为什么学生听懂了就是不会做题?
极客数学课堂：为什么学生听懂了就是不会
做题？
解决方法一：学会顺向逆向的看待知识
通过多年在“极客数学帮”的教学经验，我发现多数同学都存在这样一个问题，那就是明明教科书上的知识点很少很简单，课堂上也听懂了老师的讲解，但就是不会做题，面对具体的数学题时，手足无措，毫无头绪！估计这是困扰大部分同学以及家长的普遍问题，而对于学生和家长的疑问，很多老师除了反复强调多做题多做题以外，似乎也束手无策。不可否认，刷题对于数学乃至理科的学习至关重要，但当基础的练习都举步维艰时，何来的时间、精力和心情刷题？
针对这个长期令广大学子和家长困扰的问题，凭借我多年在“极客数学帮”的为师经验，在此对其进行分析并通过举例提出可行性建议，希望能助奋斗在前线的莘莘学子一臂之力！ 当学生告诉我知识点挺简单就是不会做题时，我知道其实他们的问题之一在于“没有真正领会知识点的本质”，或者说看待知识点的方式太死，所谓的听懂了只是停留在浅显的层面。那么具体究竟该怎么做才能解决这个问题呢？最简单的一种方式便是“学会顺向逆向的看待知识”！
2例证1：对于一元二次方程ax +bx +c =0(a ≠0) ，在∆=b -4ac >0的前提下，该2
b ⎧x +x =-⎪⎪12a 一元二次方程的两个实数根x 1、x 2满足关系：⎨，这就是几乎所有同学都烂熟c ⎪x x =-12⎪a ⎩
于心的韦达定理。但是否所有同学都理解了它的本质？我们可以看到，韦达定理展示了两实数根的和与积与该一元二次方程的系数之间的关系，但究竟是什么关系，怎样才能更清晰的
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22认清它的实质？我们这样来看，因为a ≠0，所以ax +bx +c =0⇔x +b c x +=0，当a a
将方程稍微进行一个简单的变形后，我们便能更深刻的理解韦达定理：两根之和是一次项系数的相反数，两根之积是常数项，当然前提是二次项系数为正数1！有的同学就耐不住性子了，明明很简单的东西记得滚瓜烂熟的，干嘛还要如此“拐弯抹角”，不是没事找事吗？这样想的同学肯定就是听懂了不会做题的人了！
2⎧m +n =⎪⎪3为什么要“拐弯抹角”呢？我们一定遇到过这样的情形：已知实数m , n 满足⎨，1⎪mn =-⎪⎩4
求m , n 的值或者关于m , n 的代数式的值。又有同学说了，这不就是解一个方程组吗，代入消元就解决了。这自然是一种方式，但却不够聪明。一看m , n 满足的关系，便与一元二次方程的韦达定理一致，我们就知道m , n 也一定是某个一元二次方程的两个根，究竟是哪个一元二次方程呢？我们的“拐弯抹角”就很重要了，根据“两根之和是一次项系数的相反数，两根之积是常数项”的法则，可以推知m , n 是方程x -
2221x -=0的两个根，进一步将分34数全部化为整数得到一元二次方程12x -8x -3=0，最后求解其两根。
此种情形便是韦达定理的逆应用，也就是说韦达定理是由一元二次方程得两根和与积的关系，而此处却是由两个实数和与积的关系逆推其对应的一元二次方程。
例证2：在平面向量的学习中，其核心便是它的运算，最先接触的、看似最简单的是加法和减法。 C
（1）向量加法的三角形法则：AB +BC =AC ；
B
A
这是顺向的知识点本身，但我们在应用的过程中却往往需要将一个向量进行分解，比如AM ，既可以有AM =AB +BM ，也可以有AM =AC +CM ，具体情况视题目条件而定。这便是向量加法的三角形法则的逆向应用。
（2）我们再来看向量加法的平行四边形法则：AB +AD =AC （平行四边形ABCD ，且对角线的交点为O ）。
2
根据向量相等的定义有AD =BC ， 所以平行四边形法则实质上就是三角形法则。但仅仅如此理解还不够，在实际操作中，更多的不是使用AB +AD =AC ，而是
比如2013年四川高考题第12题：在平行四边形ABCD 中，对角线AC AB +AD =2AO ，
与BD 交于点O ，AB +AD =λAO ，则λ=_____。我们依然可以说平行四边形法则就是三角形法则，但却不是∆ABC ，而是∆ABD ，区分于前面的三角形法则，我们不妨称之为“三角形中线法则”（AO 为∆ABD 的中线）。当然，理解到这一步依然不够，前面的三角形法则的逆向应用可以将任意一个向量分解，比如AM =AB +BM ，那么某些时候也需要1(AB +AD ) 。比如：∆ABC 的重心为G ，请2
2用AB 、因为重心是中线的三等分点，所以取边BC 的中点O 时，AG =AO ，AC 表示AG 。3
12而逆向使用向量加法的三角形中线法则可知AO =(AB +AC ) ，代入AG =AO 中最终23
1可以得到AG =(AB +AC ) 。 3逆向应用这里的三角形中线法则，即AO =（3）再看向量的减法法则：AB -AC =CB 。因为-AC =CA ，所以根据加法的三角形法则可得AB -AC =AB +CA =CB 。除了顺向理解以外，我们依然要学会逆向思考，即任意一个向量也可以分解为两个向量之差，比如MN =AN -AM 或者MN =PN -PM , 具体情况视题目条件而定。
下面通过一个具体的例子对上面所讲述的思想进行说明。
、OB 满足|OA |=|OB |=1, OA ⋅OB =0, OC =λOA +μOB ，其中 【例】已知向量OA (λ, μ∈R ) ，若M 为线段AB 中点，且|MC |=1，则点(λ, μ) 在（ ）
11, ) 为圆心，半径为1的圆上 22
11B. 以(, -) 为圆心，半径为1的圆上 22
11C. 以(-, -) 为圆心，半径为1的圆上 22
11D. 以(, ) 为圆心，半径为1的圆上 22A. 以(-
【解析】因为M 为线段AB 的中点，逆向应用向量加法的三角形中线法则可得
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1OM =(+) ，再逆向应用向量的减法知MC =OC -OM ，代入OC 、2
111的表达式可得MC =λOA +μOB -(OA +OB ) =(λ-) OA +(μ-) OB ，
222
1112122=[(λ-) +(μ-) ]=(λ-) +(μ-) =1，答案为B 。 2222
以上所述仅仅从两个小的方面（韦达定理、平面向量的加减法则）对顺向逆向看待知识这一学习方式做了一个简单的说明，给广大学子提供一个具体可操作的学习思路，有意的训练自己对知识点进行顺向逆向的思考，如此才会更加透彻而深刻的领会知识点的本质及其精髓，潜移默化的训练了自己的数学思维，当然这种思维并不局限于对数学的学习，其他学科依然适用。希望广大学子可以在学习中不断的实践，一步一步掌握学习的方法，从而触类旁通，举一反三，进而达到优质、高效的学习目的！
数学堪称高端大气上档次，它以严密的逻辑奠定自然科学的基础，它骨子里简单却变幻无穷，它与散文同样具备“形散神不散”的韵味！虽然经常被它耍得团团转，但“极客数学帮”却乐此不疲，因为它激发了我们去征服它的欲望！数学的高峰并非难以攀登，我们要勤于思考攀登的方式，当你选择了好的工具、选择了好的路径，便可体会“会当凌绝顶，一览众山小”的成就感了！
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