第二章实数八上

第二章 实数

2.1认识无理数

一、探索新知

(1)无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数. (2)任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能 二、典例讲解

例1、下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

∙∙

3.14，－4

3

，0. 57，-π，0.1010010001„(相邻两个1之间0的个数逐次加1).

例2、判断下列说法是否正确:

(1)有限小数是有理数; （ ） (2)无限小数都是无理数; （ ）(3)无理数都是无限小数; （ ） (4)有理数是有限小数. （ ）(5)有理数与无理数的差都是有理数( ) (6)两个无理数的和一定是无理数 ( ）例3、下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和三条长度是无理数的线段。 三、巩固训练：

1、下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

0.351，－23, 4. 9∙6∙

，3.14159，π2

，－5.2323332„，[**************]„(由相继的正整数

组成).

2、在下列各数0. 51515354 、0、0. 2

、3π、227、6. 1010010001 、131

11

无理数的个数是( )

(A) 1 ( B) 2 (C) 3 (D) 4 3、下列六种说法正确的个数是( ) ○1无限小数都是无理数 ○2正数、负数统称有理数 ○

3无理数的相反数还是无理数 ○4无理数与无理数的和一定还是无理数 ○

5无理数与有理数的和一定是无理数 ○6 无理数与有理数的积一定仍是无理数

(A) 1 ( B) 2 (C) 3 (D) 4

2.2平方根

2.2平方根（1） 一、新知探究

概念1：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2

=a，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为“a ”，读作“根号a ”．特别地，我们规定0的算术平方根是0，即0=0．算术平方根的性质：1. 只有非负数才有算数平方根的性质，即a ≥0. 2.算数平方根是非负数，即≥0 二、典型例题

例1、求下列各数的算术平方根：（1）900； （2）1； （3）

49

64

； （4）14 例2、自由下落物体的高度h （米）与下落时间t （秒）的关系为h=4.9t2

．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？

三、巩固训练

1、若一个数的算术平方根是，那么这个数是 ；

4

的算术平方根是_________. 9

1447

, 1的算术平方根为_______. 3、正数_____的平方为

259

2、

4、0. 04=_________

5、() 2的算术平方根是(－1.44) 的算术平方根为_________；

2

23

6、9的算术平方根是 ；的算术平方根为_________； 7、若m +2=2，则(m +2) 2； 8、求下列各数的算术平方根： 36，

1215

，15，0.64，10-4，225，() 0．

6144

9、从帐篷支撑竿AB 的顶部A 向地面拉一根绳子AC 固定帐篷．若绳子的长度为5.5米，地面固定点C 到帐篷支撑竿底部B 的距离是4.5米，则帐篷支撑竿的高是多少米？ ★10、（1）

x

有意义？ （2）已知x -2+

y

y +4=0，求x 的值．

2.2平方根（2）

一、复习回顾

（1）何为算数平方根？9，

425

,0.64的算数平方根是什么？（2）平方等于9，

425

,0.64

的数有几个？它们又有什么关系？ 二、新知探究

※概念2：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根（二次方根）；即x =a，那么x 叫做a 的平方根， 记作： ±

2

a ，其中正的平方根叫算术平方根。例如:(±

2

4) =16,则+4和-4都是16的平方根; 即16的平方根是±4; 4是16的算术平方根. 开平方：求一个数a 的平方根的运算。a 叫做被开方数。 例3、求下列各数的平方根:(1)64； (2)

492

； (3) 0.0004； (4)(-25)； (5) 11 121

※小结：

1、 平方根的性质：

（1）一个正数有 个平方根，它们互为 ；（2）0只有 个平方根，它是 ；（3）负数 。

2、平方根与算术平方根的联系与区别：

联系：1. 包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一个. 2. 只有非负数

才有平方根和算术平方根.

3. 0的平方根是0，算术平方根也是0.

区别：1. 个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根.

2. 表示法不同：平方根表示为 ±

a ，而算术平方根表示为a

三、巩固训练

222

1、判断下列各数是否有平方根？并说明理由.(－3) ；0；－0.01；－5； a－2a +2 2、下列说法正确的是

①-3②25的平方根是5；③-36的平方根是-6；④平方根等于0的数是0；⑤64的平方根是8．

3、下列说法不正确的是( ) ．

(A)0的平方根是0 (B)-2的平方根是±2

(C)非负数的平方根是互为相反数 (D)一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数

4、下列写法错误的是（ ）

（A ）（B ）（C ）—= —10 （D -10000=100 ±0. 04=±0. 2 ±0. 01=±0. 1 5、9的平方根是（ ）

（A ） ±3 （B ）3 （C ）±3 （D ） 6、的平方根是（ ）

（Ａ）９ （Ｂ）３ （Ｃ）±９ （Ｄ）±３

7、一个数的平方根就是这个数的算术平方根，这个数是（ ） （A ）1 （B ）—1 （C ） 0 （D ）1或0

8、已知x 有两个平方根，且x =3，则x 的值为（ ）

（Ａ）９ （Ｂ）３ （Ｃ）—３ （Ｄ）±３

9、知一个自然数的算术平方根是a ，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（ ）．

2

(C) a 10、(-5)的平方根是

，= 11

、= ，

=

2

2

2

12、一个的两个平方根分别为a +2与3a -1，则a 的值为 。 13、求下列各数的平方根.121； 0.01； 214、求x 的值。2(x -1)-72=0；

2

723

； (－13) ； －(－4) 9

★思考：(1)当a ≥0时，(a ) 2等于什么？ （2）a 2=a 一定成立吗？

2.3立方根

一、新知探究 ※概念3：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a , 那么这个数x 就叫做a 的立方根（也叫做三次方根）．如：2是8的立方根，－3是－27的立方根，0是0的立方根．a 的立方根记为“a ”，读作“三次根号a ”，如7的立方根，记作：7。 思考：

（1）2的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是8？

（2）－3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是－27？ （3）0的立方等于多少？0有几个立方根？ ※小结：立方根的性质

（1）正数的立方根是正数；（2）0的立方根是0；（3）负数的立方根是负数．

※求一个数a 的立方根的运算叫做开立方, 其中a 叫做被开方数．开立方与立方互为逆运算． 二、典型例题

例1、求下列各数的立方根：（1）－27； （2）-5 （3）0. 216 填空并探索规律：

-1)

3

=____

-13

=____

3)

3

=____

33=____

0)

3

=____

03=____. a 表示a 的立方根，则

a )

3

=____, a 3=____.

38

； （4）． 125

例2、 求下列各式的值：（1）-8; （2）0. 064; （3）-3三、巩固练习

1、求下列各数的立方根：0，1，－

2、 求下列各式的值：0. 027; -1; -

3、求x 的值。 8x +27=0

3

)

27125

，6，－，0.001 811000

1638

; -1; (-2) 3; (-2) 3; (-) 2 1256427

4、一个正方体，它的体积是棱长为3厘米的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长为多少？

2.4估算

一. 学习要点：会估算一个无理数的大致范围，比较两个无理数的大小。 （1）0. 01=____=____=____=____

（2）0. 001=____=____=____=____ 二、探索新知:

问题1:观察例子, 完成填空: 按要求估算20的大小.

16

()

∴4

(误差小于0. 1)(误差小于1)

估算一个用根号表示的无理数的大小一般是采用”迫近法”. 问题2：你会利用估算比较5-1与1的大小吗?

2

2

三、巩固练习：

1 ） Ａ．在3到4之间

Ｂ．在4到5之间 Ｃ．在5到6之间 Ｄ．在6到7

之间

2的大小应（ ）

A ．在9.1～9.2之间 B．在9.2～9.3之间 C．在9.3～9.4之间 D．在9.4～9.5

之间 32的值是在（ ） Ａ．5和6之间 4、在三个数0.5，

Ｂ．6和7之间 Ｃ．7和8之间

Ｄ．8和9之间

1

，-中，最大的数是（ ） 33

Ｄ．不能确定

Ａ．

0.5 Ｂ．

1 Ｃ．-

33

5、5 ． 6、估算下列数的大小

.

（10.1）

（21）. 7、通过估算，比较下面各数的大小

. （1）

11

与 ; （23.85. 2

2

2.5 用计算器开方

2.6实数

2.6 实数(1)

学习要点：

1、了解实数的意义，能对实数按要求进行分类；

2、了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。

3、了解实数和数轴上的点一一对应，能根据实数在数轴上的位置比较大小。 一、复习提问：

（1）什么叫无理数？什么叫有理数？ （2）指出下列各数中的有理数和无理数。

152042，，7，π，-，2，，-，-8，，0，0.3737737773„„

4239

二、探索新知：

※实数概念： 统称为实数。 问题2：完成下列题目后，请对实数进行分类：

例1、把复习提问中的各数填入下面相应的集合中。

有理数： 无理数： 正有理数： 负有理数： 思考：（1）0属于正数吗？0属于负数吗？

（2）实数除了可以分为有理数与无理数外，实数还可怎样分？ ※实数分类：

实数

实数

※ 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值

的意义完全一样。 如:2和 互为相反数， 和

1

互为倒数。

⎧____a 0时⎪

a =⎨____a =0时

⎪____a 0时⎩

如：

正数的绝对值等于_________

0的绝对值等于______负数的绝对值等于_________

=____，-π=_____，3-π=_____。

※由此我们得到：a 是一个实数，它的相反数为 ，绝对值为 ，当a ≠0，那

么它的倒数为 。

思考：如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴上被填满了吗？请在下面数轴上画出2

和5。

※由此我们得到：每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来数轴上的每一个点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是 。

※在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

三、巩固练习：

1、判断下列说法是否正确： （1）无限小数都是无理数；（2）无理数都是无限小数；（3）带根号的数都是无理数。 2、求下列各数的相反数、倒数和绝对值：（1）3.8 （2）-21 （3）-π （4） （5）

27

100

2.6 实数(2)

一、复习回顾:

上节课我们学习了实数的定义、实数的两种分类，还有在实数范围内如何求相反数、倒数、绝对值，它们的求法和在有理数范围内的求法相同. 那么在有理数范围内的运算法则、运算律等能不能在实数范围内继续用呢？ 二、探索新知:

问题1:在有理数范围内学过哪些运算法则和运算律? 这些运算法则和运算律是否在实数范围内适用.

如：2⋅3=⋅2 3⋅2⋅

11=3⋅(2⋅) =, 22

22+32=(2+3) 2=2.

问题2:带有根号的计算过程对大家来说是新鲜的, 那么有什么规律帮助我们更好的完成计

算吗? 先完成下列各题, 然后试着归纳规律.

(1)4⨯=_______，4⨯9=_______； (2)⨯=_______，⨯9=_______；

(3)

1644

=_________，=_________； (4)=_________. =_________，

259259

关于乘法的规律: .

关于除法的规律: . 问题3:掌握了基本的运算律、法则和计算规律，对于综合的题目解决过程需要注意什么呢？ 例1、化简：(1)⨯-5；(2)

6⨯2

； (3)(+1)； (4)(2+1)(2-1) . 2

三、巩固练习：1、化简：（1⨯

229⨯6

； （2；（3）（4） (-) ；(2-1) 2；20（5）(1+3)(2-3) ； （6）27⨯3－4； 2、化简：（16⨯

266⨯22

； （2） （3）(－1) ； （4） ； 3（5⨯5-⨯2；（62(2+8) ； （7）（3+23）（3－2） （84+540

3、一个直角三角形的两条直角边长分别为 cm和45 cm，求这个直角三角形的面积.

★4、已知5+的小数部分为a ，5－的小数部分为b ，求：a +b 的值；a －b 的值.

2.7二次根式

学习要点： （1）公式a ⋅b =

a ⋅b （a ≥0，b ≥0）

，a =

a

b

（a ≥0，b ＞0）从右往左的运用． （2）了解含根号的数的化简，利用化简对实数进行简单的四则运算． （3）灵活运用两个法则进行有关实数的四则运算． 一、复习回顾

1、a ⋅b = （a ≥0，b ≥0），2、

a b

= （a ≥0，b ＞0）

3、以上两个公式反过来成立吗？若成立，又有什么用途呢？ 二、探索新知 1、设大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b ，请计算a 和b 的大小.

2、a 与b 之间有怎样的倍分关系呢？能否由计算得到呢？

8=

⨯=

⨯=22

例1、化简：（1) 27； (2)45； (3)； (4)； (5)

329； (6)125

16

.

※归纳：被开放数中有

时，需要进行化简。方法是把被开方数中的完全平方数开出。

3、像下面的计算过程

1222

也是一种化简。在这个过程中，原来被开方数===

2424

中含有分母，分母和分子经过怎样的变化，化简后被开方数中就没有分母了呢？

⨯

4949

=5⨯=1010

49

=2

=⨯=

7

2. 2

※归纳：被开方数中有 时，需要进行化简。方法是利用分数的性质，使分母化

为 ，然

后从根号中开出。 例2、化简：（1）

例3、化简：（1）+； （2）+48； （3）320-45-

13

； （2） ； （3） . 2. 82

1

； 5

（4） 6-

32-. 23

三、巩固训练

1、化简：①； ②48-3； ③- ⑥

⑩(5+6)(2-2)

第二章《实数》单元测试题

一．选择题：（每题3分，共30分）

1. 边长为1的正方形的对角线长是（ ）

A. 整数 B. 分数 C. 有理数 D. 无理数

1； ④； ⑤； 5

⨯1442

； ⑦ +-； ⑧ -2⨯3； ⑨6(2-) ；

1699

2. 在下列各数中是无理数的有( )

－0.333„, 4, , -π, 3π, 3.1415, 2.010101„(相邻两个1之间有1个0),76.0123456„(小数部分由相继的正整数组成).

A.3个 B.4个 C. 5个 D. 6个 3. 下列说法正确的是（ ）

A. 有理数是有限小数 B. 无理数是无限小数 C. 无限小数是无理数 D.

π

是分数 3

4. 下列说法错误的是（ ）

A. 1的平方根是1 B. –1的立方根是－1

2

C. 2是2的平方根 D. –3是(-3) 的平方根

5. 若规定误差小于1, 那么的估算值为（ ） A. 3 B. 7 C. 8 D. 7或8 6. 下列各数中, 已经简化的是（ ） A.

1

B. 20 C. 22 D. 3

2

7. 下列结论正确的是（ ）

⎛16⎫16222

⎪=-(-6) =-6(-16) =±16A. B.(-) =9 C. D.-- ⎪2525⎝⎭

8. 下列说法正确的是（ ）

A. -0. 064的立方根是0.4 B.-9的平方根是±3 C.16的立方根是 D.0.01的立方根是0.000001 9. 以下语句及写成式子正确的是（ ）

22

A.7是49的算术平方根，即49=±7 B.7是(-7) 的平方根，即(-7) =7

C. ±7是49的平方根，即±49=7 D.±7是49的平方根，即49=±7 10. 若a 和-a 都有意义，则a 的值是（ ）

A. a ≥0 B.a ≤0 C.a =0 D.a ≠0 二. 填空题：（每空1分，共20分） 11. 把下列各数填入相应的集合内:－7, 0.32,

1π1,46, 0, , , 216, －. 322

①有理数集合: { „}； ②无理数集合:

{ „}；

③正实数集合: { „}；

④实数集合: { „}.

12. 9的算术平方根是 ；3的平方根是 ； 0的平方根是 ；－2的平方根是 .

13. –1的立方根是 ,1的立方根是 , 9的立方根是 . 27

14. 2的相反数是 , 倒数是 , -6的绝对值是15. 比较大小

；

填“>”或“

216. (-4) =；(-6) 3=； () 2三. 解答题：

17. 求下列各数的平方根和算术平方根：（4分） ① 1; ②10.

18. 求下列各数的立方根：（2分）①

19. 求下列各式的值:(12分)

①. 44; ②-0. 027; ③-6; ④

20. 化简:(24分)

①. 44-. 21；②+32-2；③

⑤(1+2)(1-3) ； ⑥(2-5) 2； ⑦(22+3) 2； ⑧(2+3)(2-) .

21. （4分）小芳想在墙壁上钉一个三角架(如图), 其中两直角边长度之比为3:2, 斜边长-427-6; ②-10. 21610249 ; ⑤+; ⑥ -3-2-. 64252712+ ④ +27∙；+(1-) 0；3厘米, 求两直角边的长度.

22. （4分）八年级二班两位同学在打羽毛球, 一不小心球落在离地面高为6米的树上. 其中一位同学赶快搬来一架长为7米的梯子, 架在树干上, 梯子底端离树干2米远,

另一位同学爬上梯子去拿羽毛球. 问这位同学能拿到球吗?