全等三角形探究题
全等三角形探究题
随着素质教育不断深入，新课程标准的全面实施，关于三角形全等问题的中考题，已不在是课本上的封闭的单一的证明题型一统天下了，出现了许多新题型，这类题更能考查同学们的灵活运用知识的能力和创新精神及实践能力，本文结合中考试题，举例说明如下，供同学们参考．
一、探究全等的条件
例1. 如图，已知AB ⊥CF ，DE ⊥CF ，垂足分别为B ，E ，AB =DE ．请添加一个适当条件，使△ABC ≌△DEF ，．．
并予以证明．
添加条件： ．
A F E D C
分析：本小题是探索条件类题目，只要根据结论添加即可，本题的两个三角形中已有一边一角对应相等，可从边和角两个角度考虑添加. 从边可考虑SAS ，添加BC=EF或BF=CE；从角可考虑AAS 、ASA ，故可添加∠A=∠D 或∠C=∠F. 解：添加条件：∠C =∠F （或AC =DF ，或CE =FB 等）．
证明：∵AB ⊥CF ，DE ⊥CF ，
∴∠ABC =∠DEF =90°．
又∵AB =DE ，∠C =∠F ，
∴△ABC ≌△DEF ．
评注：这类题目不但全面考查了三角形全等的各种判定方法，而且对同学们灵活应用知识解题的能力提出了更高的要求. 多练习一些这样的题目，有助于知识的牢固掌握.
二、探究全等的结论
例2. 如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE=FE，AE=CE，AB 与CF 有什么位置关系？证明你的结论．
分析：从图上看，可猜想AB 与CF 是平行关系，要想证明，可考虑角的相等，这时可利用三角形全等来推出角的相等，进而由角的相等推出线段的平行.
解：解：AB ∥CF ．
证明：在△ABC 和△CFE 中，由DE=FE，∠AED=∠CEF ，AE=CE．
得△ADE ≌△CFE ．
所以∠A=∠FCE ．
故AB ∥CF ．
评注：这类题目一改传统的证明题，在问题的设计上具有探究性和开放性. 是新课改的趋势之一.
三、全等条件和结论的组合探究
例3. 如图，给出五个等量关系：①AD ＝BC ，②AC ＝BD ，③CE ＝DE ，④∠D ＝∠C ，⑤∠DAB ＝∠CBA ．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，写出一个正确命题(只需写出一种情况) ，并加以证明． 例3
分析：本题应从三角形全等方面来考虑，要证三角形全等，应有三角形全等的三个条件，而题目要求只能用所给等量关系．．
中的两个，因此就要找出图形隐含的等量关系．如AB 可作公共边；而∠DEA ＝∠CDB 是对顶角等. ．．
解：以AB 为公共边来考虑以下几种有：
（1）①AD ＝BC ，⑤∠DAB ＝∠CBA ，AB ＝BA ，可证得△DAB ≌△CBA ；从而证得②，③，④的结论．
（2）①AD ＝BC ，②AC ＝BD ，AB ＝BA ，可证得△DAB ≌△CBA ；从而证得③，④，⑤的结论．
（3）②AC ＝BD ，AB ＝BA ，⑤∠DAB ＝∠CBA ，可证得△DAB ≌△CBA ；从而证得①，③，④的结论．
以∠DEA ＝∠CDB ，是对顶角来考虑有：
（1）③CE ＝DE ，④∠D ＝∠C ，∠DEA ＝∠CDB ，可证得△DAE ≌△CBE ；从而证得①，②，⑤的结论．
（2）①AD ＝BC ，④∠D ＝∠C ，∠DEA ＝∠CDB ，可证得△DAE ≌△CBE ；从而证得②，③，⑤的结论．
评注：本题集开放性和设计于一体，其设计背景是利用三角形的全等变换，结合所给出的制约条件，编制真命题．这类问题灵活性高，思路开阔，充分体现同中求异的思维，也是近几年各类考试中常出现的新题型．