抛物线高三复习专题
一、抛物线的方程
例1求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： （1）过点（－3，2）；
（2）焦点在直线x －2y －4=0上.
（3）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上的点 M （-3，m ）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m
（4）点M 与点F （4,0）的距离比它到直线l :x +5=0的距离小1， 求点M （5）斜率为1的直线经过抛物线y
2
=px 的焦点，与抛物线相交
于两点A 、B ，线段AB 的长为6，求抛物线的方程
（6） 一抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上载 有一宽4米、高6米的大木箱，问能否安全通过？
（7）点P 、Q 是抛物线y =2mx 上两点，PQ 垂直于这条抛物线的
对称轴，且|OP |=5，O 为坐标原点，|PQ |=6，则 m 的值为 ． （8）．抛物线y =ax 的准线方程是y =2，则a 的值为（ ）
A ．
2
2
1
8
2
B ．－
1 8
C ．8 D ．－8
（9）．在抛物线y =2px 上，横坐标为4的点到焦点的距离
为5，则p 的值为（ ） A.
1 2
B. 1 C. 2 D. 4
2
（10）. 已知抛物线方程为y =8x ，则它的焦点坐标是 ，准线方程是 ，
若该抛物线上一点到y 轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点等于 ， 抛物线上的M 到焦点的距离是4，则点M 的坐标是 。
（11）. 抛物线y =4x 2
上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ A ．
17
16
B ．1516 C ．78 D ．0
（12）过抛物线y 2 = 4x的焦点作直线交抛物线于P(x1,y 1) 、Q(x2,y 2) 两点，
若x 1+x2=6,则 ︱PQ ︱的值为（ ）
A. 10 B. 8 C. 5 D. 6
（13）斜率为2的直线经过抛物线y 2
=4x 的焦点，与抛物线相
交于A , B 两点，则|AB |= 。
（14）抛物线y 2
=2x 上的两点A , B 到焦点的距离和是5，则线段AB
的中点到y 轴的距离是 。
（15）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点
（m ，－2）到焦点的距离等于4，则m 的值为 . 16．方程x 2
sin α+y 2
cos α=1表示的曲线不可能是（ ） (A ) 直线 (B ) 抛物线 (C ) 圆 (D ) 双曲线
）
二、抛物线的定义
（1）已知抛物线x 2 = 4 y的焦点F 和点A(-1,8),P为抛物线上一点，则 ︱PA ︱+︱PF ︱的最少值是（ ）
A. 16 B. 6 C. 12 D. 9
x 1，y 1) ，P 2x (2y ，，y 3) 在（2）已知抛物线y =2px (p >0) 的焦点为F ，点P ，P 1(2) 3(x 3
抛物线上，且|P 3F |成等差数列， 则有（ ） 1F |、|P 2F |、|P A ．x 1+x 2=x 3
B． y 1+y 2=y 3
2
C ．x 1+x 3=2x 2 D. y 1+y 3=2y 2
（3）P 是抛物线y 2=4x上的一个动点，又F 是抛物线的焦点，A(2,5)，则︱PA ︱+︱PF ︱的最少值是 .
2
（4）已知点A (3, 4), F 是抛物线y =8x 的焦点,M 是抛物线上的动点, 当MA +MF 最小
时, M点坐标是 ( )
A. (0, 0) B. (3, 26) C. (2, 4) D. (3, -26) （5）抛物线y =-x 上的点到直线4x + 3y - 8 =0距离的最小值是
2
138
B 、 C 、 D 、3 445
1
（6）抛物线x 2 =y 上的点到直线y = 4x-5的距离最短，则该点的坐标为
4
A 、
A. (0,0) B. (1,4) C.
2
⎛1⎫
,1⎪ D. (5,1) ⎝2⎭
（7）已知抛物线y =4x ，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) 两点，则y 1+y 2的最小值是
8．以抛物线y =2px (p >0) 的焦半径|PF |为直径的圆与y 轴位置关系是（ ） (A ) 相交 (B ) 相切 (C ) 相离
2
2
2
(D ) 以上三种均有可能
三、抛物线的几何性质
1. 过抛物线y =4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于a +2a +4(a ∈R ) ，则这样的直线（ ） A. 有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.1条或2条 D.不存在
2. 如果P …，P 8是抛物线y =4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x 8，1，P 2，F 是抛物线的焦点，若x 1, x 2, , x n (n ∈N ) 成等差数列且x 1+x 2+ +x 9=45，则
*
2
2
2
|P 5F |=（ ）．
3. 设O 是坐标原点，F 是抛物线y =4x 的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正
向的夹角为60，则OA 为 ．
2
A ．5 B ．6 C ． 7 D ．9
4. (山东省威海市 2008年普通高中毕业年级教学质量检测)
抛物线y =4x 的焦点为F , 准线为l ，l 与x 轴相交于点E ，过F 且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AB ⊥l ，垂足为B ，则四边形ABEF 的面积等于（ ） A ．33
B ．43 C ．6 D ．8
2
四、抛物线和直线的综合应用：
例1斜率为1的直线经过抛物线y =4x 的焦点，与抛物线相交于两点A 、B ，求线段AB 2
变式1. 斜率为1的直线经过抛物线y
2
=px 的焦点，与抛物线相
交于两点A 、B ，线段AB 的长为6，求抛物线的方程
变式2. 过抛物线y =2px 的焦点F 任作一条直线m ，交这抛物线于A 、B 两点，求证：以AB 为直径的圆和这抛物线的准线相切．
2
例2：设p >0是一常数，如图，过点Q （2p ，0）的直线与抛物线y =2px 交于相并两点A 、B ，以线段AB 为直径作⊙H （H 为圆心），试证抛物线顶点O 在⊙H 上，并求当⊙H 的面积最小时，直线AB 的方程。
2
变式1：设A 、B 为抛物线y 的定点坐标为__________.
2
=2px 上的点, 且∠AOB =90 (O为原点), 则直线AB 必过
2
变式2：如图所示，F 为抛物线y =2px (p >0) 的焦点，A （4，2）为抛物线内一定点，P 为抛物线上一动点，PA +PF 的最小值为8。
（1）求抛物线的方程；
（2）若 O 为坐标原点，问是否存在点M ，使过点M 的动直线与抛物线交于B 、C 两点。且∠BOC =90︒，证明你的结论。
例3：已知抛物线y =4x 的准线与x 轴交于M 点，过M 作直线与抛物线交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线与x 轴交于E （x 0, 0）。
（1）求x 0的取值范围；
（2）∆ABE 能否是正三角形？若能，求x 0的值；若不能，请说明理由。
2
变式1：已知抛物线y =2px (p >0) 过动点M （a , 0）且斜率为1的直线l 与抛物线交于不同的两点A 、B ，AB ≤2p 。
（1）求a 的取值范围；
（2）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求∆NAB 面积的最大值。
2
例4 .(理) 已知抛物线x
2
=4y 的焦点为F ，过焦点F 且不平行于x 轴的动直线l 交抛物
线于A , B 两点，抛物线在A,B 两点处的切线交于点M ， （1）求证A,M,B 三点的横坐标成等差数列 （2）求点M 的轨迹
（3）设直线MF 交抛物线于C,D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值 （文）设抛物线y 2=2px (p>0)被直线y=2x-4截得的弦长AB
长为 （1）求此抛物线的方程；
（2）设直线AB 上一点Q ，使得A 、Q 、B 三点到抛物线准线的距离成等差数列，
求Q 点坐标；
(3)在抛物线上求一点M 使M 到Q 点距离与M 到焦点距离之和最小 .
导数在解析几何中的应用
例1：
例:2：已知过点P (0, -1)的直线l 与抛物线x =4y 交于两点A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)。l 1、l 2
2
分别是该抛物线在A 、B 两点处的切线。M 、N 分别是l 1、l 2与直线y =-1的交点。 ⑴求直线l 的斜率的取值范围
⑵试比较PM 与PN 的大小，说明理由。
例3过y 轴正方向上一点C (0, c )任作一直线，与抛物线y =x 交于A 、B 两点。一条垂
2
直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线l :y =-c 交于点P 、Q 。若P 为线段AB 的中点，求证：AQ 为此抛物线的切线
例4：已知曲线C 上的动点P (x , y )满足到点F (0, 1)的距离比到直线l :y =-2的距离小1． （Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）动点E 在直线l 上，过点E 分别作曲线C 的切线EA , EB ，切点为A 、B ．求证：直线AB 恒过一定点，并求出该定点的坐标.
例5、已知抛物线x =4y 的焦点为F ，A 、B 是直线上的两动点，且AF =λFB (λ>0). 过
2
A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M 。
（I ）证明FM ∙AB 为定值；
（II ）设∆ABM 的面积为S ，写出S =f (λ) 的表达式，并求S 的最小值。
例6：设抛物线y=4-x与直线y=3x的交点为A 、B ，点M 在抛物线的AB 弧上运动，设S ∆MAB 达到最大值时，点M 的坐标为（p ，h ） （1）求过点（p ，h ）的切线方程；
（2）证明：若与直线AB 平行的直线截抛物线y=4-x的弦为CD ，则CD 被直线x=p平分。
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