射影定理的推广及应用
射影定理的推广及应用
射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理,尽管义务教材中没有列入,但在几何证明及计算中应用很广泛,若能很好地掌握并灵活地运用它,常可取到事半功倍的效果。一般地,若将定理中的直角三角形条件非直角化,亦可得到类似的结论(这里暂且称之为射影定理的推广),而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路,熟练地掌握并巧妙地运用,定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时,“柳暗花明又一村”地迎刃而解。下面结合例子从它的变式推广上谈谈其应用。
一、射影定理
射影定理 直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条
线段的比例中项;且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜
边的比例中项。
如图(1):Rt △ABC中,若CD为高,则有CD =BD•AD 、
BC=BD•AB或AC=AD•AB。(证明略)
二、变式推广
1.逆用 如图(1):若△ABC中,CD为高,且有DC=BD•AD或AC
222222=AD•AB或BC=BD•AB,则有∠DCB=∠A或∠ACD=∠B,均可等到△A
BC为直角三角形。
(证明略)
2.一般化,若△ABC不为直角三角形,当点D满足一定条件时,类似地仍有部分结论成立。(后文简称:射影定理变式(2))
如图(2):△ABC中,D 为AB上一点,若∠CDB=∠
ACB,或∠DCB=∠A,则有△CDB∽△ACB,可得BC
22=BD•AB ;反之,若△ABC中,D为AB上一点,且有BC=B
D•AB,则有△CDB∽△ACB,可得到∠CDB=∠ACB,或
∠DCB=∠A。
(证明略)
三、应用
例1 如图(3),已知:等腰三角形ABC中,AB=AC,高AD、
BE交于点H,求证:4DH•DA=BC
2
分析: 易证∠BAD=∠CAD=900-∠C =∠HBD ,联想到射影定理变式(2),可得BD=DH•DA,又BC=2BD,故有结论成立。
(证明略)
例2 如图(4):已知⊙O中,D为弧AC中点,过点D的弦BD被弦AC分为4和12两部分,求DC。
分析:易得到∠DBC=∠ABD=∠DCE,满足射影定理变式(2)的条件,故有CD=DE•DB,易求得DC=8
(解略)
例3 已知:如图(5),△ABC中,AD平分∠BAC,AD的垂直平分线交AB于点E,交AD于点H,交AC于点G,交BC的延长线于点F,
求证:DF=CF•BF。
证明:连AF, ∵FH垂直平分AD,
∴FA=FD, ∠FAD=∠FDA,
∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD,
∴∠FAD-∠CAD=∠FDA-∠BAD,
∵∠B=∠FDA-∠BAD,
∴∠FAC=∠B,又∠AFC 公共,
∴△AFC∽△BFA,∴
2222AFC F=, BFAF2∴AF=CF•BF,∴DF=CF•BF。
例4 如图(6),已知⊙O中,AB 为直径,△ABC内接
于圆,AE =AC ,连BE 交圆于点F ,求证:∠ACF =∠AED 。
分析:由条件易知,△ABC为直角三角形,CD为高,由射影
定理有AC 2=AD•AB,又AE=AC ,故有AE 2=AD•AB,满足射影
定理变式(2)条件,易得结论成立。
例5 已知:如图(7),直线y=3x+3交x 轴于点A,交y 轴于点B,以点M(4,4
0)为圆心,MB为半径作⊙M交AB的延长线于D,与y 轴交于另一点C
(!)求点D的坐标。
(2)连AC、MD、CD,CD交x 轴于E,求证:△ACE≌△DME。
(3)若P为弧BC上任一点时(图8),PE的延长线交M于Q, 点,问当点P在弧
BC(不含端点B、C)上运动时,AP•AQ的值地否改变?试证明你的结论。
略解:(1)作DN⊥x 轴于N,运用割线定理及相似三角形的性质,可得D的坐标为(56117,)。 2525
(2)法1:由△COE ∽△DNE ,通过计算有EM =EC ,
AE =DE ,又∠AEC=∠DEM,
∴△ACE≌△DME。
法2:连BM ,∵∠ACE=∠ACB+∠BCD,
∠ACB=∠ABC=∠BCD+∠
BDC,
∴∠ACE=∠BDC+2∠BCD,
∵∠BDC=∠BME, ∠DMB=2∠BCD,
∴∠ACE=∠DME, 又∠AEC=∠DEM,DM=AC=5
∴△ACE≌△DME
(3)AP•AQ的值为定值。
连MP,
∵△ACE≌△DME,∴∠CAE=∠MDE,
∴△AMD∽△DME,
∴DM=ME•MA, ∵MP=MD,
∴MP=ME•MA, ∴△MPE∽△MAP,
∴∠MPE=∠EAP, ∵MQ=DM,
∴MQ=ME•MA, ∴△MEQ∽△MQA,
∴∠MEQ=∠MQA, ∠MQE=∠QAM,
∵∠MPE=∠MQE,∠MEQ=∠PEA,
∴∠EAP=∠QAM, ∠PEA=∠MQA,
∴△APE∽△AMQ ,∴222AEAP=, AQAM
22222∴AP•AQ=AE•AM=AM-EM•AM=AM-DM=8-5=39。
点评:本例(3)中围绕PM2=MQ2=DM2=ME•MA,反复运用变式推广2,正面用过来,反面用回去,其运用之妙,体现着数学的变化之美。
例6 已知:如图(9),直线y=2x+2交x 、y 轴于A、C两点,过A、C两点作⊙M,交轴于另一点B,交轴于另一点D,且圆心M在轴上
(1) 求点M的坐标。
(2) 以A为圆心,AC为半径作⊙A(如图10)
,点P为⊙A的优弧CD上任一
点,连PO并延长交A于Q点,求证:∠OBP=∠OBQ。
(3) 当点P在⊙A的优弧CD(不含端点C、D)上运动时,BP•BQ的值是
否发生改变?试证明你的结论。
略解:(1)易求得点M的坐标为(3,0)。(解略。) 2
(2)连AQ、AP、AC、BC,
∵∠ACO=∠ABC, ∴AC=AO•AB,
∵AQ=AC, ∴AQ=AO•AB,
∴△AOQ∽△AQB, ∴∠AQO=∠OBQ,
∵AP=AC, ∴AP=AO•AB,
∴△AOP∽△APB,∴∠APO=∠OBP,
∵∠APO=∠AQO, ∴∠OBP=∠OB
Q。
(3)∵△AOP∽△APB,∴∠AOP=∠APB,
∵∠AOP=∠QOB,
∴∠APB=∠QOB,又∠OBP=∠OB
Q, ∴△APB∽△QOB,∴222ABBQ=, BOBP
∴BP•BQ=AB••BO=5ⅹ4=20。