海南高考数学(理科)试题详细解答

海南高考数学真题

第I 卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知命题p :∀x ∈R ，sin x ≤1，则（ ） Ａ．⌝p :∃x ∈R ，sin x ≥1 Ｃ．⌝p :∃x ∈R ，sin x >1

Ｂ．⌝p :∀x ∈R ，sin x ≥1 Ｄ．⌝p :∀x ∈R ，sin x >1

2．已知平面向量a =(11)，，b =(1，-1) ，则向量

13

a -b =（ ） 22

-1) Ａ．(-2，，0) Ｃ．(-1

， Ｂ．(-21) ，2) Ｄ．(-1

3．函数y =sin 2x -

⎛⎝

π⎫⎡π⎤在区间的简图是（ ） -π⎪⎢⎥3⎭⎣2⎦

Ａ．

x

Ｂ．

Ｄ．

Ｃ．

4．已知{a n }是等差数列，a 10=10，其前10项和S 10=70，则其公差d =（ ） Ａ．-

2

3

Ｂ．-

1 3

Ｃ．

1 3

Ｄ．

2 3

5．如果执行右面的程序框图，那么输出的S =（ ） Ａ．2450 Ｃ．2550

2

Ｂ．2500 Ｄ．2652

6．已知抛物线y =2px (p >0) 的焦点为F ，

点P ，y 1) ，P ，y 2) ，P ，y 3) 在抛物线上， 1(x 12(x 23(x 3且2x 2=x 1+x 3， 则有（ ） Ａ．FP 1+FP 2=FP 3

Ｂ．FP 1+FP 2Ｄ．FP 2

22

2

=FP 3

2

Ｃ．2FP 2=FP 1+FP 3 =FP FP 3 1

(a +b ) 27．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则的最小值是（ ）

cd

Ａ．0

8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）

的尺

Ｂ．1

Ｃ．2

Ｄ．4

40003

cm 3

80003

cm Ｂ．3

3

Ｃ．2000cm

3

Ｄ．4000cm

Ａ．9

．若

正视图

值为

俯视图

侧视图

cos 2α，则cos α+sin α的=-

π2⎛⎫

sin α-⎪

4⎭⎝

（ ）

Ａ．

1x 2

Ｂ．-

1 2

Ｃ．

1 2

Ｄ．

2

2

10．曲线y =e Ａ．

在点(4，e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ｂ．4e

2

92e 2

Ｃ．2e

2

Ｄ．e

2

s 1，s 2，s 3分别

三名运动员这次差，则有（

）

表示甲、乙、丙测试成绩的标准

Ａ．s 3>s 1>s 2 Ｃ．s 1>s 2>s 3

Ｂ．s 2>s 1>s 3 Ｄ．s 2>s 3>s 1

12．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h 1，h 2，

h ，则h 1:h 2:h =（ ）

2:2

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为．

(x +1)(x +a )

为奇函数，则a =

x -5+10i

= ．15．i 是虚数单位，（用a +bi 的形式表示，a ，b ∈R ）

3+4i

14．设函数f (x ) =

16．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有

种．（用数字作答）

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得

∠BCD =α，∠BDC =β，CD =s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．

18．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥S -ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，∠BAC =90°，O 为BC 中点． （Ⅰ）证明：SO ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角A -SC -B 的余弦值．

S

O B

C

19．（本小题满分12分）

x 2

+y 2=1有两个不同的交点P 和在平面直角坐标系xOy

中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2Q ．

（I ）求k 的取值范围；

（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数k ，使得向量OP +OQ 与AB

共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．

20．（本小题满分12分）

如图，面积为S 的正方形ABCD 中有一个不规则的图形M ，可按下面方法估计M 的面积：在正方形

m

S ，假设正方形n

ABCD 的边长为2，M 的面积为1，并向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，以X 表示落入M 中的

C 点的数目． D （I ）求X 的均值EX ；

（II ）求用以上方法估计M 的面积时，M 的面积的估计值与实际值之差在

0.03) 内的概率． 区间(-0.03，

ABCD 中随机投掷n 个点，若n 个点中有m 个点落入M 中，则M 的面积的估计值为

附表：P (k ) =

∑C

t =0

k

t

10000

⨯0.25t ⨯0.7510000-t

B

2

21．（本小题满分12分） 设函数f (x ) =ln(x +a ) +

x

（I ）若当x =-1时，f (x ) 取得极值，求a 的值，并讨论f (x ) 的单调性； （II ）若f (x ) 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于ln

e

． 2

22．请考生在A ，B ，C 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

22．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，已知AP 是 O 的切线，P 为切点，AC 是 O 的割线，与 O 交于B ，C 两点，圆心O 在∠PAC 的内部，点M 是BC 的中点．

（Ⅰ）证明A

，P ，O ，M 四点共圆； （Ⅱ）求∠OAM +∠APM 的大小． A

22．Ｂ（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

O 1和 O 2的极坐标方程分别为ρ=4cos θ，ρ=-4sin θ．

（Ⅰ）把 O 1和 O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求经过 O 1， O 2交点的直线的直角坐标方程．

22．Ｃ（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲 设函数f (x ) =2x +-x -4． （I ）解不等式f (x ) >2； （II ）求函数y =f (x ) 的最小值．

2007年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题参考答案（宁夏）

一、选择题 1．Ｃ 7．Ｄ

2．Ｄ 8．Ｂ

3．Ａ 9．Ｃ

4．Ｄ

5．Ｃ

6．Ｃ 12．Ｂ

10．Ｄ

11．Ｂ

二、填空题 13．3

14．-1

15．1+2i

16．240

三、解答题

17．解：在△BCD 中，∠CBD =π-α-β． 由正弦定理得

BC CD

=．

sin ∠BDC sin ∠CBD

所以BC =

CD sin ∠BDC s ·sin β

=．

sin ∠CBD sin(α+β)

s ·tan θsin β

．

sin(α+β)

S

在Rt △ABC 中，AB =BC tan ∠ACB =

O B

C

18．证明：

（Ⅰ）由题设AB =AC =SB =SC =SA ，连结OA ，△ABC 为等腰直角三角形，所

以

OA =OB =OC =

2

2

，且AO ⊥BC ，又△SBC 为等腰三角形，故SO ⊥

BC ，且SO =SA ，2

从而OA +SO -SA ．

所以△SOA 为直角三角形，SO ⊥AO ． 又AO BO =O ． 所以SO ⊥平面ABC ． （Ⅱ）解法一：

取SC 中点M ，连结AM ，OM ，由（Ⅰ）知SO =OC ，SA =AC ，得OM ⊥SC ，AM ⊥SC ．

∴∠OMA 为二面角A -SC -B 的平面角．

由AO ⊥BC ，AO ⊥SO ，SO BC =O 得AO ⊥平面SBC ．

所以AO ⊥

OM ，又AM =

SA ，

故sin ∠AMO =

AO ． ==

AM ． 3

所以二面角A -SC -

B 的余弦值为

解法二：

以O 为坐标原点，射线OB ，OA 分别为x 轴、y 轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系O -xyz ．

，0，0) ，则C (-1，0，，0) A (01，，，0) S (0，01) ，． 设B (1

⎛1 1⎫ ⎛11⎫ ⎛11⎫ SC 的中点M -，0⎪，MO = 0，-⎪，MA = ，1，-⎪，SC =(-1，0，-1) ．

222222⎝⎭⎝⎭⎝⎭

∴MO ·SC =0，MA ·SC =0．

故MO ⊥SC ，MA ⊥SC ，等于二面角

A -SC -B 的平面角．

MO ·MA cos ==MO MA

所以二面角A -SC -

B

19．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l

的方程为y =kx

x 2

+(kx 2=1．

代入椭圆方程得2

整理得

⎛1⎫

+k 2⎪x 2++1=0 ① ⎝2⎭

⎛1⎫

+k 2⎪=4k 2-2>0，

⎝2⎭

直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于∆=8k 2-4

⎛⎫⎛-+∞⎪解得k

或k >．即k

的取值范围为 -∞， 2⎪． 222⎝⎭⎝⎭

（Ⅱ）设P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2) ，则OP +OQ =(x 1+x 2，y 1+y 2) ，

由方程①，x 1+x 2=-

． ②

2

1+2k

又y 1+y 2=k (x 1+x 2) + ③

而A B (01，) ，AB =() ．

所以OP +OQ 与AB 共线等价于x 1+x 2=y 1+y 2) ，

将②③代入上式，解得k =

．

由（Ⅰ）知k

20．解：

或k >，故没有符合题意的常数k ．

每个点落入M 中的概率均为p =

1

． 4

依题意知X ~B 10000⎪． （Ⅰ）EX =10000⨯

⎛⎝1⎫4⎭

1

=2500． 4

（Ⅱ）依题意所求概率为P -0.03

⎛⎝X ⎫

⨯4-1

10000⎭

X ⎛⎫

P -0.03

10000⎝⎭

2574

=

t =2426

∑C

t 10000

⨯0.25t ⨯0.7510000-t

2425t =0

2574

=

t =2426

∑C

t

10000

⨯0.25⨯0.75

t 10000-t

t

-∑C 10000⨯0.25t ⨯0.7510000-1

=0.9570-0.0423=0.9147．

21．解： （Ⅰ）f '(x ) =

1

+2x ， x +a

3． 2

2x 2+3x +1(2x +1)(x +1)

=从而f '(x ) =． 33x +x +22

依题意有f '(-1) =0，故a =

3⎛3⎫

f (x ) 的定义域为 -，+∞⎪，当-0；

2⎝2⎭

当-1-

1

时，f '(x )

1

时，f '(x ) >0． 2

从而，f (x ) 分别在区间 -，-1⎪，+∞⎪单调增加，在区间 -1，- -，

⎛3

⎝2⎫⎛1⎭⎝2⎫⎭⎛⎝1⎫

⎪单调减少． 2⎭

2x 2+2ax +1

+∞) ，f '(x ) =（Ⅱ）f (x ) 的定义域为(-a ，．

x +a

方程2x +2ax +1=0的判别式∆=4a -8． （ⅰ）若∆

0，即a

2

2

f (x ) 的定义域内f '(x ) >0，故f (x ) 的极值．

（ⅱ）若∆=

0，则a

a =

2

若a =

x ∈(．

+) ，f '(x ) =

⎛⎫⎛' +∞⎪当x =时，f (x ) =

0，当x ∈ 时，f '(x ) >0，所以f (x ) 无极值． ⎪⎭⎝⎝⎭

2

若a =

x ∈>0，f (x ) 也无极值．

+) ，f '(x ) =

-a （ⅲ）若∆>

0，即a >

a

0有两个不同的实根x 1=

，

2

2

-a x 2=

2

当a

当a >

由根值判别方法知f (x ) x 1>-a ，x 2>-a ，f '(x ) 在f (x ) 的定义域内有两个不同的零点，

在x =x 1，x =x 2取得极值．

综上，f (x ) 存在极值时，a

的取值范围为+) ．

f (x ) 的极值之和为

A

1e

f (x 1) +f (x 2) =ln(x 1+a ) +x 12+ln(x 2+a ) +x 22=ln +a 2-1>1-ln 2=ln ．

22

22．Ａ

（Ⅰ）证明：连结OP ，OM ．

因为AP 与 O 相切于点P ，所以OP ⊥AP ． 因为M 是 O 的弦BC 的中点，所以OM ⊥BC ．

于是∠OPA +∠OMA =180°．

，P ，O ，M 四点共圆． 由圆心O 在∠PAC 的内部，可知四边形APOM 的对角互补，所以A

，P ，O ，M 四点共圆，所以∠OAM =∠OPM ． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A

由（Ⅰ）得OP ⊥AP ．

由圆心O 在∠PAC 的内部，可知∠OPM +∠APM =90°． 所以∠OAM +∠APM =90°． 22．Ｂ

解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．

2

（Ⅰ）x =ρcos θ，y =ρsin θ，由ρ=4cos θ得ρ=4ρcos θ．

所以x +y =4x ．即x +y -4x =0为 O 1的直角坐标方程．

2222

同理x 2+y 2+4y =0为 O 2的直角坐标方程．

22⎧⎧x 2=2⎪x +y -4x =0，⎧x 1=0，（Ⅱ）由⎨2解得． ⎨⎨2⎪⎩y 1=0，⎩y 2=-2⎩x +y +4y =0

0) 和(2，即 O 1， O 2交于点(0，-2) ．过交点的直线的直角坐标方程为y =-x ．

22．Ｃ解： （Ⅰ）令y =2x +-x -4，则 1⎧-x -5， x ≤-，⎪2⎪1⎪y =⎨3x -3， -

⎝3⎫⎭

所以2x +-x -4>2的解集为(-x ，-7) ，+x ⎪． （Ⅱ）由函数y =2x +-x -4的图像可知，当x =-

⎛5⎝3⎫⎭19时，y =2x +-x -4取得最小值-． 22