整数的分类
整数的分类
我们以0为界限,将整数分为三大类
1. 正整数,即大于0的整数如,1,2,3······直到n 。
2.0 ,既不是正整数,也不是负整数,它是介于正整数和负整数的数。
3. 负整数,即小于0的整数如,-1,-2,-3······直到-n 。
正整数
它是从古代以来人类计数的工具。可以说,从“一头牛,两头牛”或是“五个人,六个人”抽象化成正整数的过程是相当自然的。 正整数也可分成奇数和偶数两类
零
不仅表示“没有”(“无”),更是表示空位的符号。中国古代用算筹计算数并进行运算时,空位不放算筹,虽无空 位记号,但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度-阿拉伯命数法中的零(Zero)来自印度的(Sunya)字,其原意也是“空”或“空白”。
负整数
中国最早引进了负数。《九章算术. 方程》中论述的“正负数”,就是整数的加减法。减法的需要也促进了负整数的引入。减法运算可看作求解方程a - b=c,如果a 、b 是自然数,则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解,就有必要把自然数系扩大为整数系。
奇数
在整数中,不能被2整除的数叫做奇数,它跟偶数是相对的。日常生活中,人们通常把正奇数叫做单数,它跟双数是相对的。
偶数
整数中,能够被2整除的数,叫做偶数。 偶数包括正偶数(俗称双数)、负偶数和0。 所有整数不是奇数,就是偶数。当n 是整数时,偶数可表示为2n (n 为整数);奇数则可表示为2n+1(或2n-1)。 在十进制里,我们可用看个位数的方式判断该数是奇数还是偶数:个位为1,3,5,7,9的数为奇数;个位为0,2,4,6,8的数为偶数。
备注:现中学数学教材中规定:零和正整数为自然数。
广义整数
将整数与半整数统称为广义整数,应量子力学的需要将整数扩展为广义整数,数值逻辑公理系统提供理论支持,量子力学的半整数提供客观的科学支持!(作者:奇东)
代数性质
下表给出任何整数a ,b 和c 的加法和乘法的基本性质。
整数的性质及应用 整除的概念及其性质
如果不加特殊说明,我们所涉及的数都是整数,所采用的字母也表示整数。
定义:设a,b 是给定的数,b ≠0,若存在整数c ,使得a=bc,则称b 整除a ,记作b|a,并称b 是a 的一个约数(因子) ,称a 是b 的一个倍数,如果不存在上述c ,则称b 不能整除a 。
整数整除性的一些数码特征(即常见结论)
(1)1与0的特性:
1是任何整数的约数,即对于任何整数a ,总有1|a.
0是任何非零整数的倍数,a ≠0,a 为整数,则a|0.
(2)若一个整数的末位是0、2、4、6或8,则这个数能被2整除。
(3)若一个整数的数字和能被3整除,则这个整数能被3整除。
(4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除,则这个数能被4整除。
(5)若一个整数的末位是0或5,则这个数能被5整除。
(6)若一个整数能被2和3整除,则这个数能被6整除。
(7)若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。例如,判断133是否7的倍数的过程如下:13-3×2=7,所以133是7 的倍数;又例如判断6139是否7的倍数的过程如下:613-9×2=595 , 59-5×2=49,所以6139是7的倍数,余类推。
(8)若一个整数的未尾三位数能被8整除,则这个数能被8整除。
(9)若一个整数的数字和能被9整除,则这个整数能被9整除。
(10)若一个整数的末位是0,则这个数能被10整除。
(11)若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理!过程唯一不同的是:倍数不是2而是1!
(12)若一个整数能被3和4整除,则这个数能被12整除。
(13)若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果差是13的倍数,则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止。
(14)若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的5倍,如果差是17的倍数,则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。
(15)若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的2倍,如果差是19的倍数,则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止。
(16)若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除,则这个数能被17整除。
(17)若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除,则这个数能被19整除。
(18)若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29) 整除,则这个数能被23整除
整数的奇偶性
(1)奇数±奇数=偶数,偶数±偶数=偶数,奇数±偶数=奇数,偶数×偶数=偶数,奇数×偶数=偶数,奇数×奇数=奇数;即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数,奇数个奇数的和、差为偶数,偶数个奇数的和、差为奇数;
(2)奇数的平方都可以表示成(8m+1)的形式,偶数的平方可以表示为8m 或(8m+4)的形式;
(3)若有限个整数之积为奇数,则其中每个整数都是奇数;若有限个整数之积为偶数,则这些整数中至少有一个是偶数;两个整数的和与差具有相同的奇偶性;偶数的平方根若是整数,它必为偶数。
奇偶性的哲学内涵
(作者:奇东,单位:奇东)
偶数能被2自然整除,奇数不能被2自然整除。奇数却能被2“相对整除”,如果定义小数±0.5,±1.5,±2.5,±3.5,±4.5,±5.5,±6.5,…拥有“相对整”性质的话。其哲学意义:传统意义的偶数能被2整除、奇数不能被2整除是指奇数与偶数二者的排斥性、对立性、差异性,偶数能被2整除、奇数不能被2整除、奇数却能被2在抽象意义下“相对整除”是指奇数和偶数的异中之同、差异中的共性与同一性,恰好与哲学的对立统一规律相吻合,因此说,奇数与偶数(或整数与半整数)相反相成,蕴涵着哲学的对立统一规律!常言道,最简单的、最质朴恰恰是最深奥的。一个最简单的数值逻辑,蕴涵着最深刻的真理----对立统一规律。 整数拥有单位“1”,“相对整”分数拥有分数单位“1/2”。依照逻辑、概念、定义,分数就是分数。半整数拥有分数性质,然而却偏偏冒出一个“相对整”性质,考验人类科学的勇气与智慧。
完全平方数
完全平方数及其性质
能表示为某整数的平方的数称为完全平方数,简称平方数。平方数有以下性质与结论:
(1)平方数的个位数字只可能是0,1,4,5,6,9;
(2)偶数的平方数是4的倍数,奇数的平方数被8除余1,即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1;
(3)奇数平方的十位数字是偶数;
(4)十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6;
(5)不能被3整除的数的平方被3除余1,能被3整除的数的平方能被3整除。因而,平方数被9也合乎的余数为0,1,4,7,且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0,1,4,7;
(6)平方数的约数的个数为奇数;
(7)任何四个连续整数的乘积加1,必定是一个平方数。
(8)设正整数a,b 之积是一个正整数的k 次方幂(k ≥2),若(a,b )=1,则a,b 都是整数的k 次方幂。一般地,设正整数a,b,c ……之积是一个正整数的k 次方幂(k ≥2),若a,b,c ……两两互素,则a,b,c ……都是正整数的k 次方幂。