Stolz定理的应用
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Stolz定理的应用
邸聪娜t李民良:任蕴丽1
(1.河北科技师范学院数理系2.上海海洋大学)
[摘要】在极限理论中“离散”型是基础,Smtz定理是求解“离散”型不定式极限问题的有效方法,下面将通过实例分两部分充分挖掘Stolz定理在极限求解和理论证明中的应用价值。【关键词】Stolz定理不定式极限
Stolz定理是解决数列不定式极限问题的重要定理,对于用通常方法求解或证明是比较麻烦甚至无从下手的一些数列极限问题。应用StoLz定理却可以简捷地解答和证明。因此,本文针对数列不定式分两部分,通过举实例详细介绍了Sto]z定理的应用。
1.求解数列不定式极限问题
(1)求“晏”型的数列不定式的极限。
Stolz定理是求解“晏”型的数列不定式极限的有效工具,从这点意
义上讲,Stolz定理与Hospital法则具有同等效应。
例l求极限。熙坐学。
由引理4可得:一lira。ynx"=一lira。㈣k-x.,q=一lim。≯百n可kin
解设xI芦1~2~…+一。yFn¨,显然数列{yJ,(】cn}满足引理4的条件,
肿。yn”叫o
。
yn-y一—+。n…一一l厂”
应用二项展开式:n—l广l_一-一皿+1)II~玉I;粤n“一.
贿一lim一。yI一。∽1)n~磐妄业一+..・
yIx=一l/m.∽l蚺!(n甄k
=一lim-∽1)一姆砸l趸i
1
l
2百丁。
(2)求“÷”型的数列不定式的极限。
应注意到。在Stolz定理的条件中,并没有要求lim球斗∞。因此,可用Stolz定理来求“二一”型的数列不定式的极限。
例2
c化京师范大学02年考研真题)设艺钆收敛.数列{曲为单调
递增的正项数列,且“m
p产+∞,证明:lira卫I型业型=盟=o。
证明令A庐al+a一…+‰。n=l,2’…,且设liraA产A,则有
al=AI’a产Ad—A}I,n=2,3,…
于是有pIaI+p2a一…+p-.a。=plAl+p2(Az—A1)+…+p矗(Ai—A}I)
再令B—A-h一咖A如r鳓+..・+A.卜l(阻广曲,则有
..
=AI(P,-pz)+A2(p广p3)±i’:+.^,l(pd—pJ+p。屯
且璺!=生毡芏■:腔k=且+A丑,又因为lira
AfA,
所以由引理4得Um.旦L:li。旦t出:tim垒也出
一。P-一。聊一m■”阻-一Pn
=lim当坦血t业=lim(一AJ=-A。
所以lim卫l业曲型=!世k—A+A=0.证毕。r”。
pn
(3)求“可0”型的数列不定式的极限。例3设数列㈨,fyn}满足:舻}+》+..’+》,舻}+》+..’+》,其
中凰,bi∈R+,i=l,2,…,k,求极限:lim玉。
解由已知条件可知,lilnⅡ。●+-口‘叶●
x卢|ira。y卸,由引理5可得:卑
¨。yI料。y.-y—lira
k=lim三蛊L=lim芒一=lira}=}。H。垃n。饥饥
nl
(4)某些数列极限证明的特殊应用。
数列极限的证明一般来说比较困难。特别是应用极限的定义证明
常常不是一件容易的事,但若是应用Stolz定理进行证明就很简捷了。
例4设数列{“,{b。)满足:a。=h_+k,其中I^I<l,则
…lirab。=0{辛lim证明(充分性)设lira*曲,则由8“=h—bn显然有lim啪;
…
a棚。一72一
万方数据
(必要性y设lirab,--O。Ⅱ一+■
①当k=O时,有a叶,=k。显然有lira
a棚;
n—.+∞
⑦当o<lxI<l时,有aI.1-入a—b声bn+xm,I+h一
=b。l+Xbn.I+入2a口.1=…
Ⅵ}州b(}广l+bd}7l-2+…+bt}+at
(扣
因而有
l‰l《坐由坐!由竺攀由竺型由:生x,
(由r
.
蚓…得…lim蚂睫4可得一舻一-(÷卜荽)I2规黼砒
所以liraa..--O,证毕。
1llm蒜-=规甜=o,
例5(数列形式Cauchy定理)若数列fxn}收敛,即极限limxn存在(有
限或±*)。则其算术平均值数列是P}∑】【i,n=l,2,…,也收敛,Rllm轳n
i=l
p+o
撅xn。
证明设a产∑xi,岵n,显然数列f硝,(bn}满足引理4的条件,故有
tim导L=lim;k££=争一=bm{L=limx。,
4—叶。nn
B--++w
n叶1—Dn
r.+o
l
F-.+。
又铲÷萋%=等,所以.熙s,=一lira。‰a,=一lim。xn,证毕。
例6(数列形式c明chy定理的推论)假设。熙墨一,则当入t>o。i=1,2,
…盹有鲰2蔷
∑岫
p+∞
一
证明设铲∑k,bF∑~,显然数列{柚,{Ⅵ满足引理4的条件,
kl
bl
黼黔lim娑珊lim等=一lira。-嚣也k故有
xm
一。主沁”。‰一。吣一‰一。
=上l_一=}}£{生=lim
五垴
即有lira=』1_一≈,证毕。
一主~
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注:用其它方法证明上述各命题都比较困难.但由上述证明过程可
以看出.使用Stolz定理来证就非常简捷r。另外,这些经典命题在极限
求解中也不失为一种有效的工具,可以使许多困难的极限问题得到巧
解,这里不再赘述。
参考文献
[1]华东师范大学数学系.数学分析(上册)(第二版)[M].北京:高等
教育出版社,1993:45.
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Stolz定理的应用
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邸聪娜, 李民良, 任蕴丽
邸聪娜,任蕴丽(河北科技师范学院数理系), 李民良(上海海洋大学)科技信息
SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION2009,""(18)0次
参考文献(4条)
1. 华东师范大学数学系 数学分析 19932. 钱吉林 数学分析解题精粹 2003
3. 裴礼文 数学分析中的典型问题与方法 19984. 孙本旺 数学分析中的典型例题与解题方法 1992
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