泰州市2015-2016第二学期期末高一数学试卷

2015～2016学年度第二学期期末考试

高一数学试题

(考试时间：120分钟 总分：160分)

命题人：吴春胜 张圣官 展国培 审题人：丁凤桂 唐咸胜

注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．

1

=sh ，其中s 为棱锥的底面积，h 为高. 3

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）

1．已知A (1,1)，B (2,2)，则直线AB 的斜率为 ． 参考公式：棱锥的体积公式：V

棱锥

2．在公差为2的等差数列{a n }中，若a 2=1，则a 5的值是

3．若∆ABC 满足：A =60︒，C =75︒

，BC =AC 的长度为 ． 4．已知α+β=

π

，且tan α=2，则tan β的值是． 4

5．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =3 cm，BC =4 cm，CA =5 cm，AA 1=6 cm，则四棱锥A 1-B 1BCC 1的体积为cm 3．

6．在平面直角坐标系x O y 中，直线2x +a y -1=0和直线(2a -1) x -y +1=互相垂直，则实数0a 的值是．

7．已知正实数a , b 满足a +2b =4，则ab 的最大值是 ．

8．在平面直角坐标系xOy 中，A (1,3) ，B (4,2)，若直线

ax -y -2a =0与线段AB 有公共点，则实数a 的取值范围是

9．已知实数x , y 满足：-1≤x +y ≤1，-1≤x -y ≤1，则2x +y 的最小值是 ． 10．如图，对于正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，给出下列四个结论： ①直线AC // 平面A 1B 1C 1D 1 ②直线AC 1// 直线A 1B ③直线AC ⊥平面DD 1B 1B ④直线AC 1⊥直线BD 其中正确结论的序号为 ．

πb

11．在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(C +) =，则角A 的

62a 值是 ．

12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x -2) 2+(y -3) 2=9，若过点M (0,3)的直线与圆C 交于P , Q 两点（其中点P 在第二象限），且∠PMO =2∠PQO ，则点Q 的横坐标为 ．

13．已知各项均为正数的数列{a n }满足(2a n +1-a n )(a n +1a n -1) =0(n ∈N *) ，且a 1=a 20，则a 1的最大值是 ．

14．如图，边长为a +b +1（a >0, b >0）的正方形被剖分为9个矩形，这些矩形的面积如图所示，则S 32S 5S 7

++的最小值是 ．

S 2+S 4S 6+S 8S 1+S 5

二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）

在平面直角坐标系xOy 中，直线l :x +by +3b =0． （1）若直线l 与直线x -y +2=0平行，求实数b 的值；

（2）若b =1，A (0,1)，点B 在直线l 上，已知AB 的中点在x 轴上，求点B 的坐标． 16．（本题满分14分）

在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c （a

（1）若3c =5a ，求

sin A

的值； sin B

（2

）若2c sin A =0，且c -a =8，求∆ABC 的面积S ．

17．（本题满分14分）

如图，在三棱锥P -ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，PA ⊥PC ，AB =BC ，点M ，

N

分别为PC ，AC 的中点．

求证：（1）直线PA //平面BMN ；（2）平面PBC ⊥平面BMN ．

18．（本题满分16分）

如图，某隧道的截面图由矩形ABCD 和抛物线型拱顶DEC 组成（E 为拱顶DEC 的最高点），以AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy ，已

1

知拱顶DEC 的方程为y =-x 2+6(-4≤x ≤4) ．

4

（1）求tan ∠AEB 的值；

（2）现欲在拱顶上某点P 处安装一个交通信息采集装置，为了获得最佳采集效果，需要点P 对隧道底AB 的张角∠APB 最大，求此时点P 到AB 的距离．

19．（本题满分16分）

在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x -4) 2+y 2=1，且圆C 与x 轴交于M ，N 两点，设直线l 的方程为y =kx (k >0) ． （1）当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程； （2）已知直线l 与圆C 相交于A ，B 两点．

（ⅰ）若AB ≤

，求实数k 的取值范围； （ⅱ）直线AM 与直线BN 相交于点P ，直线AM ，直线BN ，直线OP 的斜率分别为k 1，

k 2，k 3， 是否存在常数a ，使得k 1+k 2=ak 3恒成立？若存在，求出a 的值；若不存在，

说明理由．

20．（本题满分16分）

⎧S ⎫a

已知数列{a n }的首项a 1>0，前n 项和为S n ．数列⎨n ⎬是公差为1的等差数列．

2⎩n ⎭

（1）求

a 6

的值； a 2

（2）数列{b n }满足：b n +1+(-1) pn b n =2a n ，其中n , p ∈N*． （ⅰ）若p =a 1=1，求数列{b n }的前4k 项的和，k ∈N*；

（ⅱ）当p =2时，对所有的正整数n ，都有b n +1>b n ，证明：2a 1-22a 1-1

2015～2016学年度第二学期期末考试

高一数学参考答案

一、填空题

1．1； 2．7； 3

4．-6．

1

； 5．24； 3

2

； 7．2； 8．(-∞, -3] [1,+∞) ； 9． -2； 10．①③④； 3

11．

π

6

； 12．1； 13．512 ； 14．2. 二、解答题

15. 解：（1）∵直线l 与直线x -y +2=0平行， ∴1⨯(-1) -b ⨯1=0，

∴b =-1，经检验知，满足题意． （2）由题意可知：l :x +y +3=0， 设B (x 0, -x 0-3) ， 则AB 的中点为(

x 02, -x 0-2

2

) ， ∵AB 的中点在x 轴上，∴x 0=-2，

∴B (-2, -1) ． 16. 解：（1）∵2a cos C +2c cos A =a +c

由正弦定理：2sin A cos C +2sin C cos A =sin A +sin C

∴sin A +sin C =2sin(A +C ) =2sin(π-B ) =2sin B

∵3c =5a

由正弦定理：3sin C =5sin A ， ∴2sin B =sin A +sin C =8

3sin A ，

∴

sin A sin B =3

4

． （2

）由2c sin A =

0得：sin C =， ∵C ∈(0,π) ，∴C =

π3或C =2π3

………………７分………………１０分………………１４分 ………………２分 ………………４分

………………7分

当C =

π

时， 3

∵a

∴A

2π

， ………………9分 3

由（1）可知：a +c =2b ， 又∵c -a =8， ∴b =a +4, c =a +8，

∴(a +8) 2=a 2+(a +4) 2-2a ⋅(a +4)cos

2π， 3

∴a =6或a =-4（舍） ………………12分

11= ………………14分 所以S =ab sin C =⨯6⨯102217. （1）证明：∵点M ，N 分别为PC ，AC 的中点，

∴MN //PA ， ………………2分 又∵PA ⊄平面BMN ，MN ⊂平面BMN ，

∴直线PA //平面BMN ． ………………6分 （2）证明：∵AB =BC ，点N 为AC 中点， ∴BN ⊥AC ，

∵平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC =AC ，BN ⊂平面ABC ，BN ⊥AC ， ∴BN ⊥平面PAC ， ………………9分 ∵PC ⊂平面PAC ，∴PC ⊥BN ， 由（1）可知：MN //PA ， ∵PA ⊥PC ，∴PC ⊥MN ，

∵PC ⊥BN ，PC ⊥MN ，BN MN =N ，BN , MN 在平面BMN 内，

∴PC ⊥平面BMN ， ………………12分 ∵PC ⊂平面PAC ，∴平面PBC ⊥平面BMN ． ………………14分 18. （1）解：由题意：E (0,6)，B (4,0)，

∴tan ∠BEO =

BO 2

=， EO 3

2⨯

2

=12， ………………5分 ∴tan ∠AEB =tan 2∠BEO =

1-() 25

3（2）（法1）设P (x 0, y 0) ，2≤y 0≤6， 过P 作PH ⊥AB 于H ，

设∠APH =α, ∠BPH =β，则tan α=∴tan ∠APB =tan(α+β) =

x 0+44-x 0

, tan β=， ………………8分 y 0y 0

8y 08y 0==

y 02-16-x 02y 02-

4y 0+8

8≤=2 8

(y 0+) -4y 0

………………12分

∵2≤y 0≤

6，∴当且仅当y 0=tan ∠APB 最大，即∠APB 最大．

答：位置P 对隧道底AB 的张角最大时P 到AB

的距离为 ………………14分 （法2）设P (x 0, y 0) ，2≤y 0≤6，

22∴PA ⋅PB =(-4-x 0, -y 0) ⋅(4-x 0, -y 0) =x 02-16+y 0=y 0-4y 0+8，

2 y 0-4y 0+82

∴|PA |⋅|PB |cos ∠AFB =y 0-4y 0+8，∴cos ∠AFB = ………………8分

PA ⋅PB

∵S ∆AFB

8y 1 1

=|PA |⋅|PB |sin ∠APB =⋅8⋅y 0，∴sin ∠APB =0

22PA ⋅PB

8y 0sin ∠APB 8=2==≤=2 ………12分

cos ∠APB y 0-4y 0+8(y 0+) -4y 0

∴tan ∠APB =

∵2≤y 0≤

6，∴当且仅当y 0=tan ∠APB 最大，即∠APB 最大．

答：位置P 对隧道底AB 的张角最大时P 到AB

的距离为 ………………14分 19．（1）解：由题意，k >0，

∴圆心C 到直线l

的距离d =

， ………………2分

∵直线l 与圆C

相切，∴d =

=1，∴k =

，

∴直线l :y ． （2

）解：由题意得：0

≤d

）可知：d =

，

∴

14≤k

，

1∴A (3k 21+51+k 2, 2k 1

1+k 2

) ， 11同理可得：B (

5k 22+3-1+k 2, 2k 2

) ， 21+k 2

2∵k OA =k OB ，

………………4分 ………………６分 ………………９分 ………………12分

2k 1-2k 21+k 121+k 22∴，即(1+k 1k 2)(3k 1+5k 2) =0， =

3k 12+55k 22+31+k 121+k 22

∵k 1k 2≠-1，∴k 2=-k 1， ………………14分 设P (x 0, y 0) ，

3

5

3k 1-5k 2⎧x =0⎪k 1-k 2⎧y 0=k 1(x 0-3) ⎪

∴⎨， ∴⎨，

-2k k y =k (x -5) 1220⎩0⎪y =0⎪k 1-k 2⎩

∴P (

3k 1-5k 2-2k 1k 2153k

, ) ，即P (, 1) ，

k 1-k 2k 1-k 244

3k 1

12

∴k 3==k 1， ∴k 1+k 2=k 1=2k 3，

15554

∴存在常数a =2，使得k 1+k 2=2k 3恒成立． ………………16分 20. （1）解：由题意，∴S n =

S n S 1a n +1=+(n -1) ⋅1=a 1， n 122

n (n +1)

a 1， 2

n (n +1) n (n -1)

当n ≥2时，a n =S n -S n -1=a 1-a 1=na 1，

22

当n =1时，上式也成立，∴a n =na 1，n ∈N *， ∵a 1>0 ∴

a 66a 1

==3． ………………3分 a 22a 1

（2）（ⅰ）由题意：b n +1+(-1) n b n =2n ，

当k ∈N*时，b 4k -2-b 4k -3=24k -3，b 4k -1+b 4k -2=24k -2，b 4k -b 4k -1=24k -1， ∴b 4k -3+b 4k -1=24k -2-24k -3=24k -3，b 4k -2+b 4k =24k -1+24k -2=3⋅24k -2，

∴b 4k -3+b 4k -2+b 4k -1+b 4k =7⨯24k -3， ………………6分 ∴前4k 项的和T 4k =(b 1+b 2+b 3+b 4) +(b 5+b 6+b 7+b 8) + +(b 4k -3+b 4k -2+b 4k -1+b 4k )

=7⨯2+7⨯2+ +7⨯2

154k -3

14(16k -1)

． ………………8分 =

15

（ⅱ）证明：由题意得：b n +1+b n =2na 1=(2a 1) n ，令t =2a 1，t ∈(1,+∞) ， ∴

b n +1b n

-=-(-t ) n ， n +1n

(-1) (-1)

∴

b n b n b n -1b n -1b n -2b 2b 1b 1

=(-) +(-) + +(-) +

(-1) n (-1) n (-1) n -1(-1) n -1(-1) n -2(-1) 2(-1) 1(-1) 1

1

2

n -1

=-[(-t ) +(-t ) + +(-t )

t (-t ) n

]-b 1=(-b 1) +，

1-t 1+t

t t n n

-b 1)(-1) +∴b n =(， ………………11分 1+t 1+t

∵b n +1>b n , n ∈N*，

t t n +1t t n n +1n

-b 1)(-1) +-(-b 1)(-1) -∴b n +1-b n =( 1+t 1+t 1+t 1+t t t n n

=-2(-b 1)(-1) +(t -1) >0，

1+t 1+t

t (1-t ) t n n

)(-1) >∴(b 1-，n ∈N*， 1+t 2(1+t ) (1-t ) t n t

+①当n 为偶数时，b 1>，

2(1+t ) 1+t

(1-t ) t n t (1-t ) t 2t t (2-t )

+≤+=∵t ∈(1,+∞) ，，

2(1+t ) 1+t 2(1+t ) 1+t 2

∴b 1>

t (2-t ) ， ………………13分 2

(t -1) t n t

+②当n 为奇数时，b 1

2(1+t ) 1+t

(t -1) t n t (t -1) t 1t t

+≥+=， ∵t ∈(1,+∞) ，

2(1+t ) 1+t 2(1+t ) 1+t 2

∴b 1

t

， ………………15分 2

综上： t (2-t ) t

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