寿险精算例题答案

例1.1 例1.2

单利

A(5)=10000⨯(1+2⨯5%+3⨯6%)

=12800复利

A(5)=10000⨯(1+5%)⨯(1+6%)

=13130

2

3

5%复利计息

10000(1+5%)=11025

2

投资10000元，两年后获得11025元两年共获得利息：1025

10000元两年共获得利息：975

例1.4

以第8年末为时间参照点，有

7 例1.6

（1）

例1.5

以第7年末为时间参照点，有

1.06+4⨯1.06+x=10⨯1.06⇒x=3.7435

5

4000（1+j)i

(4)

3⨯4

=5700⇒j=3%

=4j=12%

（2

i

=6%时，

12n

ln2

例1.8 A(7)

3δ

=1000⨯(1+j)⨯e

8

8

+2000(1+j)⨯e

2

23δ

+2000e

0.09

2δ

=1000⨯1.025⨯e

0.09

+2000⨯1.025⨯e+2000e

0.06

=5756

例1.9

（1） （2）

例1.10

（2）退休后每年可领取退休金

例1.11

解：（1）该项目的净现值为：

按A所要求的收益率7%计算，净现值为0.5万元，大于零，可投资。 按B所要求的收益率8%计算，净现值为–0.036小于零，不可投资 （2）如果令净现值等于零，即

可以计算出该项目的收益率为7.93%， 大于A所要求的收益率（7%），可行 小于B所要求的收益率（8%），不可行 例题2.2

Equate net present values:

-4000+2000v+4000v2=2000+4000v-xv2 X=5460

例题2.3

解：价值方程为：100 +132v2 = 230v

因式分解得[(1+ i) −1.1][(1+ i) −1.2] = 0 解得i=10或i=20%

例题2.4

解：该题的资金净流入可列示如下：

时间： 0 1 2

净流入： –1000 2150 –1155

假设收益率为i，则根据题意可建立下述方程：–1000+ 2150（1 + I）–1 – 1155（1 + i）–2 = 0 上述方程两边同时乘以(1 + i)2，并变形可得：5[20(1 + i) − 21][10(1 + i) −11] = 0 所以20(1 + i) – 21 = 0或者10(1 + i) – 11 = 0

从此可以求得两个不同的收益率：5%和10%。 项目的净现值如图示。

如果投资者要求5%以下的收益率，净现值小于零，项目不可行。 如果投资者要求5~10%的收益率，净现值大于零，项目又是可行的！ 如果要求10%以上的收益率，净现值小于零，项目又不可行。

(1+ 0.09)5 (1+ i)5 = (1+ 0.08)10 ⇒ i = 7.01% 例题2.6

解:（1）贷款在10年末的累积值为1000×1.0910 = 2367.36 价值方程：1000×(1+ i)10 = 2367.36

i＝9％

（2）所有付款在第10年末的累积值为1000 + 90s =1000 + 90(13.8164) = 2243.48 价值方程：1000(1+ i)10 = 2243.48

i=8.42%

（3）所有付款在第10年末的累积值为[1000/a10|0.09]s10|0.07=(155.82)(13.8164) =2152.88 价值方程：1000(1+ i)10 = 2152.85

i=7.97%

例题2.7

The future value at time 5 of Mary’s investments is 1000s 5/ 9% =5984.71 First，we find the balance in John’s account:

Hence, the interest payments John gets are :

The accumulation of these interest payments at time 5 is: 100( is) 5/8%=(s:5/0.08-5)/0.05=1669.91

The total accumulation of John’s investments is 6669.91.

•Hence, the difference is 6669.91 − 5984.71 = 685.2 例题2.8

Hence, the interest payments are:

The total accumulation for both accounts at time 5 is 6090=5000+100(is)3/0.06(1+k)+400 K=10.51 例题2.9

例题2.10

i=5%,j=3%

i=5%,j=6%

例题2.11

例题2.12

F (面值) = C (偿还值)，故息票率r = 修正息票率g。 已知：F = C = 1000，r = g = 6%，i = 5%，用溢价公式：

债券价格超过了偿还值，因此是按溢价发行的，溢价金额为27.23元。

下面分析投资者在期初多支出的这部分价款将在以后各期如何逐步获得补偿。投资者在第一年应该得到的利息收入为：1027.23×0.05 = 51.36（元）第一年实际得到的息票收入为 1000×0.06 = 60（元）

第一年的息票收入超过了利息收入，这个差额被称作溢价补偿金额。第一年的溢价补偿金额为60 – 51.36 = 8.64（元）

从第一年初的帐面值中减去第一年的溢价补偿金额即得第二年初的帐面值为1027.23 – 8.64 = 1018.59（元）

以后各年的帐面值和溢价补偿金额如下表所示

例题2.13