四种命题与充要条件

2013高考一轮复习理数（二）

四种命题与充要条件

&课程解读

一、学习目标：

1. 掌握一个命题的原命题、逆命题、否命题、逆否命题的四种命题的关系及其应用. 掌握两个条件的充分性，必要性、充要性的判断方法（定义法、集合法、命题法）.

2. 理解全称量词与存在量词的意义，能正确的对含有一个量词的命题进行否定. 了解逻辑联结词“且”，“或”，“非”的含义，并能判断“或”“且”“非”命题的真假及其应用.

3. 在利用上述知识解决实际问题时，会运用函数的思想、等价转化的思想、数形结合的思想.

二、重点、难点：

重点：

（1）命题的等价性及其应用；必要、充分、充要条件的判断及其应用.

（2）全称命题、特称命题、的真假判断；“或”“且”“非”命题的真假判断及其应用. 难点：必要、充分、充要条件的判断及其应用.

三、考点分析：

新课标高考考查常用逻辑用语这部分内容时，主要以考查基础知识为主，一般多为选择、填空题. 试题难度较小，对充分条件、必要条件、充要条件的判断及其应用可能会出大题或出现在大题的某一问中.

&知识梳理

1. 四种命题，（原命题、否命题、逆命题、逆否命题） （1）四种命题的形式

原命题：若p ，则q ；否命题：若⌝p , 则⌝q ； 逆命题：若q ，则P ；逆否命题：若⌝q , 则⌝p ；

（2）等价关系（互为逆否命题的等价性） ①原命题与其逆否命题同真、同假. ②否命题与逆命题同真、同假.

2. 充分条件、必要条件、充要条件

（1）定义：若p 成立，则q 成立，即p ⇒q 时，p 是q 的充分条件. 同时q 是p 的必要条件. 若p 成立，则q 成立，且q 成立，则p 成立 ，即p ⇒q 且q ⇒p ，则p 与q 互为充要条件.

（2）判断方法：

①定义法：就是直接利用充分条件和必要条件的定义，进行判断. 这是最常用，最基本的办法.

②集合法：设使p 成立的条件组成的集合是A 使q 成立的条件组成的集合是B ，若A ⊆B 则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件. 若A=B 则p 与q 互为充要条件.

③命题法：假设命题：“若p 则q ”. 当原命题为真时，p 是q 的充分条件. 当其逆命题也为真时，p 与q 互为充要条件.

注意：充分条件与充分非必要条件的区别：从集合法判断看，前者的集合A 是集合B 的子集，后者的集合A 是集合B 的真子集.

3. 全称命题、特称命题（含有全称量词的命题叫全称命题，含有存在量词的命题叫特称命题，也叫存在命题）.

（1）关系：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题. （2）全称量词与特称量词的否定.

（1）构造复合命题的方式：简单命题+逻辑联结词（或、且、非）+简单命题. （2）复合命题的真假判断：

条件 共同否定.

注意：后者结论与

&典型例题

例1. （命题的概念及其等价性）

1. 命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ） A . “若一个数是负数，则它的平方不是正数” B . “若一个数的平方是正数，则它是负数” C . “若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D . “若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

22. 命题：“若x

，或x ≤-1 A . 若x ≥1，则x ≥1

2

2

B . 若-1

，或x 1 C . 若x >1

，或x ≤-1，则x ≥1 D . 若x ≥1

3. 在下列命题中，真命题是（ ） A . 命题“若ac ＞bc ，则a ＞b ” B . 命题“若b=3，则b 2=9”的逆命题 C . 命题“当x=2时，x 2－3x ＋2=0”的否命题 D . 命题“相似三角形的对应角相等”的逆否命题 【思路分析】

1. 利用命题的四种条件与结论的关系进行判断.

2. 原命题“若p ，则q ”的逆否命题是：“若⌝q , 则⌝p . ” 3. 利用四种命题的等价性进行判断. 【解题过程】

1. 因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”故选B .

22

2. “若x

2

2

，或x ≤-1，则x ≥1”. 选D . “x ≥1或x ≤-1”故其逆否命题是：“若x ≥1

3. 由于原命题“相似三角形的对应角相等”为真，故其逆否命题为真. 选D . 【解题后的思考】对命题真假的判断，可以根据条件与结论的关系直接判断，也可间接判断，即利用四种命题的等价性判断. 注意命题的否定与否命题的区别.

例2. （真假命题的判断） 1. 在下列命题中：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；其中，为真命题的是

A . ①和② B . ②和③ C . ③和④ D . ②和④

2. 函数①f (x )=lg x -2+1，②f (x )=(x -2)，③f (x )=cos (x +2). 判断如下

2

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.

)

三个命题的真假：

命题甲：f (x +2)是偶函数；

(-∞, 2)上是减函数，在区间(2, +∞)上是增函数； 命题乙：f (x )在区间

命题丙：f (x +2)-f (x )在(-∞, +∞)上是增函数. 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（ ）

A . ①③

B . ①② C . ③ D . ② 【思路分析】

1. 利用立体几何中的线线、线面、面面平行与垂直的判定与性质定理进行判断，或构造立体几何图形进行判断.

2. 根据三个函数的性质进行判断. 【解题过程】

1. 命题①：若一个平面内的两条直线是平行直线且平行于另一个平面，则这两个平面可能相交. 故命题①错误. 命题②：根据面面垂直判定定理判断，可知是正确的命题. 命题③：垂直于同一直线的两条直线有可能相交. （在平面几何中成立，但不能推广到空间几何中）. 命题④：此命题的逆否命题正确，故原命题正确. 选D .

2. ①函数f (x )=lg x -2+1，f (x +2) =lg |x |+1满足命题甲. 设

)

⎧x -1, (x ≥2) h (x ) =|x -2|+1=⎨，h （x ）在区间(-∞, 2)内递减. 在区间（2，+∞）内递

3-x , (x

增. 故由复合函数的单调性知：f (x )=lg x -2+1在区间(-∞, 2) 内递减，在区间(2, +∞)上是增函数；满足命题乙.

)

G (x ) =f (x +2) -f (x ) =lg

|x |+1

，函数G （x ）的定义域是R ，函数G （x ）

|x -2|+1

在R 上不是递增函数. 不满足命题丙.

②对于函数f (x )=(x -2)，易验证满足命题甲、乙、丙.

2

③对于函数f (x )=cos (x +2)，f (x +2) =cos(x +4) 不是偶函数. 综合上述的分析知：函数②满足命题甲、乙、丙，故选D .

【解题后的思考】关于命题的判断是新课标高考命题的重点题型之一，可根据命题的概念及命题的等价性进行判断.

例3. （或、且、非命题的概念及真假判断）

已知a >0且a ≠1，条件P ：函数y =log a (x +1) 在（0，+∞）内单调递减. 条件q ：函数y =x +（2a -3) x +1与x 轴交于不同的两点. 若p ∨q 为真且p ∧q 为假，求a 的取值范围.

【思路分析】由已知p ∨q 为真且p ∧q 为假知：条件p 与q 只有一个为真.

【解题过程】条件p 为真时：函数y =log a (x +1) 在（0，+∞）内单调递减⇒01. 条件q 为真时：(2a -3) -4>0⇒a

即条件q 为假时a 的取值范围是

2

2

15

或a >. 22

15

≤a ⅰ当p 为真q 为假时，则a ∈(0, 1) {[, 1) (1, ]}，故所求a 的取值范围是[, 1) . ⅱ若

p

假

q

真时，注意到已知条件

a>0

且a ≠1，则

125212

155

a ∈(1, +∞) {(0, ) (, +∞)}=(, +∞)

222

综合上述分析可知：所求a 的取值范围是[, 1) (, +∞)

【解题后的思考】对于或、且、非命题的真假判断要根据真值表进行判断，其应用主要是根据真值的判断情况求参数的范围. 解决此类问题要注意分类讨论的数学思想的应用.

例4. （全称命题、条件命题的真假判断） 1. 有四个关于三角函数的命题：

1

252

p 1：∃x ∈R ，sin 2p 3：∀x ∈[0, π

]其中假命题的是： A . p 1，p 4 B . p 2，p 4 C . p 1，p 3 D . p 2，p 4

x 12x +cos = p 2： ∃x 、y ∈R ，sin （x-y ）=sinx-siny 222

π

=sinx p 4： sinx=cosy⇒x+y=

22. 命题“存在x 0∈R ，2

x

x 0

≤0”的否定是

A . 不存在x 0∈R ，20>0 B . 存在x 0∈R ，2

x 0

≥0

x x

C . 对任意的x ∈R ，2≤0 D . 对任意的x ∈R ，2>0 【思路分析】

1. 对四个命题逐一判断，命题p 3, p 4是全称命题，p 1, p 2是特称命题. 要说明全称命题是错误的，可举反例加以验证. 要说明特称命题是假命题，必须说明所有的对象都不满足这一性质.

2. “存在x 0∈R ”的否定是“对任意的x ∈R ”，同时条件与结论共同否定. 【解题过程】

1. p 1：∃x ∈R ，sin

2

x 12x +cos =是假命题；p 2是真命题，如x=y=0时成立；p 3

222

是真命题， ∀x ∈[0, π

]，sin x ≥0，

==sin x =sin x ；p 4是假

命题，如x=

π

2

,y=2π时，sinx=cosy,但x+y≠

π

2

. 选A.

x 0

2. 由于“存在x 0∈R ”的否定是“对任意的x ∈R ”，“2故选D .

≤0”的否定是“2x >0”

【解题后的思考】判断全称命题与特称命题的真假要掌握判断的方法，全称命题与特称命题的转换的实质是命题的否定，要注意全称量词与特称量词的转换.

例5. （充分条件、必要条件、充要条件的判断） 1. 下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是（A ）p ：a +c ＞b+d （B ）p ：a ＞1，b>1 （C ）p ：x=1 （D ）p ：a ＞1

q ：a ＞b 且c ＞d q ：f (x ) =a x -b (a >0，且a ≠1) 的图象不过第二象限q ：x 2=x q ：f (x ) =log a x (a >0，且a ≠1) 在(0,+∞) 上为增函数2. 已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，现有下列命题：

①r 是q 的充要条件； ②p 是q 的充分条件而不是必要条件； ③r 是q 的必要条件而不是充分条件； ④┐p 是┐s 的必要条件而不是充分条件； ⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件. 则正确命题的序号是（ ） A . ①④⑤ 【思路分析】

1. 本题只要由选项验证：“q ⇒p 但p 不能推出q ”成立即可. 2. 画图验证即可. 【解题过程】

1. 由a ＞b 且c ＞d ⇒a +c ＞b+d，而由a +c ＞b+d 不能推出a ＞b 且c ＞d ，故q 能推出p ，而p 不能推出q ，故选A ..

2. 画出示意图：由图知：r ⇒q 且q ⇒r 由图知：r 是q 的充要条件，故命题③错误.

①正确.

由图知：p ⇒r ⇒s ⇒q ，但q 不能推出p ，故②正确.

B . ①②④

C . ②③⑤

D . ②④⑤

由图知p ⇒s , 但s 不能推出p ，故┐p 是┑s 的必要条件而不是充分条件，命题④正

确.

由图r 是s 的充要条件，故命题⑤错误. 选B .

【解题后的思考】对充分、必要、充要条件的判断是新课标高考考查重要题型之一，要掌握它们的判断方法，对较为复杂的关系，可通过示意图判断.

&提分技巧

在新课标高考中，考查常用逻辑用语知识的题一般都在中等难度以下，考查的都是基础知识，大多出现的题型是选择、填空题. 同学们只要掌握这部分的基础知识即可，不需要做太多的难题，在第一轮的复习中关键是掌握命题的概念及其等价关系、命题的真假判断、充要条件的判断方法、“或、且、非”命题的含义及其真假判断，以及全称命题、特称命题等基础知识.

&同步练习（答题时间：60分钟）

一、选择题：

1. 给出命题：若函数y =f (x ) 是幂函数，则函数y =f (x ) 的图象不过第四象限. 在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ ） A . 3 B . 2

C . 1

D . 0

2. 已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数， 则下列命题中为真命题的是（ ）

A . (⌝p ) ∨q B . p ∧q C . (⌝p ) ∧(⌝q ) D . (⌝p ) ∨(⌝q ) 3. 设α，β∈ -⎪，那么“α

B . 必要而不充分条件 D . 既不充分也不必要条件

⎛ππ⎫

⎝22⎭

4. 对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题： ①“a =b ”是“ac =bc ”的充要条件； ②“a +5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件 ③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件； ④“a

A . 1 B . 2 . C 3 D . 4 5. 已知命题p :∀x ∈R ，sin x ≤1，则（ ） A . ⌝p :∃x ∈R ，sin x ≥1 C . ⌝p :∃x ∈R ，sin x >1

B . ⌝p :∀x ∈R ，sin x ≥1

D . ⌝p :∀x ∈R ，sin x >1

6. 命题p ：若a 、b ∈R ，则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充要条件.

命题q ：函数y=x -1|-2的定义域是（-∞，-1]∪[3，+∞) . 则（ ） A . “p 或q ”为假 B . “p 且q ”为真 C . p真q 假 D . p假q 真 二、填空题

a b

7. 命题“若a >b ，则2>2-1”的否命题为____________________________.

8. 设曲线C 1和C 2的方程分别为F 1（x ，y ）=0和F 2（x ，y ）=0，则点P （a ，b ）∉C 1⋂C 2的一个充分条件为 ___________ .

9. 在空间中，

①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线. ②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线.

以上两个命题中，逆命题为真命题的是 .（把符合要求的命题序号都填上）

&试题答案

一、选择题

1. C 解析：原命题为真，逆命题为假，其逆否命题为真，否命题为假，故在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是1个. 2. D 解析：p 为真，q 为假，故(⌝p ) ∨(⌝q ) 为真命题. 3. C 解析：在区间 -⎪内，y=tanx是单调递增函数. 4. B 解析：命题②、④为真命题. 5. C

6. D 解析：取a=b=-2，满足|a|+|b|>1，但|a+b|=0，故命题p 为假，由|x -1|≥2⇒x ≥3或x ≤-1，故命题q 为真.

⎛ππ⎫

⎝22⎭

二、填空题

a b

7. 若a ≤b ，则2≤2-1

8. F 1(a , b ) ≠0 （或F 2 (a , b ) ≠0） 9. ②