高中数学立体几何教学案1.2.3(2)

第2课时 直线与平面垂直

[基础·初探]

直线与平面垂直的定义

如果一条直线a 与一个平面α内的__________直线都垂直，则称直线a 与平面α互相垂直， 符号表示：_____. 直线a 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a 的垂面，

垂线和平面的交点称为垂足．

图形表示：

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若直线l 与平面α内无数条直线垂直，则l ⊥α.( )

(2)若直线l 垂直于平面α，则l 与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．( ) (3)若a ∥b ，a ⊂α，l ⊥α，则l ⊥b .( ) (4)若l ⊥平面ABCD ，则l ⊥BC .( ) 直线与平面垂直的判定 直线与平面垂直的判定定理

1．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况：

①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．能判定直线与此平面垂直的有________． 2．下列条件中，能判定直线l ⊥平面α的有________．

①l 与平面α内的两条直线垂直；②l 与平面α内的无数条直线垂直； ③l 与平面α内的某一条直线垂直；④l 与平面α内的任意一条直线垂直． 直线与平面垂直的性质 直线与平面垂直的性质定理

1

已知α是平面，a ，b 是直线，且a ∥b ，a ⊥平面α，则b 与平面α的位置关系是________． 距离及直线与平面所成的角 1．距离

(1)点到平面的距离

从平面外一点引平面的垂线，这个点和______间的距离，叫做这个点到这个平面的距离． (2)直线和平面的距离

一条直线和一个平面平行，这条直线上__________到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离． 2．直线与平面所成的角

平面的__________与它在这个______________所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角． 特别地：如果直线和平面垂直，那么就说这条直线与平面所成的角是______； 如果直线与平面平行或在平面内，则它们所成的角是______的角．

1． 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝1，则点C 到平面B 1BDD 1的距离为________，

AB 到平面A 1B 1CD 的距离为________.

2． 如图1-2-55所示，三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝AB ，则

直线PB 与平面ABC 所成的角等于________．

如图1-2-56所示，已知P A 垂直于⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径， C 是⊙O 上任意一点，过点A 作AE ⊥PC 于点E ，求证：AE ⊥平面PBC .

[再练一题]

1． 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，

O 是底面ABCD 的中心，求证：EF ⊥平面BB 1O .

2

如图1-2-58，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在A 1D ，AC 上， 且EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC . 求证：EF ∥BD 1.

[再练一题]

2．如图1-2-59，已知P A ⊥矩形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB ，PC 的(1)求证：MN ⊥CD ；(2)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD .

探究1 如图1-2-60，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1.

点B 与D 1到平面A 1C 1CA 的距离分别是多少 ？BC 1到平面ADD 1A 1的距离是多少？

探究2 如图1-2-61，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， (1)直线BD 1与平面AC 及平面A 1C 1所成的角相等吗？ (2)A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角是多少度？

如图1-2-62所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝CC 1， M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1的中点．

(1)求证：MN ⊥平面A 1BC ；(2)求直线BC 1和平面A 1BC 所成的角的大小．

3

中点．

[再练一题]

3．如图，正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，侧棱长为2，E ，F ，G 分别为CC 1，DD 1，AA 1的中点． (1)求证：A 1F ⊥平面BEF ；(2)求证：GC 1∥平面BEF ； (3)求直线A 1B 与平面BEF 所成的角的正弦值．

[构建·体系]

1．直线l ⊥平面α，直线m ⊂α，则l 与m 不可能______(填序号) ． ①平行；②相交；③异面；④垂直．

2．空间中直线l 和三角形的两边AC ，BC 同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB 的位置关系是________． 3．在△ABC 中，∠ABC ＝90°，P A ⊥平面ABC ，则图1-2-64中直角三角形的个数为________．

3． 已知平面α外两点A ，B 到平面α的距离分别是2和4，则A ，B 的

中点P 到平面α的距离是______.

4． 如图1-2-65，在三棱锥P -ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝BC ，且∠BAC ＝90°，

求P A 与底面ABC 所成角．

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