(称为奇部) ，则Cl 2=Cl 2⊕Cl

2

2

2

2

+

+22-2+-2

. 偶部不仅

是子空间而且是子代数，它有形如x +ye 12的元素组成，这里x , y ∈R 且e 12=1，所以C l 2的偶子代数C l 2同构于H ，记j =e 12.

∀z 1=x 1+jy 1, z 2=x 2+jy 2∈H , 定义H 的加法和乘法运算为:

z 1+z 2=(x 1+x 2) +j (y 1+y 2),

z 1z 2=(x 1x 2+y 1y 2) +j (x 1y 2+x 2y 1).

+

--------------------------------- H 的加法和乘作成二维实交换代数.

定义H 的内积为：

z 1⋅z 2=x 1x 2+jy 1(jy 2) =x 1x 2-y 1y 2.

2222

特别地∀z =x +jy ∈H ，z ⋅z =x -y ，令x -y =0，则有

*

z =x (1+j ) 或 z =x (1-j ) .

若设N ={z x -y =0}，N 1={x (1+j ) x ∈R },N 2={x (1-j ) x ∈R }，则N 1, N 2是

H 的子空间，且有N =N 1 N 2，H =N 1+N 2, N 1 N 2={0}. H 的所有零因子所成的

22

集为N =N 1 N 2，N 1和N 2互为共轭零因子集，即N 1={x (1+j ) }={x (1-j )}=N 2，

N 1, N 2作为H 的子代数均与实数域R 同构，有同构映射：

f :N 1→N 2,1+j

1-j ; g :N 1→R , (1+j ) /

**

1.

∀z =x +jy ∈H \N ，z 有逆元z -1=

1x +jy

=

x -jy x -y

2

2

.

定理1 H \N 关于H 的乘法作成Abel 群.

1．2 双曲复平面的对称性

与双曲复数对应的平面称为双曲复平面，又称H 平面. 引入二元实函数

f :H ⨯H →R , (x 1+jy 1, x 2+jy 2) x 1x 2-y 1y 2，则H 平面成为一个Minkowski 平面.

∀z =x +jy ∈

H , 定义它的间隔数为σ(z ) =

=，

间隔数为0的数称为迷向数，H 平面的迷向数所成的集合恰为二维实代数H 的所有零因子所成的集合，H 平面的迷向数将H 平面分为四个部分，记为H (t ), t =1, 2, 3, 4:

H (1)={x +jy ∈H x >y {0} H (2)={x +jy ∈H y >x {0}， H (3)={x +jy ∈H -x >y {0}

H (4)={x +jy ∈H -y >x {0}

H (t ), t =1, 2, 3, 4中的非零元均为非迷向数，定义非迷向数z =x +jy 的示向数为

⎧1x +jy ∈H (1)⎪

⎪j x +jy ∈H (2)

δ(z ) =⎨

-1x +jy ∈H (3)⎪⎪

⎩-j x +jy ∈H (4)

H 平面的间隔数与传统的模长

(z =

) 概念不同，它具有如下性质：

(1)σ(z ) ≥0, σ(z ) =0⇔z 为迷向数；

(2)σ(λz ) =λσ(z ) ；

(3)σ(z 1+z 2) ≥σ(z 1) +σ(z 2)

其中z 1, z 2∈H (t ), t =1, 2, 3, 4.

定义其幅角为

θ=arctan h (sgn(xy ) min{x , y /max{x , y ，

任意非迷向数z =x +jy 的指数式及双曲函数表达式依次为

z =δ(z ) σ(z ) exp(j θ),

z =δ(z ) σ(z )(coshθ+j sinh θ).

直角坐标与极坐标的转化关系为

⎧x ⎪⎪x ⎨⎪x ⎪x ⎩

=σ(z ) cosh θ, =σ(z ) sinh θ,

y =σ(z ) sinh θ, x +jy ∈H (1);y =σ(z ) cosh θ, x +jy ∈H (2);

=-σ(z ) cosh θ, y =-σ(z ) sinh θ, x +jy ∈H (3);=-σ(z ) sinh θ, y =-σ(z ) cosh θ, x +jy ∈H (4);

所有迷向数所成的集合为有N =N 1 N 2，N 为H 平面上的两正交直线，由原点将其分为四个部分，记为N (t ), t =1, 2, 3, 4：

N (1)={x +jy ∈H y =x ≥0}， N (2)={x +jy ∈H y =-x ≥0}， N (3)={x +jy ∈H y =x ≤0}， N (4)={x +jy ∈H y =-x ≤0}.

z =x +jy ∈N 的示向数为

⎧(1+j ) /z ∈N (1)⎪⎪⎪-(1-j ) /z ∈N (2)

ε(z ) =⎨

⎪-(1+j ) /z ∈N (3)⎪⎪⎩(1-j ) /z ∈N (4)

定义其迷向间隔为d (z ) =∀z =jx +iy ∈N ，z 可以表示为z =d (z ) ε(z ) .

∀z 1, z 2∈M , z 2-z 1∈N 时，定义迷向距离d

:

d (z 1, z 2) =

定理2 H (t )(t ∈{1,2, 3, 4})具有如下性质：

(1)H (t )(t ∈{1,2, 3, 4})关于M 的加法作成有恒等元的半群，且相互同构. (2)H (t )(t ∈{1,2, 3, 4})是半环R +上的半线性空间，且相互同构. (3) 在H (t )(t ∈{1,2, 3, 4})上定义二元运算

:(x 1+jy 1) (x 2+jy 2) =(x 1+jy 1) δt (x 2+jy 2)

则H (t )(t ∈{1,2, 3, 4})成为半环R 上半线性空间，且相互同构. 其中x 1+jy 1, x 2+jy 2

∈H (t ), δt =δ(x 1+jy 1), t ∈{1,2, 3, 4}.

+

由双曲复平面的对称性可知，双曲复平面的若干性质可以借助某个H (t ), t ∈{1,2, 3, 4}

加以讨论.

1．3 双曲复数的矩阵表示

在几何代数中向量ω旋转α角可表示成

ω'=ω(cosα+e 12sin α) ， 分量为

ω1'=ω1cos α+ω2sin α

ω2'=ω1sin α+ω2cos α

写成矩阵形式为

ω1'ω2'=(ω1ω2复数的矩阵表达式为

⎛11=

⎝0

⎛ω'

1

这时，

-ω'⎝2

()

⎛cos α

) sin α⎝sin α⎫

⎪ cos α⎭

y ⎫⎪. x ⎭

0⎫⎛0，e =12⎪ 1⎭⎝11⎫⎛x

，z =x +jy =⎪ 0⎭⎝y ⎪

-ω1⎭⎝sin α

⎛ω⎪= 1

-ω2

-ω1'⎪⎭⎝

ω2'⎫

ω2⎫⎛cos α

sin α⎫

⎪ cos α⎭

⎛1

因此有 e 1=

⎝00⎫⎛0⎪，e 2= -1⎭⎝-11⎫

⎪. 0⎭

2 Cauchy-Riemann 方程

2．1 代数形式的Cauchy-Riemann 方程

w =f (z ) =u (x , y ) +jv (x , y ) 称为双曲复变函数，其中u (x , y ), v (x , y ) 都是实变量

) 某个x , y 的实值函数，分别叫作w =f (z ) 的实部与虚部. 如果u (x , y ) , v (x , y 在H (t ) , (t ∈

{1, 2, 3, 4w =f (z ) 在该H (t ) 内连续可微的，且 内是连续可微的，则

f '(z ) =lim

f (z +∆z ) -f (z )

∆z

∆z →0

=

(∆x , ∆y ) →(0,0)

lim

∆u +j ∆v ∆x +j ∆y

其中∆u =u (x +∆x , y +∆y ) -u (x , y ) ，∆v =v (x +∆x , y +∆y ) -v (x , y ) ， 由于∆z =∆x +j ∆y 沿任意方向趋于零时极限都存在，所以 当取∆z =∆x 时， f '(z ) =

∂u

∂x ∂x

∂v ∂u

当取∆z =j ∆y 时， f '(z ) = +j

∂y ∂y

+j

∂v

比较上面两式有

∂u ∂x

=

∂v ∂u ∂v

， (2.1) , =

∂y ∂y ∂x

它是最简单的一阶双曲型方程组，它与椭圆型方程理论中的Cauchy-Riemann 方程组相对应，

称之为双曲型方程理论的Cauchy-Riemann 方程组，简称为C.-R. 方程，把C.-R. 方程的连续可微的解w =f (z ) 称为双曲正则函数.

C.-R. 方程(2.1)能被简写成

(

∂∂x +j

∂∂y

)(u -jv ) =0. (2.2)

定理3 设f (z ) =u (x , y ) +jv (x , y ) 在某个H (t ), (t ∈{1,2, 3, 4})内有定义，则

w =f (z ) 在点z =x +j y 可微的充要条件是u (x , y ), v (x , y ) 在点(x , y ) 可微，且满足

∂u ∂x

=

∂v ∂u ∂v ∂u ∂v ∂v ∂u ∂u ∂u ∂v ∂v

，这时f '(z ) =. , =+j =+j =+j =+j

∂y ∂y ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y ∂y ∂x

证明 略.

令z =x +jy , =x +(jy ) =x -jy ，则x =

*

z +2

, y =

z -2j

，

∂f ∂=

∂u ∂+j

∂v ∂-

=(

∂u ∂x ∂x ∂+

∂u ∂y ∂y ∂-

) +j (1∂v 2j ∂y

∂v ∂x ∂x ∂)

+

∂v ∂y ∂y ∂)

=(

1∂u 2∂x

1∂u 2j ∂y

) +j (

1∂v 2∂x

=

1∂u ∂v j ∂v ∂u (-) +(-) 2∂x ∂y 2∂x ∂y

∂f ∂=0. (2.3)

故C.-R. 方程(2.1)又能被简写成

定理4 设函数f (z ) 在H 平面内可微，以下两个条件是等价的： (1) (2)

∂f ∂z

=0.

∂u ∂x

=

∂v ∂u ∂v

, =

∂y ∂y ∂x

2．2 极坐标形式的C.-R. 方程

由H 平面的对称性只须在H (1)中讨论即可.

为方便令σ(z ) =r ，则∀z =x +jy ∈H (1)，它的双曲函数表达式为

z =r (coshθ+j sinh θ) ，

直角坐标与极坐标的转化关系为

x =r cosh θ, y =r sinh θ。

函数w =f (z ) =u (x , y ) +jv (x , y ) 又可以表示成w =f (z ) =u (r , θ) +jv (r , θ) .

此时，

∂u ∂r

=====

∂u ∂x ∂v ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x

cosh θ+sinh θ+sinh θ+cosh θ+

∂u ∂y ∂v ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y

sinh θ，

1∂v r ∂θ1∂u r ∂θ∂v ∂r

cosh θ， cosh θ， sinh θ，

由(2.1) 知

∂u ∂r 1∂v ∂v 1∂u

, =. (2.4) r ∂θ∂r r ∂θ

此为C.-R. 方程在极坐标系下的表达形式.

j θ

(, , ) θ(vr , ) 定理5 设w =f (z ) =u (r , θ) +jv (r , θ) ，若u r z =r δ(z ) e ，

θ在点(r , θ) 可

微，且满足(2.4)，则f (z ) 在点z 是可微的且

f '(z ) =(coshθ-j sinh θ)(

∂u ∂r +j

∂v ∂r )

证明 仅在H (1)内讨论，同理可以证明其它三种情况.

z =r (coshθ+j sinh θ) ，令x =r cosh θ，y =r sinh θ，它们有一阶连续偏导数，且

∂x

∂(x , y ) ∂(r , θ)

=∂y

∂x

=cosh θsinh θ

r sinh θr cosh θ

=r ≠0(r >0) ，由反函数存在定理知

∂y

∂r ∂θ∂r ∂θ

⎧x =r cosh θ

存在唯一的具有一阶连续的偏导数的反函数组⎨

⎩y =r sinh θr =r (x , y ) θ, =θ(x , y ) (x , y ) 可微，且有 在点

⎧r =r (x , y )

，所以⎨

⎩θ=θ(x , y ) sinh θr r

∂r ∂x ∂r ∂y

∂u ∂x +

=

∂y ∂θ∂x ∂θ

∂(x , y ) ∂(r , θ)

=cosh θ，

∂θ∂x ∂θ∂y

=-=

∂y ∂r ∂x ∂r

∂(x , y ) ∂(r , θ) ∂(x , y ) ∂(r , θ)

=-=

，

=-

∂(x , y ) ∂(r , θ)

=-sinh θ，

cosh θ

又因为u (r , θ), v (r , θ) 在点(r , θ) 可微，则复合函数u (x , y ), v (x , y ) 在点(x , y ) 可微，且

=∂u ∂r ∂r ∂x

+∂u ∂θ∂θ∂x

=

1∂v ∂r r ∂θ∂x

∂v ∂x

+r

∂v ∂θ∂r ∂x

=

1∂v ∂v ∂v (r sinh θ+r cosh θ) cosh θ+r (cosh θr ∂x ∂y ∂x ∂v ∂y

cosh θ-

2

∂v ∂y

sinh θ)(-sinh θ) r =∂u ∂y

=∂v ∂x

sinh θcosh θ+

∂v ∂x

sinh θcosh θ-

∂v ∂y

sinh θ=

2

∂v ∂y

同理有，故f (z ) 在点z 是可微的.

+j

∂v ) =[(

∂u ∂r

+∂u ∂θ

) +j (

∂v ∂r

+∂v ∂θ

)]

f '(z ) =(

∂u

∂x ∂x ∂r ∂x ∂θ∂x ∂r ∂x ∂θ∂x

∂u ∂u sinh θ∂v ∂v sinh θ=(cosh θ+(-)) +j (cosh θ+(-)) ∂r ∂θr ∂r ∂θr ∂u ∂v ∂v ∂u =(cosh θ-sinh θ) +j (cosh θ-sinh θ)] ∂r ∂r ∂r ∂r

∂u ∂v

=(coshθ-j sinh θ)(+j )

∂r ∂r

2．3 向量形式的C.-R. 方程

由(2.2)知(

∂∂x ∂∂x +j

∂∂y

)(u -jv ) =0，j =e 12，左乘和右乘e 1，利用e 1和e 2的结合性)(ue 1+ve 2) =0 (2.5)

2

和反交换性，有(e 1+e 2

2

∂∂y

此为向量xe 1+ye 2∈R 到ue 1+ve 2∈R 的C. —R. 方程的表达式.

注意这里 e 1=-e 2=1, e 1e 2=-e 2e 1.

定义1 若二元实函数ϕ(x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 存在对自变量的偏导数，则称向量

(∂ϕ∂x

P 0

2

2

,

∂ϕ∂y

) 为ϕ在点P 0的梯度，记作grad ϕ=(P 0

∂ϕ∂x

P 0

,

∂ϕ∂y

P 0

) .

定义9 若二元实函数ϕ(x , y ) 在某个H (t ), (t ∈{1,2, 3, 4})内有二阶连续偏导数且满足

2

2

Laplace 方程∆ϕ=

∂ϕ∂x

2

-

∂ϕ∂y

2

=0，则称ϕ(x , y ) 该H (t ) 内的调和函数.

定理6 若向量(u , v ) 是调和函数ϕ的梯度，则有(e 1 证明 grad ϕ=(而∆ϕ=

∂ϕ∂x

22

∂∂x

+e 2

∂∂y

)(ue 1+ve 2) =0.

∂ϕ∂ϕ∂ϕ∂ϕ

， , ) ，故u =, v =

∂x ∂y ∂x ∂y =∂u ∂x ,

-∂v ∂y

=0，因此∂ϕ∂x ∂y

2

-=

∂ϕ∂y

22

2

∂u ∂x

=

∂v ∂y

；

∂u ∂y

=∂v ∂x

又

(e 1

∂∂x

∂u ∂y

∂ϕ∂y ∂x

∂v ∂x

=，由于二阶偏导数连续，故，所以有

+e 2

∂∂y

)(ue 1+ve 2) =0.

2

向量xe 1+ye 2∈R 到Clifford 代数C l 2的偶部Cl 2+={u +ve 12u , v ∈R } H 的C. —R. 方程表示为(e 1

∂∂x -e 2

∂∂y

)(u +ve 12) =0. (2.6)

2．4 旋量形式的C.-R. 方程

由复数的矩阵表示知1=

2

2

⎛1⎝00⎫⎛0

, e =⎪12 1⎭⎝1

2

1⎫⎛1

，e =1⎪ 0⎭⎝0

2

0⎫⎛0

, e =⎪2 -1⎭⎝-11⎫

⎪ ， 0⎭

且满足：e 1=1, e 2=-1, e 12=-e 21, e 21=1，向量xe 1+ye 2∈R 对应着旋

⎛u

uf 1+vf 2=

⎝v

0⎫⎪， 0⎭

0⎫⎪ 0⎭0⎫

⎪ ， 0⎭

这里 f 1=

f 2=

⎛12

f 1=

⎝0

0⎫⎛1⎪ 0⎭⎝0

0⎫⎛1⎪= 0⎭⎝0

1

⎛1

(1+e 1) = 2⎝0

1

⎛0(e 12-e 2) = 2⎝1

0⎫

⎪=f 1，即f 1是幂等的. 0⎭

旋量空间S =Cl 2f 1={af 1a ∈Cl 2}是C l 2的左理想，这是因为∀a ∈Cl 2, ψ∈S , a ψ∈S . 又由于

(e 1

∂∂x

e 1f 1=f 1, e 2f 1=-f 2,

e 1f 2=-f 2, e 2f 2=f 1

，故有

+e 1f 2

∂v ∂x ∂v ∂x -e 2f 1∂u ∂y ∂u ∂y

∂u ∂y -e 2f 2∂v ∂y )

∂v ∂y

-e 2

∂∂y

)(uf 1+vf 2) =e 1f 1

=f 1

∂u ∂x

∂u ∂x ∂u ∂x

-f 2-

+f 2-f 1-∂v ∂x

=f 1(

∂v ∂y

) +f 2(

由于

∂u ∂x

=

∂v ∂y

，

∂v ∂x

=

∂u ∂y

, 故有

∂-e 2

∂∂y

)(uf 1+vf 2) =0. (2.7)

(e 1

∂x

此为旋量空间S 中的C. —R. 方程表达式.

定理7 设函数f (z ) 在H 平面内可微，以下个条件是等价的

(1) (e 1(2) (e 1

∂∂x ∂∂x +e 2-e 2

∂∂y ∂∂y

)(ue 1+ve 2) =0. )(uf 1+vf 2) =0.

参 考 文 献

[1] Baylis W E. Clifford(Geometric) Algebra with Applications to Physics, mathematics,and engineering[M]. Birkhauser, Boston,1996.

[2] 李武明. Clifford 代数与Minkowski 空间的性质[J]. 吉林大学学报，2000,(4)：13—16. [3] Wen Guocoshun,Luo Zhaofu. Hyperbolic Complex Functions and Hyperbolic Pseudoregular Functions. 宁厦大学学报，1998(1)：12—18.

[4] Yu Xuegang and Li wuming, The Four-dimensional Hyperbolic Spherical Harmonics[J]. Advances in Applied Clifford Algebra, 2000, 10(2):163-171

[5] Pertti Lounesto. Clifford Algebras and Spinor[M] . CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS ,1996

[6] 闻国椿. 非线性偏微分复方程. 北京：科学出版社，1999. [7] 于学刚. 双曲复函与相对论［J ］，数学物理学报，1995,15 (4)：435-441.

The Hyperbolic Complex and Cauchy—Riemann Equation