极大无关组
183. 判断向量组 1(1,0),(0,1)与1(1,2),2(3,4)是否等价.
184. 判断向量组1(1,0),(0,1)与1(1,2),2(0,0)是否等价.
185. 设Rn中向量组1(1,0,,0),2(1,1,,0),,n(1,1,,1).求证: 向量组 1,2,,n与向量组1(1,0,,0),2(0,1,,0),,n(0,0,,1)等价.
186. 设1,2,,s(s2)为Rn中的s个线性无关的向量, 任取s-1个数k1,k2,,ks1,构造向量组1,2,,s1其中iikis,(i1,2,,s1).求证: 向量组1,2,,s1线性无关.
187. 设在向量组1,2,,s(s2)中, 并且i不能由1,2,,i1(i0,2,,s)线性表出.求证: 向量组1,2,,s线性无关.
188. 设向量可由向量组1,2,,s线性表出, 但向量不能由向量组1,2,,s1 线性表出. 证明: （1,2,,s）～（1,2,,s1,）。
189. 证明:R中的向量组1,2,,n线性无关的充要条件是R中的任意一个向量可由向量组1,2,,n线性表出.
190. 设向量组1,2,,s的秩为r(r
191. 如果向量组1,2,,s可由向量组1,2,,t线性表出, 求证:
(1) r(1,2,,s)r（1,2,,t）；
(2) {1,2,,s,1,2,,t}～{1,2,,t}。
192. 设A, B为m×n矩阵, 求证: r(A+B)≤r(A)+r(B).
193. 设A为m×n矩阵, B为sn矩阵, 求证:r(AB)≤min{r(A), r(B)}.
194. 设向量组(1) 1,2,,s;(2) 1,2,,t;(3) 1,2,,s,1,2,,t; 的秩分别为r1,r2,r3,求证: max{r1,r2}r3r1r2.
195. 设向量组1,2,,s可由向量组1,2,,t线性表出, 且r(1,2,,s)= nnr(1,2,,t),求证: 向量组1,2,,t可由向量组1,2,,s 线性表出.
196. 设A为mn矩阵, B为n阶矩阵, 且r(A)=n.求证: 如果AB=O, 则B=O;
197. 设A为mn矩阵, B为n阶矩阵, 且r(A)=n.求证: 如果AB=A, 则B=I.
198. 设 1(1,2,3),2(3,0,1),3(9,6,7),1(0,1,1),2(a,2,1), 3(b,1,0),且r(1,2,3)r(1,2,3),3可由向量组1,2,3线性表出. 求a, b 的值.
1aaa1a199. 设A为n阶矩阵(n≥3), aR,且r(A)=n-1. 求a. aa1
200. 求向量组1(1,2,3),2(0,2,3),3(1,3,5),4(2,0,3)的一个极大无关组,并将其余向量表为该极大无关组的线性组合.
201. 求向量组1(1,0,3,4),2(2,1,3,0),3(0,1,1,0)的一个极大无关组,并将其余向量表为该极大无关组的线性组合.
202. 求向量组
1(1,2,3,4),2(2,3,4,5),3(3,4,5,6),4(4,5,6,7),5(5,6,7,8)的一个极大无关组,并将其余向量表为该极大无关组的线性组合.
203. 设A, B均为n阶矩阵, 且r(A)≤n, r(B)≤n, 证明: r(OAO)r(A)r(B). B
AC204. 设A, B均为n阶矩阵, 且r(A)≤n, r(B)≤n, 证明:r(OB)r(A)r(B)(C为任
意的n阶矩阵).
205. 设A为s×n矩阵, B是由A的前m行构成的m×n矩阵, 且r(A)=r. 求证: 且r(B)≥ r+m-s.
206. 证明: 任何秩为r的矩阵可以表示为r个秩为1的矩阵的和,但不能表示为少于r个秩为1的矩阵的和.
207. 设A是n阶矩阵A的伴随矩阵. 求证:
n,当r(A)n,r(A)1,当r(A)n1,
0,当r(A)n1.
208. 设A是n阶可逆矩阵A的伴随矩阵(n>2). 求证:(A)An2A.