1-索罗模型1

第二章

索洛经济增长模型

一、问题的提出

1.什么因素决定了经济增长？ 2.经济增长的一般趋势是什么？

3.为什么国家或地区之间存在着收入差异？ 4.穷国能否赶上富国？

二、生产函数

1.投入与产出的函数形式

Y(t)F(K(t),A(t)L(t))

其中，Y为产量，K为资本，L为劳动力，A为知识或劳动的有效性，t表示时间

注意：AL为有效劳动，此种形式的技术进步为“劳动增进型”或“哈罗德中性”

2.生产函数的特性假设 （1）规模报酬不变：

F(cK,cAL)cF(K,AL)，对于c≥0

含义：经济足够大，专业化收益被穷尽；其他投入品（如自然资

源）相对不重要

令c1/AL，则F(

K1,1)F(K,AL) ALAL

令有效劳动的人均资本kK/AL，有效劳动人均产量

yY/AL，则yf(k),总产量YALf(k)

（2）边际产品递减：

f(k)满足f(0)0,f'(k)0,f''(k)0，f'(k)是资本的边际产

品

【证明】

YALf(k)两边分别对K、L求导数：

资本的边际产品为：

Y1

ALf'(k)f'(k) KAL

有效劳动的边际产品为：

YK

f(k)ALf'(k)[]f(k)kf'(k) 2

(AL)(AL)

（3）稻田条件：

lim

k0

f'(k),limk

f'(k)0

一个满足上述条件假设的新古典生产函数图示

f(k)

f(k)

k

一个特殊的生产函数：C-D生产函数

F(K,AL)K(AL)1，01

f(k)F(

KK

,1)()k ALAL

思考：试证明C-D生产函数满足3个特性假设。

3．生产投入品的变动

假设时间t是连续的（非离散的）

（1）劳动力的增长：L(t)/L(t)[dL(t)/dt]/L(t)n （2）知识的增长：A(t)/A(t)[dA(t)/dt]/A(t)g

其中n为人口增长率，g为技术进步率，均为外生参数，表示不变增长速度

（3）资本的增长：K(t)[dK(t)/dK]sY(t)K(t) 其中s为储蓄率，为资本折旧率，均为外生变量



三、平衡增长路径

1．k的动态学 （1）k(t)的动态方程 已知 k(t)

K(t)

, 先做变换，两边取自然对数

A(t)L(t)

lnk(t)lnK(t)lnA(t)lnL(t)

k(t)K(t)A(t)L(t)

对t求导数，得： 

k(t)K(t)A(t)L(t)









K(t)K(t)A(t)L(t)k(t)k(t)k(t)

K(t)A(t)L(t)A(t)L(t)





sY(t)K(t)

k(t)nk(t)g 代入，有：k(t)

A(t)L(t)



s

Y(t)

k(t)nk(t)gk(t)

A(t)L(t)

sf(k(t))k(t)nk(t)gk(t) sf(k(t))(ng)k(t)

k(t)sf(k(t))(ng)k(t)是索洛模型的基本微分方程，

它表明k(t)是k的方程。

含义说明：人均实际投资sf(k(t))用于两方面：一是“资本的深化”，即k(t)，二是“资本的广化”（“持平投资”），即(ng)k(t)。

（2）稳态均衡

定义“稳态”：一种其中各种数量都以不变速度增长的状况，即



k(t)=0。



当sf(k(t))>(ng)k(t)时，k(t)>0（储蓄大于投资） 当sf(k(t))

*





际投资与持平投资相等。无论k从何处开始，它都收敛于k*。

（3）图示： 稳态均衡图示1

(ng)k(t)

f(k(t))

sf(k(t))

k

稳态均衡图示2

(ng)sf(k)/k

k 证明：

d[sf(k)/k]dksd[f(k)/k]dksf(k)kf'(k)AL

k2sk

2

0 稳态均衡图示3（k的相图）

2.平衡增长路径

当k=k*时，模型中的各个变量将如何变动？

注意：区分各变量（X）与时间（t）之间的变化关系，即X(t)、lnX(t)、 [dX(t)/dt]/X(t)。

结论：在索洛模型中，无论从任何一点出发，经济向平衡增长路径收敛，在平衡增长路径上，每个变量的增长率都是常数，且是外生决定的。特别是，在该路径上，人均产出的增长率仅取决于技术进步率。

四、非均衡动态与收敛

考察两个非均衡问题：

（1）当经济增长处在非稳态时（k≠k*时）各变量如何向稳态调整？（如何收敛？）

（2）向稳态调整有多快？（收敛的速度和时间？） 1．非均衡动态



定义k的增长率kk/ksf(k)/k(ng)， 

当sf(k(t))>(ng)k(t)时，k(t)>0； 当sf(k(t))

非稳态动态图示1

)

k(t)

k

非稳态动态图示2

g) )/k

这表明k离k*越远，其增长率（正或负）越大，即k0。（思考：这意味着什么样的理论预测？与现实是否相符？）

接下来，可以证明索洛模型中的其他变量X的非均衡动态增长率（X）与k保持比例或线形关系，例如：

yy/yf'(k)k/f(k)[kf'(k)/f(k)]kKk



Kkng

因此，对k的非均衡动态分析可以同样适用于X，即X0。 结论（索洛模型的收敛性）：每个经济都收敛于其自身的稳态，而且这一收敛的速度与其离稳态的距离成反比，或者说，经济离其自身的稳态值越远，其增长率就越快。

2．绝对收敛与相对收敛

对索洛模型的收敛性的实证检验（样本的同质性与异质性），产生绝对收敛与相对收敛的概念。

条件收敛的图示：

g)

k 含义：当穷国人均初始资本存量较小，而富国的储蓄率较高时，富国会比穷国有更高的增长率。因此，一旦控制了稳态的决定的情况下，条件收敛将成立。

3．收敛的速度

考察收敛的速度的意义在于如果收敛的速度很快，就集中研究稳态情况，如果收敛的速度很缓慢，研究动态过程就更有意义。

关键在考察k 以多快的速度趋近k *。

由平衡增长的条件可知：kk(k)，在k=k*处对k(k)作一阶泰勒级数近似，可得：







k(



k(k)

k



kk*)(k

k*)

k(k)k

kk*

sf'(k*)(ng)

(ng)k*f'(k*)(ng)

f(k*)

[K(k*)1](ng)

因此k(t)[1K(k*)](ng)[k(t)k*]

含义：在平衡增长路径上，k向k*收敛的速度与k与k*之间的距离成比例。

令x(t)k(t)k*，“收敛系数”(1K)(ng)，则



x(t)x(t)，所以x的路径为x(t)x(0)et（指数增长），即：

k(t)k*e(1K)(ng)t(k(0)k*)

可以证明，y(t)y*e(1K)(ng)t(y(0)y*)。

举例：假设ng6%，K=1/3，则4%（表示k和y向k*和y*每年移动剩余距离的4%），因此走完平衡增长路径距离（即消除与初始收入差距）的一半约需18年时间。

证明：et0.5，tln(0.5)/ln2/0.0418



五、黄金分割律、最优消费和黄金率资本存量水平

产出、储蓄和消费的关系：有效劳动的平均消费cf(k)sf(k) 令c=c*（处在平衡增长路径上），则：c*f(k*)sf(k*) 由于sf(k*(t))=(ng)k*(t)， 所以，c*f(k*)(ng)k*

目标为人均消费最大化，令c*/k*0，则

f'(kgo*)ldng，即为最优消费的一阶条件，该 k*gold为黄金

资本存量水平，最优消费cgold*f(kgold*)sf(kgold*)，这被称为“黄金分割律”。

图示： f(k)

ng)k(t) c gold

(k)

gold k

再考虑储蓄率s变化对消费c*的影响。

由平衡增长路径的稳定条件可知：

k*k*(s,n,g,)，由此c*f(k*)(ng)k*两边对s求导，有：

c*k*(s,n,g,) [f'(k*(s,n,g,))(ng)]ss

k*(s,n,g,)c*>0,因此的符号决定于f'(k*(s,n,g,))与ss

(ng)的大小。

c*当k*k*gold，f'(k*(s,n,g,))>(ng), >0 s

当k*k*gold，f'(k*(s,n,g,))

因此s与c*的关系为：

c*

cgold

sgold s

六、储蓄率变动的影响

下面考察政策控制变量s的变动的影响，包括：

（1） 对稳态均衡的影响；

（2） 两个稳态均衡之间的动态路径；

（3） 对长期增长的影响程度；

（4） 对长期增长的影响持续时间。

1．储蓄率变化的比较静态均衡

图示1

)k(t)

k

图示2

g)

k

2. 储蓄率变化的动态影响

（1） 对k的影响：先增加，并逐步收敛于新的更高水平。 k

t 思考：s与k的动态变化有何不同？

（2）对Y/L的影响：先暂时性的增加，但随后收敛于原来的平衡增长速度。

思考：如何证明？提示：Y/L=Af(k)。

Y/L增长率

t

ln(Y/L)

t

思考：储蓄率变动对K 、Y、K/Y的动态影响如何？

结论：

（1）储蓄率的变化只会暂时性地影响增长率，而不会永久性地影响。或者说，储蓄率的变化只有水平效应，而没有增长效应。

（2） 只有技术进步率的变化有增长效应。

（3） 政策含义：投入驱动的增长不会持续。

3.储蓄率变化对产出的长期影响

考察储蓄率s变化对有效劳动人均产出y的影响（弹性分析）。 由k*k*(s,n,g,)可知：

y*k*(s,n,g,) f'(k*)ss

由平衡增长的条件k0得到： 

sf(k*(s,n,g,))(ng)k*(s,n,g,)

两边对s求导数，

k*k* sf'(k*)f(k*)(ng)ss

k*f(k*)解得： s(ng)sf'(k*)

则y*f'(k*)f(k) s(ng)sf'(k*)

两边同乘s/y*，并用sf(k*)(ng)k*代换s，得到： sy*sf'(k*)f(k) y*sf(k*)(ng)sf'(k*)

(ng)k*f'(k*)f(k) 2f(k*)[(ng)(ng)k*f'(k*)/f(k*)](ng)k*f'(k*) f(k*)[(ng)(ng)k*f'(k*)/f(k*)]

k*f'(k*)/f(k*) 1[k*f'(k*)/f(k*)]

定义k*f'(k*)/f(k*)为k=k*处的产出的资本弹性K(k*)，它也是资本收入占总收入的份额。（思考：为什么？） sy*K(k*)sy*因此，为产出的储蓄率弹性。 y*s1K(k*)y*s

举例：设K(k*)=1/3，则

人均产出长期内仅变化5%。

结论：储蓄率的显著变化对平衡增长路径上的产出变化只有较小的影响。

4．储蓄率变化的影响时间

注意“收敛系数”(1K)(ng)与s无关。

前例：假设ng6%，K=1/3，则4%（表示k和y向k*和y*每年移动剩余距离的4%），因此走完平衡增长路径距离的一半约需18年时间。

因此，当储蓄率增加10%时，人均产出长期内仅变化5%。第1年增长0.04(5%)=0.2%，18年后增长0.5(5%)=2.5%。

sy*=1/2，当储蓄率增加10%时，y*s

结论：储蓄率变化对人均产出变化的作用较缓慢。

七、对索洛模型的总结和评论

1．主要结论

（1）无论从任何一点出发，经济向平衡增长路径收敛，在平衡增长路径上，每个变量的增长率都是常数。

（2）在其他外生变量相似的条件下，人均资本低的经济有更快的人均资本的提高，人均收入低的经济有更高的增长率。

（3）人均产出（Y/L）的增长来源于人均资本存量和技术进步，但只有技术进步才能够导致人均产出的永久性增长。

（4）通过调节储蓄率可以实现人均最优消费和最优资本存量的“黄金律”增长。

（5）储蓄率的变化只会暂时性地影响增长率，而不会永久性地影响；储蓄率的显著变化对平衡增长路径上的产出变化只有较小的影响，且作用缓慢。

2．批评

（1）未能够解释长期经济增长的真正来源。把技术进步（劳动的有效性）看成为外生给定的，而这恰恰是长期经济增长的关键。因此，索洛模型是通过“假定的增长”来解释增长的。

（2）理论预测与实际数据不符。如果资本取得的市场收益大致体现了其对产出的贡献，那么实物资本积累的变化既不能很好地解释

世界经济增长，也不能说明国家间的收入差距。

例如：根据C-D生产函数，yf(k)k，一般的=1/3，设穷国变量带*，若y/y*10，则k/k*101/1000。（如此大的资本存量差异！）

资本的边际产品MPKf'(k)k1y(1)/，若

（如此高的资本报酬率差异！） y/y*10，则MPk/MP*K1/100。

八、经验检验

1．增长因素分析（经济增长核算）

2．收敛性（绝对收敛和相对收敛）

3．储蓄（投资）、人口与产出的关系

作业：

求在平衡增长路径上每单位有效劳动的平均产出y*对人口增长率n的弹性。如果K=1/3，g=2%,=3%，则当n从2%降至1%时，y*将上升多少？