完全平方公式和平方差公式
1.平方差公式
(1)平方差公式的推导:
因为(a +b )(a -b ) =a 2-ab +ab -b 2=a 2-b 2,
所以(a +b )(a -b ) =a 2-b 2.
【例1】 利用平方差公式计算.
(1)(2a +3b )(-2a +3b ) ; (2)503×497.
2.完全平方公式
(1)两数和的完全平方公式:(a +b ) 2=a 2+2ab +b 2;
两数差的完全平方公式:(a -b ) 2=a 2-2ab +b 2.
析规律 完全平方公式的特征 完全平方公式总结口诀为:首平方,尾平方,首尾二倍积,加减在中央.
【例2】 计算:
11(1)(4m +n ) 2; (2)(y -) 2; (3)(-a -b ) 2; (4)(-2a +b ) 2. 22
3.添括号法则
法则:添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.
警误区 添括号法则的易错点 添括号时,如果括号前面是负号,括到括号里面的各项都改变符号,不可只改变部分项的符号,如:a -b +c =a -(b +c ) ,这样添括号时只是改变了第一项的符号,而第二项的符号没有改变,所以这样添括号是错误的.
【例3】 填空:(1)(x -y +z )(x +y -z )
=[x -( )][x +( )];
(2)(x +y +z )(x -y -z )
=[x +( )][x -( )].
【例4】 如图,在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a >b ) ,把剩下的部分拼成一个梯形,分别计算这两个图形阴影部分的面积,验证了公式__________
.
【例6】 观察下列各式的规律:
12+(1×2) 2+22=(1×2+1) 2;
22+(2×3) 2+32=(2×3+1) 2;
32+(3×4) 2+42=(3×4+1) 2;
…
写出第n 行的式子,并证明你的结论.
⎛21⎫⎛12⎫计算:4x -+4x (a +b +c )(a -b -c ) ⎪⎪ 计算:22⎝⎭⎝⎭
类型三:完全平方公式在三角形中的运用
例3、已知△ABC 的三边长a,b,c 满足a +b +c -ab -bc -ac =0,试判断△ABC 的形状
类型四:利用乘法公式解方程(组)
22⎧⎪(x +2)-(y +4)=(x +y )(x -y )例4:解方程组⎨ x -3y =-2⎪⎩222
类型五:多项式的证明
例5:证明无论a,b 为何值,多项式a +b -2a -6b +12的值恒为正
类型六:灵活运用乘法公式解题
例6、计算 1-
拓展:
222三项完全平方公式:(a +b +c )=a +b +c +2ab +2ac +2bc 222⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫1-2⎪1-2⎪2⎪⎝2⎭⎝3⎭⎝4⎭1⎫⎛1⎫⎛ 1-1- 2⎪2⎪⎝9⎭⎝10⎭
二次三项式:(x +a )(x +b )=x +(a +b )x +ab 2
3322立方和公式:a +b =(a +b )a -ab +b
3322立方差公式:a -b =(a +b )a +ab +b ()()
1、若(x -3)(x -4)=x +px +q , 那么p , q 的值分别是2
3、如(x +m )与(x +3)的乘积中不含x 的一次项,则m 的值为4、已知a 2-a +5=0, 则(a -3)(a +2)的值是
225、已知实数a , b 满足(a +b )=1, (a -b )=25, 则a +b +ab =26、将代数式x +6x +2化成(x +p )+q 的形式为222
7、若x +2ax +16是一个完全平方展开式,则a 的值是________-
8、已知x +16x +k 是个完全平方式,则常数k 的值为_______ 229、若x +y -5+(xy -6)=0, 则x +y =___________- 222
11⎛1⎫10、已知x +=4, 求x 2+2和 x -⎪的值 x x x ⎭⎝
2211、知实数a , b 满足(a +b )=1, (a -b )=25, 则a +b +ab = 222
课后练习
1. 下列各式中,相等关系一定成立的是( )
A.(x-y) 2=(y-x) 2 B.(x+6)(x-6) =x 2-6
C.(x+y)2=x 2+y2 D.x 2+2xy2-y 2=(x+y)2
2. 下列运算正确的是( )
112A.(a+3)2=a 2+9 B.(x -y) 2=x 2-xy+y2 363
C.(1-m) 2=1-2m+m2 D.(x2-y 2)(x+y)(x-y) =x 4-y 4
3. 将面积为a 2的正方形边长增加2,则正方形的面积增加了( )
A.4 B.2a+4 C.4a+4 D.4a
4. 下列多项式乘法中,不能用平方差公式计算的是( )
A.(a+1)(2a-2) B.(2x-3)(-2x+3) 11C.(2y-)(+2y) D.(3m -2n)(-3m -2n) 33
5. 不等式(2x-1) 2-(1-3x) 2<5(1-x)(x+1)的解集是( )
A.x >-2.5 B.x <-2.5 C.x >2.5 D.x <2.5
6. 计算:(1)(1.2x-
1552y)(-y -1.2x) ; (2)15×(-14) ; 3773
7.(1)已知x+y=6,xy =4,求①x 2+y2,②(x-y) 2,③x 2+xy+y2的值.
a 2 b 2
(2)已知a(a-3) -(a-3b) =9,求-ab 的值. 22
1. 计算:
(1)(a2+1)(a2-1) -(-a 2)·a 2; (2)(2a-b)(2a+b)-(-3a -b)(-3a+b);
(3)x2-(4-x) 2; (4)(3x-2y) 2-4(2x-y)(x-y).
2. 已知(a+b)2=7,(a-b) 2=4,求a 2+b2和ab 的值.
3. 已知△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2+b2+c2-ab -bc -ac =0,试判断△ABC 的形状.
4. 解方程:
(1)9x(4x-7) -(6x+5)(6x-5)+38=0;(2)(y2-3y+2)(y2+3y-2) =y 2(y+3)(y-3).