矩阵对角占优性的推广

引 言

广义严格对角占优矩阵是数值代数和矩阵分析研究中的重要课题之一，它是计算数学、物理学、控制论、最优化和经济数学等领域中具有广泛应用的重要矩阵类．对于线性方程组Axb，当系数矩阵A为块对角占优矩阵或广义块对角占优矩阵时，许多经典的迭代算法均是收敛的，因而，其特性，特别是其充分条件自然引起了人们的研究兴趣．同时，可以利用矩阵的对角占优性质讨论其奇异性．另外，特征值分布也是矩阵理论中重要的课题．尤为重要的是，寻求广义块严格对角占优矩阵的充分条件也是对非奇异M-矩阵判据的进一步改进与推广．

Hadamard已经给出了一个矩阵非奇异的广为人知的判定准则，即若A为严格对角占优矩阵，则A是非奇异的．Ostrowski推广了Hadamard的准则且证明了若A为严格-对角占优矩阵，则A是非奇异的．这两个矩阵非奇异性的判定准则都是提供了广义严格对角占优矩阵的经典判据．由Brauer定理中的卵形域衍生的严格双对角占优性也是广义严格对角占优矩阵的一个经典判据．

文[1—9]主要讨论了广义严格对角占优的判定条件，从不同角度和不同方面上，给出了各种形式的广义严格对角占优矩阵的判据．

文[10—12]讨论了广义块严格对角占优的判定问题．给出了广义块严格对角占优的判定准则，将矩阵的对角占优性推广到分块矩阵上．

本文引进了广义块-对角占优矩阵的概念，讨论了广义块严格-对角占优矩阵的判定问题，将文[9]的主要结果推广到分块矩阵上．

1、定义与记号

1.1定义

定义1.1 设Cnn表示n阶复矩阵集合, A(aij)Cnn,若记为AD；若aiiaij,i，jN{1，2，，n},则称A为严格对角占优矩阵，

ji

存在正对角阵X，使AXD，则称A为广义严格对角占优矩阵，记为AD*；

定义1.2 设A是nn复矩阵，分块形式如下：

A11AA21

Am1

A12A22Am2

A1mA2m (1) 



Amm

其中对角子阵Aii是ni阶方阵，1im，记

1,2,m. Ri(A)A，Ci(A)A，i,kMikki

kiki

本文总假定对角子阵Aii，iM是非奇异的．

若(A1ii)1Ri(A)，iM，则A为块严格对角占优矩阵，记为ABD； 若存在n阶正对角阵X，其中XBdiag(x1In1,x2In2,xmInm)，使AXBD，则称A为广义块严格对角占优矩阵，记为ABD*；

若存在[0,1]，ACnn分块形如(1)，若Aii为非奇异的iM，且

(A1ii)1RiCi



1

，iM (2)

则A为关于分块形式（1）的块对角占优矩阵，简称块对角占优阵，记作

ABDa；

若(2)中每一个不等式都是严格的，则称A为块严格对角占优矩阵，记作ABDa；

若存在n阶正对角阵X，使AXBDa，XBdiag(x1In1,x2In2,xmInm)，

则称A为广义块对角占优矩阵，记作ABDa0；

特别地，若BAXBDa则称A为广义块严格对角占优矩阵，记作

ABDa．

*

*

1.2 记号

本文引入下列记号：

1,2,m；[0,1]； 记M

J(A){iM|A1ii

1

RiCi

1

}；J0(A){iM|A1ii

1

RiCi

1

}；

N(A){iM|0A1ii

1

RiCi



1

1

}，N0(A){iM|0A1ii



1

RiCi

1

}；

(A){iM|Aii

Ri(A)Ci

Aii

1

11

RiCi}，0(A){iM|

jN0(A)

Aiji

1

0,0}





(A)

11

,iM,0，(当0时，令

Ci(A)Aii

11

).

显然有

MJ(A)N(A)J0(A)N0(A)(A)J(A)0(A).

~

设(A)(Aij)为A的比较矩阵,其中

~1AijAij

~

,ij,AijAij,ij,i,jM.

1

2、广义严格块对角占优矩阵的条件

引理2.1 设ACnn分块形式如(1)，则(A)D*当且仅当ABD*．

因为(A)D*，当且仅当(AT)D*． 则由引理2.1有

引理2.2 设A(Aij)Cnn，则ABD*当且仅当ATBD*．

定理2.2.1 设ACnn分块形式如(1)，[0,1]且J(A)，若iN(A)

有 A

1

1ii

(

iN(A)ji



Aij

jJ(A)



Aijj)Ci

1

(A)， (3)

则ABD*.

证：10若0，则由(3)知(AT)D，当然有(AT)D*，进而由引理2.2

有ABD*．

20若0，由(3)得

Aii

1

1

(

jN(A)ji



Aij

jJ(A)



Aijj)Ci

1



(A)，iN(A) (3')

Aii

1１

(

jN(A)



ji

AijAiji

jJ(1





Aijj)Ci(A)

1



(A))

令

i

，iN(A), （4）

jJ(A)



当

jJ(A

Aiji

1



(A)=0时，记i，由(3')知i0，iM，由（4）得

Aii

1

1



jN(A)ji



Aiji

1



(A)

jJ(A

Aij(ji)Ci

1



(A),iN(A)， （5）

取0mini，构造正对角矩阵

iN(A)

X1diag{xiIni|xi1，iN(A)；xii；iJ(A)}，

1

（Aij）则A1AX1满足当iN(A)时，若

(1)

jJ(A)



Aiji



(A)=0，

则有AijCi

1



(A)0，jJ(A)，进而有

jJ(A)



Aiji

1



(A)(j)0，

因此由(3')有

(Aii)

1

(1)1

Aii

11



jN(A)ji



Aiji

1



(A)

jN(A)ji



Aij

jJ(AA

ij

(j)Ci

1



(A)

Ri(A1)Ci

1

1



(A1)．

若

jJ(

Aiji



(A)0由（5）有

(Aii)

1

(1)1

Aii

11



jN(A)ji



Aij1

i

(A)

jJ(

Aij(ji)Ci

1



(A)

jN(A)ji



Aiji

1



(A)

jJ(AA

ij

(j)Ci

1



(A)

Ri(A1)Ci

1



(A1)．

当iJ(A)时，

1

(1)1

1

11

11

11

1

(Aii)(i)Aii(iAiiAii)(i)





(R

i(A)Ci

1



(A)

iN(A)ji



Aiji

1

1



(A))(i)





(

jN(

Aij

jN(A)ji



1

Aij(j))(Ci(A)(j))





Ri(A1)Ci

1



(A1)．

可见，A1AX1BDa，则ABDa．

*

由此知ABD*．

注1 定理2.2.1推广了文[9]的定理1． 若A为块不可约矩阵，则定理2.2.1的条件可放宽．

定理2.2.2 设ACnn分块形式如(1)，为不可约矩阵，[0,1]，且

J(A)，若iN0(A)有

(A1ii)1(

jN(A)ji



Aij

jJ(A

Aijj)Ci

1

(A)， （6）

则ABD*．

证：10 若0，由假设知A为不可约按列块对角占优矩阵，故有

(AT)D*，进而由引理2.2有ABD*．

20 若0，由于j(A)时，j1所以有

jN(A)ji



Aij

jJ(A)



Aijj

jN0(A)ji



Aij

jJ0(A)



Aijj，

因此对iN0(A)，（6）式可改写为

(A1ii)1(

jN0(A)ji



Aij

jJ0(A)



Aijj)Ci

1

(A). (6')

令

Aii

11

(

jN0(A)



ji

AijAiji

jJ0(A)1





Aijj)Ci

1



(A))

i

jJ0(A)



，iN0(A)．

(A)

当

jJ0(A)



Aiji

1



(A)0时，记i．

由i0，可取0mini，构造正对角矩阵

iN0(A)

X2diag{xiIni|xi1，iN0(A)；xii，iJ0(A)}．

则类似定理2.2.1的证明可知A2AX2Aij

１(2)１

1



(2)

，满足i(A)．

Aii）Ri(A2)Ci



(A2)

iN0(A)J(A)((A)\0(A))，

1

(2)1

1

(Aii

)

Ri(A2)Ci



(A2)，由J(A)，而得

N0(A)J(A)((A)\0(A))

因A为不可约矩阵，则A2AX2亦为不可约矩阵，所以A2为不可约块对角占优矩阵，因而有A2BD*．而X2为正对角矩阵；故ABD*．

注2 在A为不可约矩阵的条件下，定理2.2.2将定理2.2.1中（3）式满足的行从N(A)缩小到N0(A)，从而扩大了定理的应用范围．而不可约这一条件在实际问题中是容易满足的，因而定理2.2.2更具有实用性，但二者不互相包含，因为当A为可约矩阵时定理2.2.2就不适用了．

定理2.2.2将文[9]中定理2由一般矩阵推广到分块矩阵．

由定理2.2.2的证明，我们注意到，事实上定理2.2.2中，A块不可约的条件还可进一步放宽．

定理2.2.3 设ACnn分块形式如(1)，J(A)，[0,1]且（6）成立，

Asti使jN2，若iN1，A存在非零元素链，Air1，Ar1r2，…… Arlj或Ajs1，As1s2，

则ABD*，这里0时，N1(A),N2N0J(A)；

（（A）\0(A))． 当0时,N10(A)，N2N0(A)J(A)

证：10当0时，由（6）及假设知，(A)为按列具非零元素链块对角占优矩阵，即(AT)为具非零元素链块对角占优矩阵，则(AT)D*，从而由引理2.2有ABD*．

20当0时，由定理2的证明知，若取X3X2，则A3AX3，所以(A3)为具非零元素链块对角占优矩阵，则有A3BD*，进而ABD*．

下面给出一个ABD*的必要条件

定理2.2.4 设ACnn分块形式如(1), [0,1]，若A满足 （i）iJ(A)时，(A1ii)1(

jJ(A)ji



Aij

jN(

Aijj)Ci

1

(A) ． （7）

（ii）iN(A)时，(A1ii)1(

iN(A)ji



Aij)Ci

1

(A)，则ABD*．

证：10若J(A)，则必有ABD*．

11

20 若0，则iN有AiiCi(A)，所以(AT)D*，再由引理2.2

有ABD*．

30当0时，由（7）有

Aii

11

(

jJ(A)ji



Aij

jN(

Aijj)Ci

1



(A)． (7')

(

jJ(A)



ji

Aij

jN(

Aijj)CiAiji

1

1



(A))Aii

11

令i

jN(

，

(A)



由(7')知i0取maxi，构造正对角矩阵

iJ(A)

Xdiag{xiIni|xi1，iJ(A)；xii，iN(A)}，

B11B

设BAX(Bij)21

Bm1

B12B22Bm2

B1m



B2mnn

， C



Bmm

类似定理2.2.1的证明，可知B满足

Bii

1

1

Ri(B)Ci

1



(B)，知BBD*，进而有ABD*．

注3 作为AD*的必要条件，定理2.2.4推广了文[9]之定理4．

第3章、数值例子

309

例1 A2

01001000

60000A0201011

A21

00300

A3100020

00004

A12A22A32

A13

． A23A33

9301000

且A11，A12，A13，A212

0000006200

，A22，

030

10100020

A23，A3100，A3200，A3304．

00

1

则A11

1301021

，A221061

021

，A33103

0． 14

3109

所以 (A)21．

2102

1

设N1{2}，N2{1,3}．取，则J(A){1,3}，N(A){2}，易知A满足定理

2

2.2.1的条件，所以ABD．

*

401

例2 A

050

04

10

50000A1105020

A21

001000

A3100050

00006

A12A22A32

A13

． A23A33

4040101050

AAAA且A11，，，，，12132122

0500000001020500050

A23AAA，，，313233000006．

00

1

则 A11

1

4011

005511

，A22，A3311

00

510

0． 16

441则 (A)152,

505

3}，N0(A){1}，且 3}，N2{2}．取1,则J0(A){2，设N1{1，

A11114A122A133，

又因A不可约，所以A满足定理2.2.2的条件，因此ABD*．

结 论

本文引进了-块对角占优矩阵的定义，讨论了广义块严格对角占优矩阵的若干充分条件和必要条件，从而改进和推广了一些已有的结果．

致 谢

本人在作论文期间，得到了理学院李庆春教授的悉心指导和帮助．给予了我很大的鼓舞和支持．

李庆春教授以他渊博的知识、严谨的治学态度、精益求精的科研作风给我留下了终生难忘的印象，他对本文的前期准备工作和正文的修改工作给予了悉心的指导，自始至终为本文的研究给予精心的指导和帮助，倾注了大量的心血，花费了大量的宝贵时间．

再此特表以致谢．

参考文献

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