上海大学线性代数2002_2
12-20
上海大学线性代数2002
1:行列式计算(14%):
⎛x 1a a x 2 若A =2B = a a ⎝a ⎫⎪ a ⎪A B ,求。 ⎪B A ⎪ x n ⎪⎭
2:设A 是n 阶可逆方阵,B = 0⎝
k ⎛A A ⎫⎪。 ⎪A ⎭ (1):计算B (k 是整数)。
⎛100⎫ ⎪ (2):假设A = 110⎪,C 为6阶方阵,而且BC =2C +E ,求C 。(14%)
111⎪⎝⎭
⎛-ρ -ρ
3:设A = -ρ (n -1) ρ⎝-ρ-ρ (n -1) ρ -ρ (n -1) ρ⎫⎪(n -1) -ρ⎪ ⎪为n 阶矩阵(ρ≠0) ,求AX =0的基础解系。(14%) ⎪-ρ-ρ⎪-ρ-ρ⎪⎭
t t -ρ4:构造一个3阶实对称方阵A ,使其特征值为1,1,-1。并且对应的特征值有特征向量:(1, 1, 1),(2, 2, 1)。(10%)
5:设向量组A :α1, α2, , αn 的秩为r (r
' 6:设A 为n 阶正定矩阵,B n ⨯m 为秩是m 的实矩阵,求证B AB +tE (t >0,E 为单位矩阵)为正定矩阵。(10%)
27:设A 为欧氏空间V 上的线性变换,且A =E 。
(1):求证A 是V 上的正交变换的充分且非必要条件为A 是V 上的对称变换。
(2):设V 1={α|α∈V , A α=α},求证V =V 1+V 2且是直和。(16%)
8:设A 是n 阶实正交矩阵,α1, α2, , αn 为n 维列向量,且线性无关,若(A +E ) α1, , (A +E ) αn 线性无关,则A =1。(10%)