一次函数压轴题
⎧2x =y
1、如图,在平面直角坐标系中,点A 、B 分别在x 轴、y 轴上,线段OA 、OB 的长(0A
⎩3x -y =6
的解,点C 是直线y =2x 与直线AB 的交点,点D 在线段OC 上,OD=2 (1)求点C 的坐标; (2)求直线AD 的解析式;
(3)P是直线AD 上的点,在平面内是否存在点Q ,使以0、A 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形? 若存在,请直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
2、如图, 在平面直角坐标系xOy 中, 已知直线PA 是一次函数y=x+m(m>0) 的图象, 直线PB 是一次函数y =-3x +n (n >m ) 的图象, 点P 是两直线的交点, 点A 、B 、C 、Q 分别是两条直线与坐标轴的交点。
(1)用m 、n 分别表示点A 、B 、P 的坐标及∠PAB 的度数;
(2)若四边形PQOB 的面积是
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,且CQ:AO=1:2,试求点P 的坐标,2
并求出直线PA 与PB 的函数表达式;
(3)在(2)的条件下,是否存在一点D ,使以A 、B 、P 、D 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由。
3、如图, 矩形OABC 在平面直角坐标系内(O为坐标原点), 点A 在x 轴上, 点C 在y 轴上, 点B 的坐标为(-2,2), 点E 是BC 的中点, 点H 在OA 上, 且AH=
1
, 过点H 且平行于y 轴的HG 与EB 交于点G, 现将矩2
形折叠, 使顶点C 落在HG 上 ,并与HG 上的点D 重合, 折痕为EF, 点F 为折痕与y 轴的交点.
(1)求D 的坐标;
(2)求折痕EF 所在直线的函数表达式;
(3)若点P 在直线EF 上, 当△PFD 为等腰三角形时, 试问满足条件的点P 有几个(不要过程).
4. 如图,在平面直角坐标系中,函数y=2x+12的图象分别交x 轴,y 轴于A ,B 两点,过点A 的直线交y 轴正半轴与点M ,且点M 为线段OB 的中点.
(1)求直线AM 的函数解析式.
(2)试在直线AM 上找一点P ,使得S △ABP =S△AOB ,请求出点P 的坐标.
1
1、如图,直线y =-x +4与两坐标轴分别相交于A.B 点,点M 是线段AB 上任意一点(A.B 两点除外),过M 分别作MC ⊥OA 于点C ,MD ⊥OB 于D .
(1)当点M 在AB 上运动时,你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化?并说明理由;
(2)当点M 运动到什么位置时,四边形OCMD 的面积有最大值?最大值是多少?(配完全平方) (3)当四边形OCMD 为正方形时,将四边形OCMD 沿着x 轴的正方向移动,设平移的距离为a (0
a 的函数关系式.
图(1)
图(2)
图(3)
四、关系式问题
例3、已知如图,直线y
=+x 轴相交于点A ,与直线y =相交于点P . ①求点P 的坐标.
②请判断∆OPA 的形状并说明理由.
③动点E 从原点O 出发,以每秒1个单位的速度沿着O →P →A 的路线向点A 匀速运动(E 不与点O 、A 重合),过点E 分别作EF ⊥x 轴于F ,EB ⊥y 轴于B .设运动t 秒时,矩形EBOF 与△OPA 重叠部分的面积为S .求: S 与t 之间的函数关系式.
2、如图,已知直线l 1:y =-x +2与直线l 2:y =2x +8相交于点F ,l 1、
l 2分别交x 轴于点E 、G ,矩形ABCD 顶点C 、D 分别在直线l 1、l 2,
顶点A 、B 都在x 轴上,且点B 与点G 重合。
(1)、求点F 的坐标和∠GEF 的度数; (2)、求矩形ABCD 的边DC 与BC 的长; (3)、若矩形ABCD 从原地出发,沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移,设移动时间为t (0≤t ≤6)秒,矩形ABCD 与△GEF 重叠部分的面积为s ,求
s 关于t 的函数关系式,并写出相应的t 的取值范围。
2
3、如图过A (8,0)、B (0
,y 3x 交于点C .平行于y 轴的直线l 从原点O 出发,以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右平移,到C 点时停止;l 分别交线段BC 、OC 于点D 、E ,以DE 为边向左侧作等边△DEF ,设△DEF 与△BCO 重叠部分的面积为S (平方单位),直线l 的运动时间为t (秒). (1)直接写出C 点坐标和t 的取值范围; (2)求S 与t 的函数关系式;
(3)设直线l 与x 轴交于点P ,是否存在这样的点P ,使得以P 、O 、F 为顶点的三角形为等腰三角形,
若存在,请直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
4、如图,已知直线的解析式为
,直线与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点,直线
经过B 、
C 两点,点C 的坐标为(8,0),又已知点P 在x 轴上从点A 向点C 移动,点Q 在直线点P 、Q 同时出发,且移动的速度都为每秒1个单位长度,设移动时间为t 秒((1)求直线
的解析式.
从点C 向点B 移动. ).
(2)设△PCQ 的面积为S ,请求出S 关于t 的函数关系式.
练习1、已知直线y=x+4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,∠ABC=60°,BC 与x 轴交于点C .
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(1)试确定直线BC 的解析式.
(2)若动点P 从A 点出发沿AC 向点C 运动(不与A 、C 重合),同时动点Q 从C 点出发沿CBA 向点A 运动(不与C 、A 重合),动点P 的运动速度是每秒1个单位长度,动点Q 的运动速度是每秒2个单位长度.设△APQ 的面积为S ,P 点的运动时间为t 秒,求S 与t 的函数关系式,并写出自变量的取值范围.
(3)在(2)的条件下,当△APQ 的面积最大时,y 轴上有一点M ,平面内是否存在一点N ,使以A 、Q 、M 、N 为顶点的四边形为菱形?若存在,请直接写出N 点的坐标;若不存在,请说明理由.
2、已知直线l 经过A (6,0)和B (0,12)两点,且与直线y=x交于点C . (1)求直线l 的解析式;
(2)若点P (x ,0)在线段OA 上运动,过点P 作l 的平行线交直线y=x于D ,求△PCD 的面积S 与x 的函数关系式;S 有最大值吗?若有,求出当S 最大时x 的值;
(3)若点P (x ,0)在x 轴上运动,是否存在点P ,使得△PCA 成为等腰三角形?若存在,请写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
9、已知:等边三角形ABC 的边长为4厘米,长为1厘米的线段MN 在△ABC 的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动(运动开始时,点M 与点A 重合,点N 到达点B 时运动终止),过点
M 、N 分别作AB 边的垂线,与△ABC 的其它边交于P 、Q 两点,线段MN 运动的时间为t 秒.
(1)线段MN 在运动的过程中,t 为何值时,四边形MNQP 恰为矩形?并求出该矩形的面积; (2)线段MN 在运动的过程中,四边形MNQP 的面积为S ,运动的时间为t .求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围.
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C
Q
P
A M N
A M N
B
A
M
N
(1) (3,6) (2) y="-x+6" (3) Q 1
(-3 ,3 ) Q 2
(3 ,-3 ) Q 3 (3,-3) Q 4 (6,6)
解:(1)OA=6,OB=12 ……………………………………………………………1分 直线AB
……………………………………1分
联立 ……………………………………2分
∴ 点C 的坐标为(3,6)……………………………………………………1分 (2)
点D 的坐标为(2,4)……………………………………………………1分 设直线AD 的解析式为y=kx+b.
把A(6,0) ,D(2,4) 代人得 ……………………………………1分
解得
∴ 直线AD 的解析式为y=-x+6 ………………………………………1分 (3)存在. Q 1 (-3 ,3 )……………………………………………………………1分 Q 2 (3
,-3
)………………………………………………………………1分
Q 3 (3,-3) …………………………………………………………………1分 Q 4 (6,6) ……………………………………………………………………
解:(1)在直线y=x+m中,令y=0,得x=﹣m .
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∴点A (﹣m ,0).
在直线y=﹣3x+n中,令y=0,得.
∴点B (,0).
由,
得,
∴点P (,).
在直线y=x+m中,令x=0,得y=m, ∴|﹣m|=|m|,即有AO=QO. 又∠AOQ=90°,
∴△AOQ 是等腰直角三角形, ∴∠PAB=45度. (2)∵CQ :AO=1:2, ∴(n ﹣m ):m=1:2, 整理得3m=2n, ∴ n=m ,
∴==m ,
而S 四边形PQOB =S△PAB ﹣S △AOQ
=(+m)×(m )﹣×m ×m=m 2=
,解得m=4, ∴n=m=6,
6
∴P ().
∴PA 的函数表达式为y=x+4, PB 的函数表达式为y=﹣3x+6. (3)存在.
过点P 作直线PM 平行于x 轴,过点B 作AP 的平行线交PM 于点D 1,过点A 作BP 的平行线交PM 于点D 2,过点A 、B 分别作BP 、AP 的平行线交于点D 3. ①∵PD 1∥AB 且BD 1∥AP ,
∴PABD 1是平行四边形.此时PD 1=AB,易得;
②∵PD 2∥AB 且AD 2∥BP ,
∴PBAD 2是平行四边形.此时PD 2=AB,易得
; ③∵BD 3∥AP 且AD 3∥BP ,此时BPAD 3是平行四边形. ∵BD 3∥AP 且B (2,O ),
∴yBD 3=x﹣2.同理可得yBD 3=﹣3x ﹣12
,
得,
∴
.
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解:(1)函数的解析式为y=2x+12, ∴A (-6,0),B (0,12), ∵点M 为线段OB 的中点, ∴M (0,6),
设直线AM 的解析式为:y=kx+b,
∵
,
∴k=1,b=6,
∴直线AM 的解析式为:y=x+6; (2)P 1(-18,-12),P 2(6,12);
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