整式的概念
知识点一:用字母表示数 要点诠释:
用字母表示数之后,有些数量之间的关系用含有字母的式子表示,看上去更加简明,更具有普遍意义了.举例:如果用a、b表示任意两个有理数,那么加法交换律可以用字母表示为:a+b=b+a.乘法交换律可以用字母表示为:ab=ba
知识点二:代数式
要点诠释: 诸如:16n ;2a+3b ;34 ;;等式子,叫做代数式。
(1)代数式中出现的乘号,通常写作“·”或省略不写,如6×b常写作6·b或6b;
(2)数字与字母相乘时,数字写在字母前面,如6b一般不写作b6;
(3)除法运算写成分数形式,如1÷a通常写作
(4)带等号的式子(等式)不是代数式,如
就不是代数式。
知识点三:列代数式 要点诠释:
用字母来表示数.在解决实际问题时,常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来,即列出代数式,使问题变得简洁,更具一般性.
知识点四:代数式的值 要点诠释:
一般地,用数值代替代数式里的字母,按照代数式中的运算关系计算得出的结果,叫做代数式的值。
知识点五:单项式
要点诠释: 1.代数式都是由数与字母的乘积组成的,这样的代数式叫做单项式。例如,
、abc、 、
-m都是单项式.但
除法运算。,
不是单项式,因它分母中含有字母,相当于含有字母与字母的,a,b都是单项式。在a2
b, ,2x2+3x+5中,只有a2b是单项式.
2.单项式的系数: 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.例如,的系数是,的系
,abc的系数是1,-m的系数是-1. 数是
注:特别地,单独一个数或一个字母也是单项式.
3. 单项式的次数: 一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 如
:
x3y2的次数是x的指数3与y的指数2的和5,即x3y2的次数是5; ab的次数是2; 4abc的次数是3;2a的次数是1;4的次数是0。
是常数;
,-abc; 注: (1)圆周率 (2)当一个单项式的系数是1或-1时,“1”通常省略不写,如
(3)单项式的系数是带分数时,通常写成假分数.如
写成.
知识点六:多项式 要点诠释:
1.几个单项式的和叫做多项式。在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,其中,不含字母的项,叫做常
数项。
如:多项式-2x+3中,-2x,3是它的项,3是常数项;
多项式5x2-3x+4中,5x2,-3x,4是它的项,4是它的常数项.
注:多项式的项包括它前面的符号。
2.多项式的项数:一个多项式含有几项,就叫做几项式.如3x-1是二项式,7x2-5x+3是三项式,
a3+3a2b+3ab2+b3是四项式。
3.多项式的次数:多项式里,次数最高项的次数,就是这个多项式的次数。
如:多项式5x2-x+2中5x2项的次数最高,次数为2,所以,此多项式的次数是二,它是二次三项式;
4x-3是一次二项式;m2+mn+n2是二次三项式
; x4y+xy4是五次二项式。 注:多项式的次数不是所有项的次数之和,而是多项式里次数最高项的次数。
4. 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列;
若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母升幂排列。
如:多项式2x3y2-xy3+x2y4-5x4-6是六次五项式,按x的降幂排列为-5x4+2x3y2+x2y4-xy3-6,
在这里只考虑x的指数,而不考虑其它字母;按y的升幂排列为-6-5x4+2x3y2-xy3
+x2y4。
注:(1)重新排列一个多项式时,各项都要带着符号移动位置;
(2)对含有两个以上字母的多项式,一般都按其中某一个字母的降幂排列。
知识点七:整式
要点诠释: 单项式和多项式统称为整式。即
注:(1)单独一个数或一个字母单项式,当然也是整式;
(2)整式包括单项式和多项式;
(3)整式中分母不能含有字母。
如:-3,a2b,
,a2-b2都是整式,都不是整式。 三、规律方法指导
本节主要介绍单项式、多项式、整式及其相关概念。这些概念是结合实际问题给出的。在引出这些概念的过程中,教科书充分重视与实际问题的联系,在实际情景中抽象出数学概念。
本节开始,教科书从章前引言中的问题(1)入手,在速度已知的前提下,利用公式“路程=速度时间”,首先计算当时间是具体数字时火车所行驶的路程,然后逐步过渡到当时间用字母表示时火车所行驶的路程,这个路程可以用含有字母的式子表示出来。教科书的这种设计,一方面让学生在回顾复习小学所学的用字母表示数的同时,感受到式子中的字母表示数,含有字母的式子可以表示实际问题中的数量关系,式子更具有一般性等;另一方面,由于列出的这个式子是一个单项式,从而为后面引出单项式的概念做必要的铺垫。接下去,教科书设置一个“思考”栏目,要求以填空的方式写出几个实际问题的答案,这些答案都是用含有字母的式子来表示实际问题中的数量关系,所列出的式子都是单项式。这样,教科书就结合实际问题引出了对单项式概念的讨论,通过分析所列出的这些式子的共同特点给出单项式的概念、单项式的系数和次数的概念等。为了进一步巩固概念,教科书设计一个例题,例题中包括五个实际问题,要求用单项式解决问题。通过这个例题,在巩固单项式概念的同时,也让学生进一步熟悉分析实际问题中的数量关系,并用单项式表示出来,为学习下一章列方程打基础。
有了单项式的概念,教科书在此基础上开始研究多项式的概念。对于多项式概念的引入,教科书采用的方式与单项式概念的引入基本相同。首先设置一个“思考”栏目,栏目中包括四个实际问题,解决这些实际问题,需要分析问题中的数量关系,并用含有字母的式子表示这些关系。由于所列出的式子都是多项式,通过分析这些式子的共同特点,教科书给出了多项式的概念,以及多项式的项数和次数的概念等。为了进一步熟悉多项式的概念,类似于单项式,教科书也给出一个例题,例题中有四个实际问题,要求用多项式表示问题中的数量关
系,从而得到实际问题答案。对于多项式的概念,教科书紧密结合实际问题展开,并充分注意对列式表示数量关系的训练,这样就可以做到在引出和巩固多项式概念的同时,进一步培养学生分析实际问题中的数量关系并列式表示数量关系的能力,为下一章学习列方程打基础。