波动光学大学物理答案

习题13

13.1选择题

（1）在双缝干涉实验中，为使屏上的干涉条纹间距变大，可以采取的办法是[ ]

(A) 使屏靠近双缝．

(B) 使两缝的间距变小．

(C) 把两个缝的宽度稍微调窄．

(D) 改用波长较小的单色光源． [答案：C]

（2）两块平玻璃构成空气劈形膜，左边为棱边，用单色平行光垂直入射．若上面的平玻璃以棱边为轴，沿逆时针方向作微小转动，则干涉条纹的[ ] (A) 间隔变小，并向棱边方向平移． (B) 间隔变大，并向远离棱边方向平移． (C) 间隔不变，向棱边方向平移．

(D) 间隔变小，并向远离棱边方向平移． [答案：A]

（3）一束波长为λ的单色光由空气垂直入射到折射率为n 的透明薄膜上，透明薄膜放在空气中，要使反射光得到干涉加强，则薄膜最小的厚度为[ ] (A) λ / 4 ． (B) λ / (4n ) ．

(C) λ / 2 ． (D) λ / (2n ) ． [答案：B]

（4）在迈克耳孙干涉仪的一条光路中，放入一折射率为n ，厚度为d 的透明薄片，放入后，这条光路的光程改变了[ ]

(A) 2 ( n -1 ) d ． (B) 2nd ． (C) 2 ( n -1 ) d +λ / 2． (D) nd ．

(E) ( n -1 ) d ． [答案：A]

（5）在迈克耳孙干涉仪的一条光路中，放入一折射率为n 的透明介质薄膜后，测出两束光的光程差的改变量为一个波长λ，则薄膜的厚度是 ［ ］

(A) λ / 2 ． (B) λ / (2n ) ． (C) λ / n ． (D) λ / [2(n-1)]． [答案：D]

13.2 填空题

（1）如图所示，波长为λ的平行单色光斜入射到距离

为d 的双缝上，入射角为θ．在图中的屏中央O 处

(S 1O =S 2O ) ，两束相干光的相位差为

________________．

[答案：2πd sin θ/λ]

（2）在双缝干涉实验中，所用单色光波长为λ＝562.5 nm (1nm＝10-9 m)，双缝与观察屏的距离D ＝1.2 m ，若测得屏上相邻明条纹间距为∆x ＝1.5 mm ，则双缝的间距d ＝

__________________________．

[答案：0.45mm]

（3）波长λ＝600 nm的单色光垂直照射到牛顿环装置上，第二个明环与第五个明环所对应的空气膜厚度之差为____________nm．(1 nm=10-9 m)

[答案：900nm ]

（4）在杨氏双缝干涉实验中，整个装置的结构不变，全部由空气中浸入水中，则干涉条纹的间距将变 。（填疏或密）

[答案：变密 ]

（5）在杨氏双缝干涉实验中，光源作平行于缝S 1，S 2联线方向向下微小移动，则屏幕上的干涉条纹将向 方移动。

[答案：向上 ]

（6）在杨氏双缝干涉实验中，用一块透明的薄云母片盖住下面的一条缝，则屏幕上的干涉条纹将向 方移动。

[答案：向下 ]

（7）由两块平玻璃构成空气劈形膜，左边为棱边，用单色平行光垂直入射．若上面的平玻璃以垂直于下平玻璃的方向离开平移，则干涉条纹将向 平移，并且条纹的间距将 。

[答案：棱边，保持不变 ]

13.3 某单色光从空气射入水中，其频率、波速、波长是否变化? 怎样变化? 解: υ不变，为波源的振动频率；λn =

λ空

n

变小；u =λn υ变小．

13.4 什么是光程? 在不同的均匀媒质中，若单色光通过的光程相等时，其几何路程是否相同? 其所需时间是否相同? 在光程差与位相差的关系式∆ϕ=长, 为什么?

解:∆=nr ．不同媒质若光程相等，则其几何路程定不相同；其所需时间相同，为∆t =因为∆中已经将光在介质中的路程折算为光在真空中所走的路程。

13.5 用劈尖干涉来检测工件表面的平整度，当波长为λ的单色光垂直入射时, 观察到的干涉条纹如题13.5图所示，每一条纹的弯曲部分的顶点恰与左邻的直线部分的连线相切．试说明工件缺陷是凸还是凹? 并估算该缺陷的程度．

解: 工件缺陷是凹的．故各级等厚线(在缺陷附近的) 向棱边方向弯曲．按题意，每一条纹弯曲部分的顶点恰与左邻的直线部分连线相切，说明弯曲部分相当于条纹向棱边移动了一条，故相应的空气隙厚度差为∆e =

2π

λ

∆ 中, 光波的波长要用真空中波

∆． C

λ

2

，这也是工件缺陷的程度．

题13.5图 题13.6图

13.6 如题13.6图，牛顿环的平凸透镜可以上下移动，若以单色光垂直照射，看见条纹向中 心收缩，问透镜是向上还是向下移动?

解: 条纹向中心收缩，透镜应向上移动．因相应条纹的膜厚e k 位置向中心移动．

13.7 在杨氏双缝实验中，双缝间距d =0.20mm，缝屏间距D ＝1.0m ，试求：

(1) 若第二级明条纹离屏中心的距离为6.0mm ，计算此单色光的波长； (2) 相邻两明条纹间的距离．

D 1⨯103

k λ知，6. 0=⨯2λ， 解: (1)由x 明=d 0. 2

∴ λ=0. 6⨯10

-3

mm =6000A

o

D 1⨯103

⨯0. 6⨯10-3=3 mm (2) ∆x =λ=

d 0. 2

13.8 在双缝装置中，用一很薄的云母片(n=1.58)覆盖其中的一条缝，结果使屏幕上的第七级明条纹恰好移到屏幕中央原零级明纹的位置．若入射光的波长为5500A ，求此云母片的厚度． 解: 设云母片厚度为e ，则由云母片引起的光程差为

o

δ=ne -e =(n -1) e

按题意 δ=7λ

7λ7⨯5500⨯10-10

==6. 6⨯10-6m =6. 6μm ∴ e =

n -11. 58-1

13.9 洛埃镜干涉装置如题13.9图所示，镜长30cm ，狭缝光源S 在离镜左边20cm 的平面内，与

-7

镜面的垂直距离为2.0mm ，光源波长λ=7.2×10m ，试求位于镜右边缘的屏幕上第一条明条纹到镜边缘的距离．

题13.9图

解: 镜面反射光有半波损失，且反射光可视为虚光源S '发出．所以由S 与S '发出的两光束到达屏幕上距镜边缘为x 处的光程差为 δ=(r 2-r 1) +第一明纹处，对应δ=λ

λ

2

=d

x λ+ D 2

7. 2⨯10-5⨯50==4. 5⨯10-2mm ∴x =2d 2⨯0. 4

λD

13.10 一平面单色光波垂直照射在厚度均匀的薄油膜上，油膜覆盖在玻璃板上．油的折射率为1.30，玻璃的折射率为1.50，若单色光的波长可由光源连续可调，可观察到5000 A 与7000

o

A 这两个波长的单色光在反射中消失．试求油膜层的厚度．

解: 油膜上、下两表面反射光的光程差为2ne ，由反射相消条件有

o

2ne =(2k +1)

当λ1=5000A 时，有

o

1

=(k +) λ (k =0, 1, 2, ⋅⋅⋅) ① 2k 2

λ

1

2ne =(k 1+) λ1=k 1λ1+2500 ②

2

当λ2=7000A 时，有

o

1

2ne =(k 2+) λ2=k 2λ2+3500 ③

2

因λ2>λ1，所以k 2

1

2ne =(k 3+) λ3式

2

即不存在 k 2

即 k 2=k 1-1 ④ 由②、③、④式可得：

k 1=

k 2λ2+10007k 2+17(k 1-1) +1

==

λ155

得 k 1=3

k 2=k 1-1=2

可由②式求得油膜的厚度为

o k 1λ1+2500

e ==6731A

2n

13.11 白光垂直照射到空气中一厚度为3800 A 的肥皂膜上，设肥皂膜的折射率为1.33，试问该膜的正面呈现什么颜色? 背面呈现什么颜色? 解: 由反射干涉相长公式有

o

=k λ (k =1, 2, ⋅⋅⋅) 2

4ne 4⨯1. 33⨯380020216

==得 λ= 2k -12k -12k -1

2ne +

k =2, λ2=6739A (红色)

o

λ

k =3, λ3=4043 A (紫色)

所以肥皂膜正面呈现紫红色．

由透射干涉相长公式 2ne =k λ(k =1, 2, ⋅⋅⋅) 所以 λ=当k =2时， λ =5054A (绿色) 故背面呈现绿色．

13.12 在折射率n 1=1.52的镜头表面涂有一层折射率n 2=1.38的Mg F 2增透膜，如果此膜适用于波长λ=5500 A 的光，问膜的厚度应取何值?

解: 设光垂直入射增透膜，欲透射增强，则膜上、下两表面反射光应满足干涉相消条件，即

o

o

o

2ne 10108

= k k

1

2n 2e =(k +) λ(k =0, 1, 2, ⋅⋅⋅)

2

1(k +) λ

=k λ+λ ∴ e =

2n 22n 24n 2

o 55005500=k +=(1993k +996) A 2⨯1. 384⨯1. 38

令k =0，得膜的最薄厚度为996A ．

o

当k 为其他整数倍时，也都满足要求．

13.13 如题13.13图，波长为6800A 的平行光垂直照射到L ＝0.12m 长的两块玻璃片上，两玻璃片一边相互接触，另一边被直径d =0.048mm的细钢丝隔开．求：

(1) 两玻璃片间的夹角θ=?

(2) 相邻两明条纹间空气膜的厚度差是多少? (3) 相邻两暗条纹的间距是多少? (4) 在这0.12 m内呈现多少条明条纹

?

o

题13.13图

解: (1)由图知，L sin θ=d ，即L θ=d

故 θ=

d 0. 048-4

==4. 0⨯10(弧度) 3L 0. 12⨯10

(2)相邻两明条纹空气膜厚度差为∆e =

λ

2

=3. 4⨯10-7m

λ6800⨯10-10-6

==850⨯10(3)相邻两暗纹间距l =m =0. 85 mm 2θ2⨯4. 0⨯10-4

(4)∆N =

13.14 用λ= 5000A 的平行光垂直入射劈形薄膜的上表面，从反射光中观察，劈尖的棱边是暗纹．若劈尖上面媒质的折射率n 1大于薄膜的折射率n (n =1.5)．求：

(1)膜下面媒质的折射率n 2与n 的大小关系； (2)第10条暗纹处薄膜的厚度；

(3)使膜的下表面向下平移一微小距离∆e ，干涉条纹有什么变化? 若∆e =2.0 μm ，原来的第10条暗纹处将被哪级暗纹占据?

解: (1) n 2>n ．因为劈尖的棱边是暗纹，对应光程差∆=2ne +处，有k =0，只能是下面媒质的反射光有半波损失

o

L

≈141条 l

λ

2

=(2k +1)

λ

2

，膜厚e =0

λ

才合题意； 2

(2) ∆e =9⨯

λn

2

=

9λ9⨯5000==1. 5⨯10-3 mm 2n 2⨯1. 5

(因10个条纹只有9个条纹间距)

(3)膜的下表面向下平移，各级条纹向棱边方向移动．若∆e =2. 0μm ，原来第10条暗纹处现对应的膜厚为∆e '=(1. 5⨯10-3+2. 0⨯10-3) mm

3. 5⨯10-3⨯2⨯1. 5

∆N ===21 -4

n 5. 0⨯102

∆e '

现被第21级暗纹占据．

13.15 (1)若用波长不同的光观察牛顿环，λ1＝6000A ，λ2＝4500A ，观察到用λ1时的第k 个暗环与用λ2时的第k+1个暗环重合，已知透镜的曲率半径是190cm ．求用λ1时第k 个暗环的半径．

(2)又如在牛顿环中用波长为5000A 的第5个明环与用波长为λ2的第6个明环重合，求未知波长λ2．

解: (1)由牛顿环暗环公式

o

o

o

r k =kR

据题意有 r =

kR λ1=(k +1) R λ2

∴k =

λ2λ1-λ2

r =

，代入上式得

R 12

λ1-λ2

190⨯10-2⨯6000⨯10-10⨯4500⨯10-10

= -10-10

6000⨯10-4500⨯10

=1. 85⨯10-3m

照射，k =5级明环与λ的k =6级明环重合，则有 (2)用λ1=5000A 122

r =

(2k 1-1) R λ1(2k 2-1) R λ2

=

22

o 2k 1-12⨯5-1

∴ λ2=λ1=⨯5000=4091A

2k 2-12⨯6-1

13.16 当牛顿环装置中的透镜与玻璃之间的空间充以液体时，第十个亮环的直径由d 1＝1.40

×10m 变为d 2＝1.27×10m ，求液体的折射率． 解: 由牛顿环明环公式

-2-2

r 空=

D 1(2k -1) R λ

=

22D 2(2k -1) R λ

=

22n

r 液=

D 1D 121. 96

两式相除得=n ，即n =2=≈1. 22

D 2D 21. 61

13.17 利用迈克耳逊干涉仪可测量单色光的波长．当M 1移动距离为0.322mm 涉条纹移动数为1024条，求所用单色光的波长． 解: 由 ∆d =∆N

λ

2

∆d 0. 322⨯10-3

=2⨯得 λ=2 ∆N 1024

=6. 289⨯10m =6289A

13.18 把折射率为n =1.632的玻璃片放入迈克耳逊干涉仪的一条光路中，观察到有150条干涉条纹向一方移过．若所用单色光的波长为λ= 5000A ，求此玻璃片的厚度． 解: 设插入玻璃片厚度为d ，则相应光程差变化为

o

-7

o

2(n -1) d =∆N λ

∆N λ150⨯5000⨯10-10

=5. 9⨯10-5m =5. 9⨯10-2mm ∴ d ==

2(n -1) 2(1. 632-1)

习题14

14.1 选择题

（1）在夫琅禾费单缝衍射实验中，对于给定的入射单色光，当缝宽度变小时，除中央亮纹的中心位置不变外，各级衍射条纹[ ]

(A) 对应的衍射角变小． (B) 对应的衍射角变大．

(C) 对应的衍射角也不变． (D) 光强也不变． [答案：B]

（2）波长λ=500 nm (1nm=10-9m ) 的单色光垂直照射到宽度a=0.25mm的单缝上，单缝后面放一凸透镜，在凸透镜的焦平面上放置一屏幕，用以观测衍射条纹。今测得屏幕上中央明条纹一侧第三个暗条纹和另一侧第三个暗条纹之间的距离为d=12mm，则凸透镜的焦距是

[ ]

(A)2m. (B)1m. (C)0.5m. (D)0.2m. (E)0.1m

[答案：B]

（3）波长为λ的单色光垂直入射于光栅常数为d 、缝宽为a 、总缝数为N 的光栅上．取k=0，±1，±2．．．．，则决定出现主极大的衍射角θ 的公式可写成[ ] (A) N a sinθ=kλ． (B) a sinθ=kλ．

(C) N d sinθ=kλ． (D) d sinθ=kλ． [答案：D]

（4）设光栅平面、透镜均与屏幕平行。则当入射的平行单色光从垂直于光栅平面入射变为斜入射时，能观察到的光谱线的最高级次k [ ] (A)变小。 (B)变大。

(C)不变。 (D)的改变无法确定。

[答案：B]

（5）在光栅光谱中，假如所有偶数级次的主极大都恰好在单缝衍射的暗纹方向上，因而实际上不出现，那么此光栅每个透光缝宽度a 和相邻两缝间不透光部分宽度b 的关系为[ ] (A) a=0.5b (B) a=b

(C) a=2b (D)a=3b [答案：B]

14.2 填空题

（1）将波长为λ的平行单色光垂直投射于一狭缝上，若对应于衍射图样的第一级暗纹位置的衍射角的绝对值为θ，则缝的宽度等于________________．

[答案：λ/sin θ]

（2）波长为λ的单色光垂直入射在缝宽a =4 λ 的单缝上．对应于衍射角ϕ=30°，单缝处的波面可划分为______________个半波带。

[答案：4]

（3）在夫琅禾费单缝衍射实验中，当缝宽变窄，则衍射条纹变 ；当入射波长变长时，则衍射条纹变 。（填疏或密）

[答案：变疏，变疏]

（4）在单缝夫琅禾费衍射实验中，设第一级暗纹的衍射角很小，若钠黄光（λ1=589nm ）中央明条纹为4.0nm ，则λ2=442nm （1nm=10-9m ）的蓝紫色光的中央明纹宽度为nm 。

[答案：3.0nm ]

（5）在透光缝数为N 的平面光栅的衍射实验中，中央主极大的光强是单缝衍射中央主极大光强的 倍，通过N 个缝的总能量是通过单缝的能量的 倍。

[答案：N 2，N ]

14.3 衍射的本质是什么? 衍射和干涉有什么联系和区别?

答：波的衍射现象是波在传播过程中经过障碍物边缘或孔隙时所发生的展衍现象．其实质是由被障碍物或孔隙的边缘限制的波阵面上各点发出的无数子波相互叠加而产生．而干涉则是

由同频率、同方向及位相差恒定的两列波的叠加形成．

14.4 在夫琅禾费单缝衍射实验中，如果把单缝沿透镜光轴方向平移时，衍射图样是否会跟着移动? 若把单缝沿垂直于光轴方向平移时，衍射图样是否会跟着移动?

答：把单缝沿透镜光轴方向平移时，衍射图样不会跟着移动．单缝沿垂直于光轴方向平移时，衍射图样不会跟着移动．

14.5 什么叫半波带? 单缝衍射中怎样划分半波带? 对应于单缝衍射第3级明条纹和第4级暗 条纹，单缝处波面各可分成几个半波带?

答：半波带由单缝A 、B 首尾两点向ϕ方向发出的衍射线的光程差用级明纹和第4级暗纹，单缝处波面可分成7个和8个半波带． ∵由a sin ϕ=(2k +1)

λ

来划分．对应于第32

λ

2

=(2⨯3+1)

λ

2

=7⨯

λ

2

a sin ϕ=4λ=8⨯

λ

2

14.6 在单缝衍射中，为什么衍射角ϕ愈大（级数愈大）的那些明条纹的亮度愈小? 答：因为衍射角ϕ愈大则a sin ϕ值愈大，分成的半波带数愈多，每个半波带透过的光通量就愈小，而明条纹的亮度是由一个半波带的光能量决定的，所以亮度减小．

14.7 单缝衍射暗条纹条件与双缝干涉明条纹的条件在形式上类似，两者是否矛盾? 怎样说明?

答：不矛盾．单缝衍射暗纹条件为a sin ϕ=k λ=2k

λ

，是用半波带法分析(子波叠加问2

题) ．相邻两半波带上对应点向ϕ方向发出的光波在屏上会聚点一一相消，而半波带为偶数，故形成暗纹；而双缝干涉明纹条件为d sin θ=k λ，描述的是两路相干波叠加问题，其波程差为波长的整数倍，相干加强为明纹．

14.8 光栅衍射与单缝衍射有何区别? 为何光栅衍射的明条纹特别明亮而暗区很宽?

答：光栅衍射是多光束干涉和单缝衍射的总效果．其明条纹主要取决于多光束干涉．光强与缝数N 成正比，所以明纹很亮；又因为在相邻明纹间有(N -1) 个暗纹，而一般很大，故实际上在两相邻明纹间形成一片黑暗背景．

14.9 试指出当衍射光栅的光栅常数为下述三种情况时，哪些级次的衍射明条纹缺级?(1) a+b=2a;(2)a+b=3a;(3)a+b=4a.

解：由光栅明纹条件和单缝衍射暗纹条件同时满足时，出现缺级．即

2

⎧(a +b ) sin ϕ=±k λ(k =0, 1, 2, )

⎨

''a sin ϕ=±k λ(k =1, 2 ) ⎩

可知，当k =

a +b

k '时明纹缺级． a

(1)a +b =2a 时，k =2, 4, 6, ⋅⋅⋅偶数级缺级； (2)a +b =3a 时，k =3, 6, 9, ⋅⋅⋅级次缺级； (3)a +b =4a ，k =4, 8, 12, ⋅⋅⋅级次缺级．

14.10 若以白光垂直入射光栅，不同波长的光将会有不同的衍射角．问(1)零级明条纹能 否分开不同波长的光?(2)在可见光中哪种颜色的光衍射角最大? 不同波长的光分开程度与什 么因素有关?

解：(1)零级明纹不会分开不同波长的光．因为各种波长的光在零级明纹处均各自相干加强． (2)可见光中红光的衍射角最大，因为由(a +b ) sin ϕ=k λ，对同一k 值，衍射角ϕ∞λ．

14.11 一单色平行光垂直照射一单缝，若其第三级明条纹位置正好与6000A 的单色平行光的第二级明条纹位置重合，求前一种单色光的波长． 解：单缝衍射的明纹公式为

ο

a sin ϕ=(2k +1)

当λ=6000A 时，k =2

o

λ 2

λ=λx 时，k =3

重合时ϕ角相同，所以有

a sin ϕ=(2⨯2+1)

λ6000

=(2⨯3+1) x 22

o

5

得 λx =⨯6000=4286A

7

14.12 用橙黄色的平行光垂直照射一宽为a=0.60mm的单缝，缝后凸透镜的焦距f=40.0cm，观察屏幕上形成的衍射条纹．若屏上离中央明条纹中心1.40mm 处的P 点为一明条纹；求：

(1)入射光的波长； (2)P点处条纹的级数；

(3)从P 点看，对该光波而言，狭缝处的波面可分成几个半波带? 解：(1)由于P 点是明纹，故有a sin ϕ=(2k +1)

由

λ

2

，k =1, 2, 3⋅⋅⋅

x 1. 4==3. 5⨯10-3=tan ϕ≈sin ϕ f 400

2a sin ϕ2⨯0. 6

=⨯3. 5⨯10-3

2k +12k +1

故λ=

=

1

⨯4. 2⨯10-3mm 2k +1

o

当 k =3，得λ3=6000A

k =4，得λ4=4700A

(2) 若λ3=6000A ，则P 点是第3级明纹；

若λ4=4700A ，则P 点是第4级明纹． (3)由a sin ϕ=(2k +1)

o o

o

λ

2

可知，

当k =3时，单缝处的波面可分成2k +1=7个半波带； 当k =4时，单缝处的波面可分成2k +1=9个半波带．

14.13 用λ=5900A 的钠黄光垂直入射到每毫米有500条刻痕的光栅上，问最多能看到第几级明条纹?

o

1-3-4

解：a +b =mm =2. 0⨯10 mm =2. 0⨯10A

500

o

由(a +b ) sin ϕ=k λ知，最多见到的条纹级数k max 对应的ϕ=所以有k max =

14.14 波长λ=6000A

o

π

2

,

a +b

λ

2. 0⨯104=≈3. 39，即实际见到的最高级次为k max =3.

5900

sin ϕ2=0. 20与sin ϕ3=0. 30处，第四级缺级．求：

(1)光栅常数；

(2)光栅上狭缝的宽度；

(3)在90°＞ϕ＞-90°范围内，实际呈现的全部级数．

解：(1) 由(a +b ) sin ϕ=k λ式

对应于sin ϕ1=0. 20与sin ϕ2=0. 30处满足：

0. 20(a +b ) =2⨯6000⨯10-10 0. 30(a +b ) =3⨯6000⨯10-10

得 a +b =6. 0⨯10

(2) 因第四级缺级，故此须同时满足

-6

m

(a +b ) sin ϕ=k λ a sin ϕ=k 'λ

解得 a =

a +b

k '=1. 5⨯10-6k ' 4

-6

取k '=1，得光栅狭缝的最小宽度为1. 5⨯10m

(3) 由(a +b ) sin ϕ=k λ

k =

当ϕ=

(a +b ) sin ϕ

λ

π

2

，对应k =k max

∴ k max =

a +b

λ

6. 0⨯10-6==10 6000⨯10-10

因±4，±8缺级，所以在-90︒

k =0, ±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±7, ±9共15条明条纹(k =±10在k =±90︒处看不到) ．

14.15 一双缝，两缝间距为0.1mm ，每缝宽为0.02mm ，用波长为4800A 的平行单色光垂直入射双缝，双缝后放一焦距为50cm 的透镜．试求：(1)透镜焦平面上单缝衍射中央明条纹的宽度；(2)单缝衍射的中央明条纹包迹内有多少条双缝衍射明条纹? 解：(1)中央明纹宽度为

o

4800⨯10-7⨯50⨯10

l 0=2f =2⨯mm =2. 4cm

a 0. 02

λ

(2)由缺级条件

a sin ϕ=k 'λ (a +b ) sin ϕ=k λ

知

k =k '

即k =5, 10, 15, ⋅⋅⋅缺级．

a +b 0. 1

=k '=5k ' k '=1, 2, ⋅⋅⋅ a 0. 02

中央明纹的边缘对应k '=1，所以单缝衍射的中央明纹包迹内有k =0, ±1, ±2, ±3, ±4共9条双缝衍射明条纹．

14.16 在夫琅禾费圆孔衍射中，设圆孔半径为0.10mm ，透镜焦距为50cm ，所用单色光波长为5000A ，求在透镜焦平面处屏幕上呈现的爱里斑半径． 解：由爱里斑的半角宽度

o

5000⨯10-7

θ=1. 22=1. 22⨯=30. 5⨯10-4

D 0. 2

λ

∴ 爱里斑半径

d

=f tan θ≈f θ=500⨯30. 5⨯10-4=1. 5mm 2

-6

14.17 已知天空中两颗星相对于一望远镜的角距离为4.84×10rad ，它们都发出波长为550nm 的光，试问望远镜的口径至少要多大，才能分辨出这两颗星? 解：由最小分辨角公式

θ=1. 22

λ

D

λ5. 5⨯10-5

=13. 86cm ∴ D =1. 22=1. 22⨯

θ4. 84⨯10-6

14.18 已知入射的X 射线束含有从0.095～1.3nm 范围内的各种波长，晶体的晶格常数为0.275nm ，当X 射线以45°角入射到晶体时，问对哪些波长的X 射线能产生强反射? 解：由布喇格公式 2d sin ϕ=k λ 得λ=

2d sin ϕ

时满足干涉相长 k

︒

o

当k =1时， λ=2⨯2. 75⨯sin 45=3. 89A

o

2⨯2. 75⨯sin 45︒

k =2时，λ==1. 91A

2o

3. 89

k =3时，λ==1. 30A

3

o

3. 89

k =4时， λ==0. 97A

4

故只有λ3=1. 30A 和λ4=0. 97A 的X 射线能产生强反射．

习题15

15.1 选择题

（1）一束光强为I 0的自然光垂直穿过两个偏振片，且此两偏振片的偏振化方向成45°角，则穿过两个偏振片后的光强I 为[ ] (A) I 0/4

o o

2 ． (B) I 0 / 4．

(C) I 0 / 2． (D) [答案：B]

2I 0 / 2。

（2）自然光以布儒斯特角由空气入射到一玻璃表面上，反射光是[ ] (A) 在入射面内振动的完全线偏振光．

(B) 平行于入射面的振动占优势的部分偏振光． (C) 垂直于入射面振动的完全线偏振光．

(D) 垂直于入射面的振动占优势的部分偏振光． [答案：C]

（3）在双缝干涉实验中，用单色自然光，在屏上形成干涉条纹．若在两缝后放一个偏振片，则[ ]

(A) 干涉条纹的间距不变，但明纹的亮度加强． (B) 干涉条纹的间距不变，但明纹的亮度减弱． (C) 干涉条纹的间距变窄，且明纹的亮度减弱．

(D) 无干涉条纹． [答案：B]

（4）一束自然光自空气射向一块平板玻璃（如图），设入射角等于布儒斯特角i 0，则在界面2的反射光是[ ]

(A)自然光。

(B)线偏振光且光矢量的振动方向垂直于入射面。 (C)线偏振光且光矢量的振动方向平行于入射面。 (D)部分偏振光。 [答案：B]

*（5） ABCD 为一块方解石的一个截面，AB 为垂直于纸面的晶体平面

D 与纸面的交线．光轴方向在纸面内且与AB 成一锐角θ，如图所示．一束

平行的单色自然光垂直于AB 端面入射．在方解石内折射光分解为o 光

和e 光，o 光和e 光的[ ]

(A) 传播方向相同，电场强度的振动方向互相垂直．

(B) 传播方向相同，电场强度的振动方向不互相垂直． (C) 传播方向不同，电场强度的振动方向互相垂直． (D) 传播方向不同，电场强度的振动方向不互相垂直．

[答案：C]

15.2 填空题

（1）马吕斯定律的数学表达式为I = I 0 cos2 α．式中I 为通过检偏器的透射光的强度；I 0为入射__________的强度；α为入射光__________方向和检偏器_________方向之间的夹角。

[答案：线偏振光（或完全偏振光，或平面偏振光），光（矢量）振动，偏振化（或透

光轴）；]

（2）当一束自然光以布儒斯特角入射到两种媒质的分界面上时，就偏振状态来说反射光为____________________光，其振动方向__________于入射面。

[答案：完全偏振光（或线偏振光），垂直；]

（3）一束自然光从空气投射到玻璃表面上（空气折射率为1），当折射角为30o 时，反射光是完全偏振光，则此玻璃板的折射率等于 。

[

（4）光的干涉和衍射现象反映了光的________性质．光的偏振现像说明光波是__________波。

[答案：波动，横波；]

*（5）在光学各向异性晶体内部有一确定的方向，沿这一方向寻常光和非寻常光的相等，这一方向称为晶体的光轴。只有一个光轴方向的晶体称为 晶体。

[答案：传播速度，单轴]

15.3 自然光是否一定不是单色光? 线偏振光是否一定是单色光?

答：自然光不能说一定不是单色光．因为它只强调存在大量的、各个方向的光矢量，并未要求各方向光矢量的频率不一样．线偏振光也不一定是单色光．因为它只要求光的振动方向同一，并未要求各光矢的频率相同．

15.4 用哪些方法可以获得线偏振光? 怎样用实验来检验线偏振光、部分偏振光和自然光? 答：略．

15.5 一束光入射到两种透明介质的分界面上时，发现只有透射光而无反射光，试说明这束光是怎样入射的? 其偏振状态如何?

答：这束光是以布儒斯特角入射的．其偏振态为平行入射面的线偏振光．

15.6 什么是光轴、主截面和主平面? 什么是寻常光线和非常光线? 它们的振动方向和各自的主平面有何关系? 答：略．

15.7 在单轴晶体中，e 光是否总是以c /n e 的速率传播? 哪个方向以c /n 0的速率传播? 答：e 光沿不同方向传播速率不等，并不是以c /n 0的速率传播．沿光轴方向以c /n 0的速率传播．

15.8是否只有自然光入射晶体时才能产生O 光和e 光?

答：否．线偏振光不沿光轴入射晶体时，也能产生O 光和e 光．

15.9投射到起偏器的自然光强度为I 0，开始时，起偏器和检偏器的透光轴方向平行．然后使检偏器绕入射光的传播方向转过30°，45°，60°，试分别求出在上述三种情况下，透过检偏器后光的强度是I 0的几倍? 解：由马吕斯定律有

I 1=

I 03cos 230o =I 0 28

I 2=

I 01cos 245ο=I 0 24I 01cos 260ο=I 0 28311

, , 倍． 848

I 3=

所以透过检偏器后光的强度分别是I 0的

15.10 使自然光通过两个偏振化方向夹角为60°的偏振片时，透射光强为I 1，今在这两个偏振片之间再插入一偏振片，它的偏振化方向与前两个偏振片均成30°，问此时透射光I 与I 1之比为多少?

解：由马吕斯定律

I 1=

I 0I cos 260ο=0 28

I =

I 09I cos 230οcos 230ο=0 232

∴

I 9

==2. 25 I 14

15.11 自然光入射到两个重叠的偏振片上．如果透射光强为，(1)透射光最大强度的三分之一，(2)入射光强的三分之一，则这两个偏振片透光轴方向间的夹角为多少? 解：（1） I 1=

I 01

cos 2α1=I max 23

I 0

2

又 I max =

∴ I 1=

I 0

, 6

故 cos

2

α1=, cos α1=

133

, α1=54ο44' . 3

(2) I 2=

I 01cos 2α2=I 0 23

∴ cos α2=

2

, α2=35ο16' 3

15.12 一束自然光从空气入射到折射率为1.40的液体表面上，其反射光是完全偏振光．试求：(1)入射角等于多少?(2)折射角为多少? 解：(1)tan i 0=

1. 40

, ∴i 0=54ο28' 1

(2) y =90ο-i 0=35ο32'

15.13 利用布儒斯特定律怎样测定不透明介质的折射率? 若测得釉质在空气中的起偏振角为58°，求釉质的折射率． 解：由tan 58=

ο

n

, 故n =1. 60 1

15.14 光由空气射入折射率为n 的玻璃．在题15.14图所示的各种情况中，用黑点和短线把反射光和折射光的振动方向表示出来，并标明是线偏振光还是部分偏振光．图中

i ≠

i 0, i 0=arctan n .

题图15.14 解：见图．

题解15.14图

题15.15图

*15.15如果一个二分之一波片或四分之一波片的光轴与起偏器的偏振化方向成30°角，试问从二分之一波片还是从四分之一波片透射出来的光将是：(1)线偏振光?(2)圆偏振光?(3)椭圆偏振光? 为什么?

解：从偏振片出射的线偏振光进入晶(波) 片后分解为o , e 光，仍沿原方向前进，但振方向相互垂直(o 光矢垂直光轴，e 光矢平行光轴) ．设入射波片的线偏振光振幅为A ，则有

3A , 2 1

A o =A sin 30ο=A.

2A e =A cos 30ο=

∴ A o ≠A e

o , e 光虽沿同一方向前进，但传播速度不同，因此两光通过晶片后有光程差．

若为二分之一波片, o , e 光通过它后有光程差∆=偏振光．因为由相互垂直振动的合成得

λ

2

，位相差∆ϕ=π，所以透射的是线

x 2A o

2

+

y 2A e

2

-2

xy

cos ∆ϕ=sin 2∆ϕ A o A e

∴ (

x y

+) 2=0 A o A e

即 y =-

A e

x A o

若为四分之一波片，则o , e 光的∆=

λ

4

, 位相差∆ϕ=

π

2

，此时cos ∆ϕ=0, sin ∆ϕ=1

∴ 即透射光是椭圆偏振光．

x 2A o

2

+

y 2A e

2

=1

*15.16 将厚度为1mm 且垂直于光轴切出的石英晶片，放在两平行的偏振片之间，对某一波长的光波，经过晶片后振动面旋转了20°．问石英晶片的厚度变为多少时，该波长的光将完全不能通过?

解：通过晶片的振动面旋转的角度ϕ与晶片厚度d 成正比．要使该波长的光完全不能通过第二偏振片，必须使通过晶片的光矢量的振动面旋转90． ∴ ϕ2:ϕ1=d 2:d 1

ο

ϕ290ο

d 2=d 1=ο⨯1=4. 5mm

ϕ120