数理方程第二次作业参考答案
第二次作业
1. 化下列方程为标准形式：
u xx +yu yy =0
解：根据题意可得a =1, b =0, c =y ，则有∆=b 2-ac =-y 。
（1）当y =0时，∆=0，方程为抛物型方程，标准形式为u xx =0；
（2）当y >0时，∆
dy 2+ydx 2=0
解得两条特征线为
2y ±ix =C 选取变换ξ=2y , η=x ，带入原方程可得
1u ξξ+u ηη-u ξ=0 ξ
（3）当y 0，方程为双曲型方程，对应的特征方程为
dy 2+ydx 2=0
解得两条特征线为
-2-y ±x =C 选取变换ξ=x -2-y , η=x +2-y ，带入原方程可得
u ξη=-1(u ξ-u η) 2ξ-η2. 确定下列方程的通解：
u xx -3u xy +2u yy =0
解：根据题意可得a =1, b =-, c =2，∆=b 2-ac =>0，方程为双曲型方程，对应的特征方程为 3214
dy 2+3dxdy +2dx 2=0
解得两条特征线为
y +x =C 1y +2x =C 2
选取变换ξ=y +x , η=y +2x ，可把原方程化简为
u ξη=0
此方程的通解是
u =f (ξ)+g (η)
其中是f , g 关于ξ, η的任意二次可微的连续函数，
所以原方程的通解为
u =f (x +y )+g (2x +y )
作业中出现的问题：
第一题：
1. 有的同学以为特征线就是通解，这也太荒谬了。
2. 有的同学没有讨论y =0时候的情况。
3. 作变量代换的时候有的同学设的变量很复杂，不可取。另外化简的时候没有化到最简，方程中还包含x , y 。此外有的同学认为书上最简形式的椭圆、双曲方程就是本题的结果，这是完全错误的。还有计算问题也出现了很多。
第二题：
1. 到u ξη=0这一步都没有什么大问题，主要是后面求这个积分出现了问题，一方面有的同学最后结果中后面还带着积分号，另一方面有很多同学都没有讨论f , g 和性质。