高中集合知识点总结

一、 集合的相关概念

1. 满足共同属性的对象的全体叫做集合，集合的研究对象叫元素.

例：军训前学校通知:8月15日8点,高一年级学生到操场集合进行军训.试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？每个学生与全体高一学生之间的关系？

问题：

世界上最高的山能不能构成一个集合？

世界上的高山能不能构成一个集合？

我们把研究的对象统称为“元素”,那么把一些元素组成的总体叫“集合”. 2. 元素与集合的关系有两种：属于，不属于

元素的特性（判断是否为集合的依据）：

（1）确定性：给定的集合,它的元素必须是明确的,即任何一个元素要么在这个集合中,要么不在这个集合中,这就是集合的确定性.

（2）无序性：即集合中的元素是没有顺序的.

（3）互异性：一个给定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的,这就是集合的互异性.

结论：

1、一般地，指定的某些对象的全体称为集合，标记：A，B，C，D，„ 集合中的每个对象叫做这个集合的元素，标记：a，b，c，d，„

2、元素与集合的关系

a是集合A的元素，就说a属于集合A ，记作 a∈A ，

a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作 aA

3、集合的中元素的三个特性：

（1）元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

（2）元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。比如：book中的字母构成的集合

（3）元素的无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

3.有限集、无限集、空集、单元素集

4.常用数集及其记法:自然数集记作N,正整数集记作N*或N，整数集记作,有理数集记作Q,实数集记作R.

注意：（1）{a},{(a,b)}都是单元素集

（2）{0},{},{}的区别

（3）{}具有全体之意

例1 判断以下元素的全体是否组成集合：

（1）大于3小于11的偶数；（ ） （2）我国的小河流； ( )

（3）非负奇数； （ ） （4）本校2009级新生；（ ）

（5）血压很高的人； （ ） （6）著名的数学家； （ ） 例题2 下列各组对象不能组成集合的是( )

A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题

1

C.被3除余2的所有整数 D.函数y=x图象上所有的点

练习

1.下列条件能形成集合的是( D )

A.充分小的负数全体 B.爱好足球的人

C.中国的富翁 D.某公司的全体员工

2．下列结论中，不正确的是( )

2A.若a∈N，则-aN B.若a∈Z，则a∈Z

C.若a∈Q，则｜a｜∈Q D.若a∈R，则aR

3、你能否确定，你所在班级中，高个子同学构成的集合？并说明理由。

你能否确定，你所在班级中，最高的3位同学构成的集合？

4、用符号或填空：

（1） -3 N； （2）3.14 Q； （3）

（5

； （6）1 Q； （4）0 Φ ； 31R； （7）+； （8） R。 25、下列对象能否组成集合:

(1)数组1、3、5、7;

(2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点;

(3)满足3x-2>x+3的全体实数;

(4)所有直角三角形;

(5)美国NBA的著名篮球明星;

(6)所有绝对值等于6的数;

(7)所有绝对值小于3的整数;

(8)中国男子足球队中技术很差的队员;

(9)参加2008年奥运会的中国代表团成员.

6、说出下面集合中的元素:

(1){大于3小于11的偶数};

(2){平方等于1的数};

(3){15的正约数}.

7、用符号∈或填空:

(1)1______N,0______N,-3______N,0.5______N,2______N;

(2)1______Z,0______Z,-3______Z,0.5______Z,2______Z;

(3)1______Q,0______Q,-3______Q,0.5______Q,2______Q;

(4)1______R,0______R,-3______R,0.5______R,2______R.

8、判断正误:

(1)所有属于N的元素都属于N*. ( )

(2)所有属于N的元素都属于Z. ( )

(3)所有不属于N*的数都不属于Z. ( )

(4)所有不属于Q的实数都属于R. ( )

(5)不属于N的数不能使方程4x=8成立. ( )

二、集合的表示方法

1.列举法：即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为 {a1,a2,a3,a4}，适用于有限集或元素间存在规律的无限集.

如“中国的直辖市”构成的集合，写成{北京,天津,上海,重庆}

由“maths中的字母” 构成的集合，写成{m,a,t,h,s}

由“book中的字母” 构成的集合，写成{b,o,k}

注：

（1） 有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：

{51，52，53，„，100}所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，„}

（2） a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素.

（3） 集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序.

2.描述法：用集合所含元素的共同特征来表示，即用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法，如{x|xP}

“中国的直辖市”构成的集合，写成{x|x为中国的直辖市}；

“方程x+5x-6=0的实数解” {x∈R| x+5x-6=0}={-6，1} 22

3.图示法（Venn图或数轴）

4.区间法：设a,bR ,且ab，规定

[a,b],(a,b],[a,b),(a,b),(a,),(,a)表示

例1.用列举法表示下列集合:

(1)小于5的正奇数组成的集合;

(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合;

(3)方程x2-9=0的解组成的集合;

(4){15以内的质数}; (5){x|6∈Z,x∈Z}. 3x

例2 已知M2,a,b,N2a,2,b2,且MN,求实数a,b的值.

例3 下列关系错误的是（ ）

A.{,A,B,C} B.0{0} C.0 D.0{}

练习

1．下列说法正确的是（ ）

（A）所有著名的作家可以形成一个集合

（B）0与{0}的意义相同

1（C）集合Axx,nN是有限集 n

（D）方程x22x10的解集只有一个元素

2．下列四个集合中，是空集的是

A．{x|x33} C．{x|x20} （ ） B．{(x,y)|y2x2,x,yR} D．{x|x2x10}

（ ）

D．{1}. xy23．方程组的解构成的集合是 xy0 A．{(1,1)} B．{1,1} C．(1,1)

4．已知A{2,1,0,1}，B{y|y|x|xA}，则B＝

5．若A{2,2,3,4}，B{x|xt2,tA}，用列举法表示6. 用列举法表示下列集合:

(1)x2-4的一次因式组成的集合;

(2){y|y=-x2-2x+3,x∈R,y∈N};

(3)方程x2+6x+9=0的解集;

(4){20以内的质数};

(5){(x,y)|x2+y2=1,x∈Z,y∈Z};

(6){大于0小于3的整数};

(7){x∈R|x2+5x-14=0};

(8){(x,y)|x∈N且1≤x

(9){(x,y)|x+y=6,x∈N,y∈N}.

7. 用列举法表示下列集合

①xN|x是15的约数._______;

②*x,y|x1,2,y1,2;________________________;

n③{x|x(1),nN}________;

｛数字和为5的两位数｝④________;

⑤(x,y)|3x2y16,xN,yN___________________________; 

三、集合间的基本关系

问题：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？

（1）A{1,2,3},B{1,2,3,4,5}；

(2)设A为某中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B为这个班学生的全体组成的集合；

(3)设C{x|x是两条边相等的三角形},D{x|x是等腰三角形};

(4)E{2,4,6},F{6,4,2}.

1. 对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，则两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集，记作AB（或BA），读作“A含于B”（或“B包含A”）.

若xA，则xB集合A是集合B的子集

注意：空集是任何集合的子集，即A

2. 真子集：AB且AB即集合A是集合B的真子集

3. 集相等：AB且AB

显然, A的子集除A外都是它的真子集. 由n个元素组成的集合,其子集个数为2n个, 真子集的个数为2n1个.

、、、、）填空： 例1 用适当的符号（、

①4  0,2,4,6 ②11 4m3,mZ

③1，2  1，2，3，4 ④5，6  6

例2 写出集合{a,b}的所有子集.

例3 B{x|xA}，A{a,b,c}列举法写出B，并说明此时A、B的关系.

b例4 设a,bR，集合{1,ab,a}{0,,b}，则ba（ ） a

A. 1 B. -1 C. 2 D. -2

练习：

1. 设集合A{x|x22}，a，则a与A的关系是__________.

2. 用列举法{x|x小于20的质数}___________.

3. 用列举法表示集合{y|y2x2,|x|3,xZ}_________.

4. 用描述法表示绝对值小于4的所有整数组成的集合：_________.

6,xZ,kZ}，则A用列举法表示为__________. 5. 集合A{x|xk1

6. 写出小于10的正偶数集合A的所有真子集

7. 已知集合A{x|xZ,x0}，B{y|yx2}，则A与B的关系是_______.

8. 已知集合A{x|1x2}，B{x|xa0}，若AB，则a的取值范围是________.

9、讨论下列集合的包含关系

①A={本年天阴的日子}，B={本年天下雨的日子}；

②A={-2，-1，0，1，2，3}，B={-1，0，1}。

（2）写出集合A={1，2，3}的所有非空真子集和非空子集

“、、、”10、用连接下列集合对：

①A={济南人}，B={山东人}；

②A=N，B=R；

③A={1，2，3，4}，B={0，1，2，3，4，5}；

④A={本校田径队队员}，B={本校长跑队队员}；

⑤A={11月份的公休日}，B={11月份的星期六或星期天}

11、若A={a，b，c},则有几个子集，几个真子集？写出A所有的子集.

12、设A={3m,mZ},B={6k，kZ},则A、B之间是什么关系？

四、集合的运算

问题：

(1)考察集合A={1，2，3},B={2,3,4}与集合C={2,3}之间的关系.

(2)考察集合A={1，2，3},B={2,3,4}与集合C={1,2,3,4}之间的关系.

1. 交集：一般地，由所有属于A又属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集． 记作A∩B（读作＂A交B＂），

即AB{xA且xB}

说明：（1）xABxA且xB

（2）xABxA或xB

（3）AB实质上是A、B的公共部分

性质：AAA，ABA，A，AUA, ABAAB

2. 并集：对于给定的两个集合A,B把它们所有的元素并在一起所组成的集合,叫做A,B的并集．记作A∪B（读作＂A并B＂），

即AB{xA或xB}

说明：（1）xABxA或xB

（2）xABxA且xB

（3）AB实质上是A、B凑在一起

性质：AAA，ABA，AA，AUU, ABBAB

3. 全集：一般地，若一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么称这个集合为全集. 通常用U表示.

4. 补集：对于一个集合A，由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为A的补集. 记CA{xU且xA}

显然: xCUAxA; xCUAxA

性质:CUCUAA, CUU, CUU, ACUAU, ACUA 考虑补集时,一定要注意全集;但全集因题而异.

例1 设A{(x,y)y4x6}, B{(x,y)y5x3}, 求AB.

例2 已知集合Axxa1, Bxx25x40, 若AB, 则实数a的取值范围是__________.

例3 设Axx是锐角三角形, Bxx是钝角三角形, 求AB, AB. 例4 已知: S{1,2,3,4,5,6,7,8}, A{1,2,3}, B{3,5,4,6}

求: CSA, CSB

例5 CZN, CR(CRQ)

练习

1. 设Aa2,a1,3, Ba3,2a1,a21, 且AB3, 则a_______. 2. 设UR, Ax|x0, Bx|x1, 则ACUB( )

A. x|0x1 B. x|0x1 C. x|x0 D. x|x1

13. 设集合Ax|x2, Bx|x21, 则AB( ) 2

1A. x|1x2 B. x|x1 C. x|x2 D. x|1x2 2

4. 集合A0,2,a, B1,a2, 若AB0,1,2,4,16, 则a的值为( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 4

5. 已知集合A1,3,5,7,9, B0,3,6,9,12, 则ACNB( )

A. 1,5,7 B. 3,5,7 C. 1,3,9 D. 1,2,3

6. 已知CZAxZ|x5, CZBxZ|x2, 则有( )

A. AB B. BA C.AB D. 以上都不对 